2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用教案 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3第2课时组合数的性质及应用教案新人教B版选择性必修第二册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容本节课的教学内容来源于2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理的3.1排列与组合的3.1.3第2课时组合数的性质及应用。本节课主要介绍组合数的性质及其在实际问题中的应用。具体内容包括：

1.组合数的性质：包括组合数的计算公式、组合数的对称性、组合数的单调性等。

2.组合数在实际问题中的应用：主要包括组合数在图论、概率论等领域的应用，如解决排列组合问题、计算概率等。

3.组合数的证明与推导：主要包括组合数的证明方法，如数学归纳法、构造法等，以及如何利用组合数解决实际问题。核心素养目标本节课的核心素养目标为：通过学习组合数的性质及应用，培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力和数据分析能力。具体包括：

1.逻辑推理能力：使学生能够运用组合数的性质进行逻辑推理，解决相关的数学问题。

2.数学建模能力：培养学生运用组合数解决实际问题的能力，学会建立数学模型进行分析和解决问题。

3.数据分析能力：培养学生从实际问题中提取有效信息，运用组合数进行数据分析和处理的能力。教学难点与重点1.教学重点

本节课的核心内容是组合数的性质及其在实际问题中的应用。具体包括：

（1）组合数的计算公式及其推导方法。

（2）组合数的对称性、单调性等性质。

（3）组合数在图论、概率论等领域的应用，如解决排列组合问题、计算概率等。

2.教学难点

（1）组合数性质的证明：本节课的难点在于如何引导学生运用数学归纳法、构造法等方法证明组合数的性质。

（2）组合数在实际问题中的应用：学生需要学会从实际问题中提取有效信息，运用组合数进行逻辑推理和数据分析，解决实际问题。

（3）组合数公式的推导：理解并掌握组合数的计算公式，能够灵活运用公式解决相关问题。例如，如何利用组合数公式计算排列组合问题，以及如何利用组合数公式计算概率等。

（4）组合数的对称性、单调性等性质的理解和应用：学生需要理解组合数性质的含义，并能够运用这些性质解决相关问题。例如，如何利用组合数的对称性简化计算过程，如何利用组合数的单调性比较大小等。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备、白板、投影仪、计算器、教案及教学课件。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学学科论坛、数学教学资源共享平台。

3.信息化资源：与组合数相关的教学视频、动画、数学软件、在线习题库等。

4.教学手段：小组讨论、案例分析、问题驱动教学、翻转课堂、在线互动等。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：提供组合数的相关PPT、视频和文档，让学生提前预习。

-设计预习问题：提出问题如“组合数的计算公式是什么？请举例说明。”

-监控预习进度：通过在线平台查看学生的预习笔记和疑问。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生在家阅读资料，理解组合数的基本概念。

-思考预习问题：学生针对问题进行思考，尝试解答。

-提交预习成果：学生在平台上提交自己的预习笔记和问题。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立思考，查找资料，培养自主学习的能力。

-信息技术手段：利用在线平台，实现资源共享和进度监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解组合数的基础知识，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个有趣的组合数问题引出本课，如“如果有5个人，每个人都要与其他人握手，总共需要多少次握手？”。

-讲解知识点：详细讲解组合数的计算公式和性质。

-组织课堂活动：小组讨论组合数的应用问题，如“如何计算一个5人小组的握手次数？”。

-解答疑问：回答学生关于组合数问题的疑问。

学生活动：

-听讲并思考：学生专注听讲，理解组合数的计算方法。

-参与课堂活动：学生在小组中讨论问题，共同解决问题。

-提问与讨论：学生针对不理解的地方提出问题，与同学和老师讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：教师通过讲解，让学生理解组合数的基本概念。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中应用组合数知识。

-合作学习法：学生通过小组合作，共同解决问题，培养团队合作能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解组合数的计算方法和性质。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置有关组合数应用的练习题，如“一个班级有30名学生，每两人之间都要进行一次互动游戏，请问有多少种不同的互动方式？”。

-提供拓展资源：推荐一些有关组合数在实际问题中应用的视频和文章。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，巩固组合数知识。

-拓展学习：学生查阅推荐资源，了解更多组合数的应用。

-反思总结：学生反思自己在课堂和作业中的表现，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生独立完成作业，自主查阅拓展资源。

-反思总结法：学生对自己的学习过程进行总结，找出不足。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的组合数知识和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理本节课主要学习组合数的性质及应用，具体包括以下几个知识点：

1.组合数的定义：组合数是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能的组合的数量。组合数的符号为C(n,m)，读作“从n个不同元素中取m个元素的组合数”。

