第四章 第17讲　相似三角形

第四章第17讲相似三角形第四章第17讲相似三角形第四章第17讲相似三角形第１7讲相似三角形一、选择题1、（２０19·随州）如图，平行于BC得直线DE把△ABC分成面积相等得两部分，则eq＼ｆ(BＤ,ＡD)得值为(Ｃ）A、1 Ｂ、eq＼ｆ(\ｒ(２),2)ﻩＣ、eq\r(2)－1 D、eq＼r(２)＋１2、(2０19·内江)已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3,则△ABC与△A1Ｂ１C1得面积比为(D)A、1∶1ﻩB、１∶3ﻩC、１∶6 D、1∶93、(2019·铜仁)已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ＡＢC得面积为16，则△DEF得面积为(C)A、32 B、8 C、4 D、16４、(2０1９·临安)如图,在△ABＣ中，ＤE∥BC，ＤE分别与ＡB,AC相交于点D，E,若AＤ=４，DＢ＝２,则DE∶BC得值为(A)A、eq\f(２,3)ﻩB、ｅｑ\f(１,2）ﻩC、eq\f(３,４) Ｄ、eq\f（3，5）5、（201９·恩施州)如图所示，在正方形ABCＤ中，点Ｇ为CＤ边得中点，连接ＡG并延长交BC边得延长线于点E，对角线ＢD交ＡG于点Ｆ、已知FG=2,则线段AE得长度为（Ｄ)A、６ﻩB、8Ｃ、10 D、126、（2０19·杭州）如图，在△AＢC中,点D在AB边上,DE∥BC，与边AＣ交于点E,连接BＥ、记△ADＥ，△ＢCＥ得面积分别为S1，Ｓ2，(D)A、若2AD＞ＡＢ，则３Ｓ1＞２S２B、若2AD＞ＡB,则3S1＜2S2Ｃ、若2ＡD＜AB,则3Ｓ1>2S2Ｄ、若２AD＜ＡB，则3S１<2Ｓ2（2０19·永州）如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是边AB上得一点,∠ＡDC＝∠ACB，ＡＤ＝２，BD=６,则边ＡＣ得长为(B)Ａ、2 B、４ Ｃ、6 Ｄ、８8、（２0１9·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，Ｆ为CD边得两个三等分点,连接AF，BE交于点Ｇ，则S△EＦＧ∶S△ABＧ=（C)A、１∶３ Ｂ、３∶1ﻩC、１∶9ﻩD、9∶1二、填空题９、(2０19·包头)如图，在▱AＢＣD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EＦ与ＡB相交于点E，与ＡC相交于点F，3AE＝2EＢ，连接ＤF、若Ｓ△AＥF＝1,则Ｓ△ADF得值为eq\ｆ(5,2)、1０、（2０19·安顺)如图，点P1，Ｐ2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P２⊥Ｐ２Ｐ３,P2P3⊥P3P4,若点Ｐ1,P2得坐标分别为(0，-１),(－2,0)，则点P4得坐标为（8,0)、１１、(20１9·安徽）矩形ABCD中,ＡB=6，BC=8、点P在矩形ABCＤ得内部,点E在边BC上，满足△PBE∽△DBＣ,若△AＰＤ是等腰三角形，则线段ＰＥ得长为eｑ\f（６,５)或３、12、(２019·南充）如图,在△ＡＢC中,DE∥ＢＣ，BＦ平分∠ABC，交DE得延长线于点Ｆ、若AD=1，BD＝2，BC=4，则EＦ＝ｅq\f(２,３）、三、解答题1３、(2019·江西)如图，在△ＡＢC中,AB=8，BC=4，ＣA=６，CD∥AB，BD是∠ＡBC得平分线，BD交AC于点E,求线段AＥ得长、解:∵BD为∠ABC得平分线，∴∠ABＤ=∠CBＤ、∵AB∥CD,∴∠Ｄ＝∠ABＤ，∴∠Ｄ＝∠CBD,∴BC=CD、∵ＢC=4，∴CD＝4、∵ＡB∥ＣＤ，∴△AＢE∽△CDE，∴eｑ\ｆ(AB,CD)＝ｅq\f（AE,CＥ)，∴eq\f(8,4)＝eq＼f(ＡE,ＣE),∴ＡＥ＝2ＣＥ、∵AＣ=6=AＥ＋CＥ，∴AE＝4、14、（2019·滨州）如图，AB为⊙O得直径，点C在⊙O上,ＡD⊥CD于点D，且AＣ平分∠ＤAB,求证:(1)直线DＣ是⊙O得切线；（2)ＡC2=２AＤ·AＯ、证明：(１）如解图，连接OC，∵OA＝OC,∴∠OAＣ=∠OCA、∵AC平分∠DＡＢ,∴∠OAC=∠DＡC，∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD、∵AD⊥CＤ,∴OC⊥ＤC，又OC为⊙O得半径,∴DC是⊙O得切线、（２)如解图，连接BＣ,∵AＢ为⊙O得直径,∴AＢ＝2ＡO,∠ACＢ=９0°、∵AD⊥DC,∴∠ＡDC=∠ＡCB＝9０°、又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△ＣＡB,∴ｅq＼f(AＣ，AB）=eq\ｆ(AD,AC）,即AC2=ＡB·AD、∵AB＝2AＯ,∴AC2=2AD·ＡO、15、(20１9·杭州)如图,在△ABＣ中，AB＝AC,AＤ为BC边上得中线,ＤE⊥AＢ于点E、(1)求证:△BDE∽△CAD、(2)若AB＝1３，ＢC=１0，求线段DE得长、(１）证明:∵ＡB=ＡC,BD＝CD,∴AD⊥BC，∠B＝∠C、∵DE⊥ＡB,∴∠ＤEB＝∠ADC＝9０°,∴△BＤＥ∽△ＣAD、（2)解：∵AB＝ＡＣ,BD=ＣD，∴AD⊥BC、在Rt△ADＢ中,AD＝eｑ\r(ＡB２-BD2)=eq\r（132-5２)＝１2、∵eq＼ｆ(１，2)·AD·BＤ＝eq＼f(1,２)·AB·DE，∴DE＝eq＼f(６0，1３)、16、(2019·泸州）如图，已知AＢ，CD是⊙O得直径，过点C作⊙Ｏ得切线交AB得延长线于点Ｐ,⊙O得弦DE交AB于点F,且DF=EF、(1)求证:CＯ2＝OＦ·OＰ；(２)连接EB交CD于点G,过点G作GＨ⊥AB于点H,若PC=4ｅq\r(2),ＰB=4,求GH得长、(１)证明:∵PC是⊙O得切线,∴OC⊥PC，∴∠PCＯ＝90°、∵AＢ是直径,EF=FD,∴AB⊥ED，∴∠OFＤ＝∠OCP＝9０°、∵∠FOD=∠COP，∴△OＦD∽△OＣP,∴eq\f(OD,OP)=eq\f(OＦ，OC）、∵ＯD＝ＯＣ，∴OC２=OF·ＯP、(2）解：如解图,作ＣM⊥OP于点Ｍ,连接EＣ,EO，设OＣ=OB=r、在Rt△POC中,∵PC2+OC2＝PO２，∴(4eｑ\r(2))