2024年中考数学一轮复习提高讲义：分类讨论思想

分类讨论思想

知识梳理

1.分类讨论

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.分

类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整

的思想与归类整理的方法.

2.分类的原则

(1)分类中的每一部分是相互独立的.

(2)一次分类按一个标准.

(3)分类讨论应逐级进行.争取的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏.

典型例题

例1

某电信开设了甲、乙两种市内移动通信业务理种使用者每月需交15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费

0.3元；乙种使用者每月不交月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的

费用分别为yi和y2元.

(1)分别写出yi、yz与x之间的函数关系式；

(2)根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？

分析第⑴问很简单，分别是%=0,3x+15和刈=0.6%,但第(2)问须分类讨论.

解⑴%=0.3x+15(%>0),y2=0.6x(x>0)

(2)①加<乃时0.3%+15<0.6%,解得x>50;

②yi=%时(0.3%+15=0.6%,解得%=50;

③%>丫2时03%+15>0.6居解得x<50.

所以当通话时间大于50分钟时，选择甲种业务更优惠.

当通话时间等于50分钟时，选择两种业务一样优惠.

当通话时间小于50分钟时，选择乙种业务更优惠.

例2

已知y,z都是质数，其中x为整数，且工+工=2.求;1998x+5y+3z的值.

xyz

解由工+工=2得工=2—工=止£,所以：久=下面讨论yz为何值时，x为整数.

xyzxzyyz3y—z

(1)若yz为奇质数，则yz为奇,(3y-z)为偶，此时x不可能为整数.故y,z中至少有一个为偶质数2.

⑵若y=2,z为奇质数或z=2,y为奇质数，则yz为偶,(3y-z)为奇，此时x也不可能为整数.

可知y=z=2,此时x=l,所以1998x+5y+3z=1998+10+6=2014.

例3

在4ABC中,/B=25>AD是BC边上的高，并且加尸=BD•£)&,求/BCA的度数.分析因为题目只说了/B=2

5°,AD是BC边上的高，并且.452=BD-DC,并没有说明△ABC是一个什么三角形，所以要进行分类讨论.

解(1)如图23-1所示，当△ABC为锐角三角形时,AD在三角形内，贝山NBC4=90°-25°=65°.

S23-1图23-2

(2)如图23-2所示，当△ABC为钝角三角形时,AD在三角形外，则NBC4=90°+25°=115°.

例4

在直角坐标系中,已知点P(-2,-l),点T(t,0)是x轴上的一个动点.

(1)求点P关于原点的对称点P’的坐标；

(2)当1取何值时.△P,TO是等腰三角形？

分析(1)点P关于原点的对称点P的坐标为(2,1).

(2)此题涉及两个层次的分类讨论：点的位置的分类与等腰三角形的分类.

解(1)P'(2,l)

(2)由题意得:OP，=遮

①动点T在原点左侧.

当4。=P，。=百时,△PTO是等腰三角形.

所以点I浜，0.

②动点T在原点右侧.

(i)当T20=EP，时，△P'T。是等腰三角形.

得:T,5,0.

24

(ii)当T3O=P，。时,△P'TO是等腰三角形.

得：点1-5,0.

(iii)当T4P，=P，。时,△P'TO是等腰三角形.

得点T4(4,0).

所以，符合条件的t的值为一代任,、川,4.

双基训练

1.一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为—.

2.已知等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数分别是.

3.已知四条直线y=kx3y=-l,y=3和x=l所围成的四边形的面积是12,则k的值为

4.等腰三角形的一个内角为70。，那么一腰上的高与底边所成的角等于—.

5.在一直线上有A、B、C三点,AB=5,BC=8,贝1AC=.

6.lxl=3,lyl=2,则x-y的值为.

7.若工表示一个整数，则整数a可以取的值是.

a2

8.如果三条长分别为3,x,5的线段恰好能组成一个直角三角形，那么x等于.

9.已知必-5=1,且x为整数，则x可以取__.

10.在等腰4ABC中,AB=5,BC=6〃_UABC的面积为_.

11.三角形的每条边的长都是方程/—6x8=0的根，则三角形的周长是.

12.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为一.

13.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=123SABC的周长为__.

14.有一直角三角形，两直角边长分别为6和8,现在要将它扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边

的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长是___.

15.一次函数y=kx+b,当-3sxs1时,对应的y值为lWyW9,则此函数解析式是.

16.直线y=2x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.过点B作直线BP与x轴相交于P,且使OP=2OA项1AA

BP的面积是____.

17.点A的坐标为(1,1),点B是x轴上一点，且AOAB为等腰三角形，则点B的坐标是__.

18.某超市有如下方案：

(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；

(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；

(3)一次性购物超过300元一律八折.

王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款_元.

19.已知4必3(m—3)%9是完全平方式，则m的值是__.