2.组合数的计算公式：组合数的计算公式为C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。

3.组合数的性质：

a.组合数的对称性：C(n,m)=C(n,n-m)。

b.组合数的单调性：当n>m时，C(n,m)>C(n,m+1)。

c.组合数的递推关系：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

4.组合数在实际问题中的应用：

a.排列组合问题：利用组合数计算不同排列组合的数量，如握手问题、宴会座位安排等。

b.概率论问题：利用组合数计算事件的概率，如抽奖问题、随机抽样等。

c.图论问题：利用组合数计算图的某些性质，如计算图的连通度、判断图的染色问题等。

5.组合数的证明与推导：

a.数学归纳法：利用数学归纳法证明组合数的计算公式。

b.构造法：通过构造具体的组合数例子，推导出组合数的性质。反思改进措施经过对本节课的教学实践的深入反思，我认为在教学内容、教学方法、学生互动等方面还有许多值得改进的地方。以下是我对这节课的反思及今后的改进措施。

（一）教学特色创新

1.实际问题引入：本节课通过引入实际的排列组合问题，激发学生的学习兴趣，使他们能够更好地理解组合数的意义和应用。

2.小组讨论：在教学过程中，我组织了小组讨论，让学生们通过合作解决问题，培养他们的团队协作能力和沟通能力。

3.案例分析：我选择了具有代表性的案例进行分析，让学生们能够更好地理解组合数的性质及其在实际问题中的应用。

（二）存在主要问题

1.教学管理：在课堂管理方面，部分学生课堂纪律较为松散，影响了课堂教学效果。

2.教学方法：在教学方法上，我对组合数性质的证明讲解得过于繁琐，导致学生难以理解。

3.教学评价：在教学评价方面，我过于注重学生的解答结果，而忽略了他们在解题过程中的思维方法和逻辑推理能力。

（三）改进措施

1.加强课堂管理：我将加强课堂管理，提高学生的学习积极性，营造积极向上的课堂氛围。

2.优化教学方法：我将简化组合数性质的证明过程，采用更直观、易懂的方法进行讲解，帮助学生更好地理解。

3.完善教学评价：我将注重学生的思维过程和逻辑推理能力，鼓励他们积极参与课堂讨论，提高他们的分析问题和解决问题的能力。

4.增加实践环节：我将增加更多的实际问题让学生进行解决，让他们能够更好地理解组合数的应用。

5.鼓励学生提问：我将鼓励学生在课堂上提问，及时解答他们的疑问，提高他们的学习效果。课堂一、课堂评价

课堂评价是了解学生学习情况的重要手段。在本节课中，我将通过提问、观察和测试等方式，及时发现问题并进行解决。

1.提问：在课堂讲解过程中，我会提出一些问题，引导学生思考和回答。通过学生的回答，我可以了解他们对组合数性质和应用的理解程度。

2.观察：在课堂活动中，我会观察学生的参与情况。通过观察学生的参与程度，我可以了解他们对课堂活动的兴趣和积极性。

3.测试：在课堂结束前，我会进行一次小测试，检验学生对组合数性质和应用的掌握情况。通过测试结果，我可以了解学生对课堂内容的掌握程度。

二、作业评价

作业评价是检验学生学习效果的重要手段。在本节课中，我将对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果，鼓励学生继续努力。

1.认真批改：在批改学生的作业时，我会认真检查学生的解答过程和结果，及时发现和指出学生存在的问题。

2.点评：在点评学生的作业时，我会针对学生的解答过程和结果，给予具体的指导和反馈。对于学生的优点，我会给予表扬和鼓励；对于存在的问题，我会指出并给出改进建议。

3.及时反馈：在批改和点评学生的作业后，我会及时将作业情况反馈给学生，让他们了解自己的学习效果，及时调整学习方法和策略。课后作业1.计算组合数：计算C(10,3)和C(8,4)的值。

2.应用组合数解决实际问题：一个班级有30名学生，每两人之间都要进行一次互动游戏，请问有多少种不同的互动方式？

3.证明组合数性质：证明C(n,m)=C(n,n-m)。

4.利用组合数计算概率：一个箱子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

5.利用组合数解决图论问题：一个无向图有6个顶点和9条边，求该图的连通度。

下面是对这些题目的详细解答：

1.计算组合数：

C(10,3)=10!/[3!*(10-3)!]=10!/[3!*7!]=(10*9*8)/(3*2*1)=120

C(8,4)=8!/[4!*(8-4)!]=8!/[4!*4!]=8!/24=(8*7*6*5)/4=70

2.应用组合数解决实际问题：

有30名学生，每两人之间都要进行一次互动游戏，所以互动方式的总数为C(30,2)。计算得C(30,2)=30!/[2!*(30-2)!]=30*29/2=435。

3.证明组合数性质：

C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

C(n,n-m)=n!/[(n-m)!*m!]

将C(n,m)的表达式中的n用n-m代替，得到C(n,n-m)的表达式。由于n!=(n-m)!*m!，因此C(n,m)=C(n,n-m)。

4.利用组合数计算概率：

箱子里有5个红球和3个