2+r2=(r+４)2,∴ｒ=2、∵CM＝eｑ\f（OC·ＰC,OＰ)＝ｅq＼f(4,3)eq＼r(2）,DC是直径,∴∠CEＦ=∠ＥFM＝∠ＣＭF＝9０°,∴四边形EFMC是矩形，∴EF=CＭ＝eq＼f(4,３）eｑ\r(2）、在Ｒｔ△OEF中，OF＝ｅq\ｒ(EO2-ＥＦ2)=ｅq\f(2,3),∴EC=２ＯF＝eq\ｆ(4,3)、∵EC∥OB,∴eq＼f(EC，ＯB)＝eq＼f(ＣG,ＧO)＝eq\f(2,3)、∵GＨ∥ＣM,∴ｅq\ｆ（GＨ,ＣM）＝ｅq\f（OG,OC）＝eq\f（3,5），∴GＨ＝eq＼f(4\r(２),５)、一、选择题1、(2019·泸州)如图,在正方形ＡBCD中，点E,F分别在边AＤ,CD上,AF，BE相交于点G，若AE＝３EＤ,DF＝CF,则eｑ\f（AG,ＧF）得值是（C)A、eq\f(4,3） B、ｅq\ｆ(5,4)ﻩC、eｑ\f(6,5) D、eq\f(7,６)２、正方形ＡＢCD得边长AB＝2，点E为AB边得中点,点F为BC边得中点，AF分别与DE,BＤ相交于点M，N,则线段ＭN得长为（C)Ａ、ｅq\f(5\ｒ(5),6） B、eq\ｆ（2\ｒ(５),3)-1 C、eｑ＼ｆ(４\r（5),15）ﻩD、eq\f(＼r(3）,３)3、(201９·达州)如图，点Ｅ，Ｆ是平行四边形ABＣD对角线AC上得两点，AE=CF=eｑ\f（1,4)AＣ、连接DE,ＤF并延长，分别交AB,ＢＣ于点G,Ｈ,连接ＧH,则eq＼f(S△ADG,S△BGH)得值为(C)Ａ、eq\f(1，2)ﻩB、eｑ\f(2,３) C、eq\f(３,4) Ｄ、1二、填空题4、(2019·宜宾)如图,AB是半圆得直径，ＡC是一条弦，点D是ｅｑ\ｏ（\s＼up12(︵),ＡC)得中点,DE⊥AB于点Ｅ且ＤE交ＡC于点F，ＤB交AC于点G,若ｅｑ\f(ＥF，AＥ)＝ｅq\ｆ（3,4）,则eq\f(CＧ,GB)＝ｅq＼f(＼r(5），5)、5、(2019·广州)如图，ＣE是▱ABCD得边AＢ得垂直平分线，垂足为点O,CE与DA得延长线交于点E、连接AC,BE，DO,DO与AC交于点F，则下列结论:①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAＥ;③ＡＦ∶BE＝2∶3;④Ｓ四边形AFOＥ∶S△COＤ＝2∶３、其中正确得结论有①②④、（填写所有正确结论得序号)6、(2019·岳阳)如图，以AＢ为直径得⊙O与CE相切于点Ｃ，ＣE交ＡＢ得延长线于点E，直径AＢ=18,∠A=３0°，弦ＣＤ⊥AB，垂足为点F,连接ＡC,OＣ,则下列结论正确得是①③④、（写出所有正确结论得序号)①eq\o(\s\ｕp12(︵),ＢC）＝eq\o(\s\up12(︵）,BD)；②扇形ＯBＣ得面积为ｅｑ\ｆ(2７,4)π；③△ＯCF∽△OEＣ;④若点Ｐ为线段OA上一动点,则AP·OＰ有最大值20、25、7、(2０19·娄底)如图,已知半圆O与四边形AＢCD得边AD,AB,BC都相切,切点分别为D，Ｅ,C，半径ＯC＝1，则AＥ·BE=1、三、解答题8、(2019·张家界)如图,点P是⊙Ｏ得直径ＡB延长线上一点，且AB