20.矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为__.

能力提升

21.解不等式:lx+ll+lxl<2.

22.解关于x的不等式:a(ax-l)>x-l.

23.解方程:llx-3l-2l=a.

24.解方程:好一2%-3=0.

25.设等腰三角形的一腰与底边分别是方程Y—6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值

范围.

26.x,y都是自然数，求证:.+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方.

27.已知方程Tn?%?+(2m+1)%+1=0有实数根，求m的取值范围.

28.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2—4x+4=0与x2—4mx+4m2—4m-5=0的根都是整数.

29.已知关于x的方程x2-(m-2)x-^=0.

4

(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.

(2)若这个方程的两个实数根Xi,x2满足|皿|=|的|+2,求m的值及相应的.Xi网.

30.若实数a,b满足a?-8a+5=0,/-8b+5=0.求R+0的值.

a—1b—1

拓展资源

31.求方程X2-|2X-1|-4=0的实根.

32.解方程x2-[%]=2,其中[x]是不超过x的最大整数.

33.a是实数，解方程xlx+ll+a=0.

34.已知三角形中两角之和为n,最大角比最小角大24。，求n的取值范围.

35.在1x3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边都相应地与大矩形的一

条边平行，求两个小矩形周长和的最大值.

第23讲

1.122.70。和40。或者55。和55°3.1或-24.35。或20°5.13或3

6.1或5或-5或-17.1或-1或-5或-38.4或V349.1或-1或5

10.12或独当11.6或10或1212.75°或15°13.42或32

4

14.32或强或20+4vH15.y=2x+7或y=-2x+316.27/4或2

34

17.(-V2,0),(1,0),(V2,0),(2,0)18.316或288

19.7或者-120.4或1221.-2<%〈工

22

22.①当/一1>o,,即av-1或a>l时，不等式的解集为久,」■；

a+l

②当(a?—1<0,,即时，不等式的解集为

Cl+1

③当a=l时，不等式的解集为空集；

④当a=-l时，不等式的解集为全体实数.

23.x=5+a,l-a,5-a,l+a

24.x=-l或x=3

25.0<a<8,a=9

26.设％2+y+i和y2+4%+3的值能同时表达成完全平方式，

那么有%2+y+1=(%+1)2,y2+4汽+3=(y+VT)2

所以y=2%,4%=对3y

即y=2x,x=昱丫

又因为X,y是自然数，

所以近y必是无理数，

2

所以与已知矛盾，

故％2+y+1和y2+4％+3的值不能同时是完全平方.

27.(1)当病=0,,即m=0时,方程为一元一次方程x+l=0,有实数根x=-l.

(2)当机2。。,，即m/)时，方程为二次方程，由有实根的条件得

J=(2m+1)2—47n2=4m+1之0,血之一工.所以租之一上,且mRO.

44

综合⑴⑵，得mN-土

4

28.由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m#).又由于方程均有实根，所以

Ji=(-4)2—4mX4>0,解得m<l.

又4=(-4m)2—4x1x(4m2—4m—5)>0解得m>—1,

4

所以一£<m<1..又m是整数，且m#0,所以m=-l或1.

4

当m=-l时，方程mx2—4%+4=0为一炉—4%+4=0,

解得方程的根为x=-2±2vz它的根不是整数，故m=-l舍去.

当m=l时，方程mx2—4%+4=0的根为％i=七=2,

2

方程必—4mx+4m—4m-5=0根为=5,x2=—L均为整数，所以m=l

29.(1)4=[-(m-2)]2—4(一与=2(m-1)2+2,所以不论m取值，总有2(m-I)2>0,所以2(m-I)2+

4

2>0,即4>0,所以方程总有两个相异的实根.

(2)因为%1%2=一?<0,所以%120,%之0或%i>0,%2<0.

①若％1W0,%22。，则％2--％1+2,所以%1+%2=2.所以m=4.

此时一2%-4=0,所以％]=1—VS4=1+S

②若久i之0,%2工。，则一%2=+2,所以％1+型=-2.所以m=0.此时②+2%=0,所以.=0,名=—2.

30.由方程根的定义，知a,b是方程/—8%+5=0的两个根，所以a+b=8,ab=5,所以

CL—1b—1

(a+b)>2(a+b)-2ab+2=—20.事实上,题设中的a与b是可以相等的，当a=b时，原式=2.

ab—(a+b)+l

综上所述:当a，b时，原式=-20;当a=b时，原式=2.

31.x1=-1-瓜,x?=3

32.由[x]的定义，可得x>[x]=x2-2,所以x2-x-2<0,解此不等式得-10x02.

现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解.

(1)当-IgxvO时，原方程为%2-(-1)=2,所以x=-l(因x=l不满足-lWx〈O)

(2)当OSx〈l时，原方程为%2=2,而x=±