=4，点M为eq＼o(\s\ｕｐ１2（︵)，AB)上一个动点（不与点A,B重合),射线PM与⊙O交于点Ｎ(不与点M重合）、(1）当点M在什么位置时,△MAB得面积最大，并求岀这个最大值；（2)求证：△PＡN∽△PMＢ、(１）解:当点M在eｑ\o(＼ｓ\uｐ1２(︵）,AB)得中点处时，△ＭAB得面积最大，此时OM⊥AB、∵OM＝eｑ＼f(1,２)ＡB＝eq\f（1，2)×4=2,∴S△ＡBM=ｅｑ＼ｆ（1,２)AB·OＭ=eq＼ｆ(1,２)×4×2＝4、(２)证明:∵∠PMB＝∠ＰAN，∠P=∠Ｐ,∴△PAＮ∽△PＭB、9、(20１9·大庆)如图，ＡB是⊙O得直径，点E为线段ＯB上一点(不与点O，B重合),作EC⊥OＢ，交⊙Ｏ于点C，作直径CＤ,过点Ｃ得切线交DB得延长线于点P,作ＡF⊥PC于点F,连接CB、（１)求证：AＣ平分∠FAB；(２)求证:BＣ2=ＣＥ·CＰ;(3)当AＢ=４eq＼r（3)且eq＼f（CＦ,CＰ)=eq\f(3，4)时,求劣弧ＢＤ得长度、(1)证明：∵AB是直径，∴∠ＡＣB＝90°,∴∠CAB＋∠CBA=9０°、∵CＥ⊥ＡＢ，∴∠CＡE＋∠ACE=90°、∵PＣ为⊙O得切线,∴∠CＢＡ=∠FCA，∴∠FCA=∠ＥCA、∵AF⊥CF，CE⊥ＡB,∴∠FＡC=∠EAC,∴AC平分∠ＦAＢ、(2)证明:∵ＯC＝OB，∴∠OCB=∠ＯBC、∵PF是⊙O得切线，CE⊥ＡB,∴∠OＣP=∠CEB=90°,∴∠PCB+∠OＣB=90°，∠BＣＥ＋∠OBC＝９0°,∴∠BＣE＝∠BCP、∵ＣＤ是⊙O得直径，∴∠CＢD=∠CＢP=90°，∴△CBＥ∽△CPＢ,∴eｑ\ｆ(CB,CP)=eq\f（ＣE,CB)，∴BC2＝CE·CP、(3)解:作ＢＭ⊥PF于点M，如解图，则ＣE=ＣM＝CF、设CE＝CM=CF＝３a,PC=４a,则PＭ＝ａ、∵∠MCB+∠P=90°,∠P＋∠PBM＝9０°，∴∠MCＢ＝∠PBＭ、∵CD是⊙O得直径,BＭ⊥PＣ,∴∠CMB＝∠BMP=90°,∴△BMＣ∽△PMB，∴ｅq\ｆ(BM,PM）=eq\f（CM,ＢM），∴BM2＝CＭ·PM=３a2,∴BM＝eq\r(３)a,∴ｔan∠ＢCM＝eｑ\f(BM,CM)=eq\ｆ(\r(3),3),∴∠ＢCＭ＝３0°,∴∠OCB=∠OBC=∠ＢOC＝60°,∠BOD=120°,∴劣弧BD得长＝eq＼f（12０π×2\r(３)，18０）=ｅq\f(4\r（3),３)π、10、（2０19·南京)如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点,连接DＥ、过点A作AF⊥DＥ，垂足为点Ｆ,⊙O经过点C，Ｄ,Ｆ，与AＤ相交于点G、(1）求证：△ＡFＧ∽△ＤFC；(２)若正方形ABCD得边长为4,AE＝1,求⊙O得半径、(1)证明：在正方形ＡBＣD中,∠ＡＤC＝90°,∴∠CDF＋∠ADF=90°、∵AＦ⊥DＥ,∴∠AＦＤ＝9０°，∴∠DＡＦ+∠AＤF=90°，∴∠ＤAF=∠ＣDF、∵四边形ＧFＣD是⊙O得内接四边形，∴∠FCＤ＋∠ＤGF=1８0°、∵∠FＧA+∠DGF＝１8０°，∴∠FGＡ=∠FCD，∴△AＦＧ