2023-2024学年人教版九年级数学上册重难点题型突破训练：二次函数的图像与性质（二）六大题型

专题2.2二次函数的图像与性质(二)(六大题型)

一名丸臣女蚣独____________________________________

【题型1二次函数的配方法】

【题型2二次函数的五点绘图法】

【题型3二次函数的图像与各系数之间的关系】

【题型4二次函数的平移变换】

【题型5二次函数图像的对称变换】

【题型6利用对称轴'顶点坐标公式求值】

波史曲霰_________________________

【题型1二次函数的配方法】

【典例1】(2022秋邛日曲县期末)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a

(x-〃)2+上的形式为()

A.y=(x-4)2+7B.,y=(x+4)2+7

C.y=(x-4)2-25D._v=(x+4)2-25

【变式1-1](2022秋•石家庄期末)把二次函数y=x2+2Y-6配方成顶点式为

()

A.y=(x-1)2-7B.v=(x+1)2-7

C.y=(x+2)2-10D.y=(x-3)2+3

【变式1-2](2023•青龙县一模)将二次函数y=x2-4.x-4化为y=a(x-h)

2+k的形式，正确的是()

A.y=(x-2)2B.v=(x+2)2-8C..v=(x+2)2D.y=(x-2)2-8

【变式1-3](2022秋•娄底期末)将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-力)

2+A■的形式为()

A.y=(x-1)2+1B.y=(x-1)2+2

C.y=(x-2)2-3D.y=(x-2)2-1

【变式1-4]用配方法将下列函数化成y=a(x+/?)2+上的形式，并指出抛物线的

开口方向，对称轴和顶点坐标.

1

2

(1)/y2=--x+6x-17；

(2)y=(2-x)(l+2x).

【题型2二次函数的五点绘图法】

【典例2】(2022秋•新罗区校级月考)已知：在平面直角坐标系中/(-1,

0),5(5,0),C(0,5)；

(1)在平面直角坐标系中画出△48C;

(2)画出过/、B、C三点的抛物线的大致图象.

(2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?

【变式2-2】(秋•亭湖区校级期末)已知二次函数y=(x-2)2-4.

(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象;

(2)根据图象，直接写出当yVO时x的取值范围.

【变式2-3】(秋•北京校级期中)对于抛物线y=x2-4"3.

(1)将抛物线的解析式化为顶点式.

(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.

X・・・・・・

・・・・・・

V

(3)结合图象，当0VxV3时，y的取值范围,

【变式2-4】(秋•张家港市校级期中)已知二次函数y=-(x-1)2+%

（1）用列表描点法，在所给的如图坐标系中画出这个二次函数的图象;

（2）根据图象写出当歹为正数时x的取值范围.

【题型3二次函数的图像与各系数之间的关系】

【典例3】（2022秋•远安县期末）函数了=y2_4与y=(〃W0)在同一

坐标系中的图象可能是（）

07

A

【变式3-1］（2022秋•莱州市期末）二次函数）；=二ax2+bx+c与一次函数y=ax+c

在同一坐标系中的图象可能是（）

7

C.1D.

【变式3-2］（2020•荷泽）一次函数y=acx+6与二次函数.v=ax2+&r+c在同一

【变式3-3］（2020春•市中区校级月考）设〃八〃是常数，且〃V0,抛物线产

A.6或-1B.3或-2C.3D.-2

【典例4】（2023•定西二模）在平面直角坐标系中，二次函数.v=a/+&c+c（a

W0）的图象如图所示，现给出以下结论①"cVO；（2）c+2a<0；③9a-36+c

=0；④a-b>〃i（ani+b）G〃为实数）；⑤4ac-2Vo.其中错误结论有

【变式4-1］（2023•梅州一模）如图是二次函数（aWO）的图象,

有如下结论：

①abc>0：（2）a+b+c<0：（3）4a+b<0；④4a>c.

其中正确的结论有（）个.

【变式4-2】（2023•莱西市二模）二次函数》=水2+加大：（aWO）的图象如图所

示，下列结论：①2a+Z>=0；②若为任意实数，则。+力>。"户+力〃；③。-

Z>+c>0；④3a+cV0；⑤若ax；+M=axg+加3且勺—2，其中*户2=2,

正确的个数为（）

【变式4-3]（2023•邻水县一模）已知二次函数y=ax2+加:+c（aWO）的图象如

图所示，有下列5个结论：

①abcVO；②9a+3Z>+cV0；（3）2c<3Z>；@a+b>ni（,ani+b'）（7〃W1）；⑤

若方程|ax2+6x+c|=l有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式4-4]（2023•雁塔区校级三模）如图，直线x=l是二次函数y=ax2+Z»x+c

QWO）的图象的对称轴，则下列结论：①仍c>0；②6+2a=0；③3a+c>

0；@）4a+22»+c>0,正确的是（)

C.②③④D.①②④

【变式4-5］（2023•牡丹江一模）对称轴为直线x=l的抛物线.v=ax2+，x+c（a,

Z）,c为常数，且aWO）如图所示，小明同学得出了以下结论：®abc<0,（2）

b2>4ac,③4a+2Z>+c>0,0）a+bW〃i（am+b）G〃为任意实数），其中结论

A.1B.2C.3D.4

【变式4-6］（2023•薛城区校级一模）已知二次函数.y=a/+&r+c（a#0）的图

象如图所示，有下列4个结论：

①abc>0；（2）b2<4ac；（3）2c<3b；④a+b）〃i（am+b）；其中正确的结论

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型4二次函数的平移变换】

【典例5】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数（x+l）2+3的图

集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函

数表达式为（）

A.y—（x+3）2+2B.y=（x-1）2+2

C.y=（x-1）2+4D.y=（x+3）2+4

【变式5-1]（2023春•金东区期末）将抛物线>=炉+2向左平移3个单位长度,

再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（）

A.y—（x+3）--2B.y=（x-3）2+6

C.（x+3）2+6D.y=（x-3）2+2

【变式5-2]（2023•江夏区校级模拟）将二次函数y=-x2的图象平移或翻折后

经过点（1,0）有4种方法：

①向右平移1个单位长度，

②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，

③向上平移1个单位长度，

④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，

你认为以上4种方法正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式4-3]（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y=N-2x+l向上平移2个单位

长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=N+bx+c,则b,c的值为

（）

A.b=-8,c=18B.b=8,c=14C.b=-4,c=6D.b=4,c=6

【变式4-4]（2022秋•邺城县期末）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移3个单位,

再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=N-以+3,则b+c的值

为•

【题型5二次函数图像的对称变换】

【典例5】（2022秋•朔城区期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+5

与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）

A.y=-x2-4x-5B.y=x2+4x+5C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x+5

【变式5-1］（2021秋•新市区校级期末）将抛物线y=-》2+级+3沿y轴对称后

的函数解析式为（）

A.y--x2-2x-3B.y=x2+2x+3C.y=x2~2x~3D.y=-x2-2x+3

【变式5-2］（2022春•海曙区校级期中）将抛物线y=9-6x-3沿x轴对称，

得到的新的抛物线解析式为.

【变式5-3］在同一平面直角坐标系中，若抛物线（2m-1）x+2m-4y

=x2-（3m+〃）x+〃关于y轴对称，则符合条件的m，〃的值为（）

A.m=1,M=-yB.m=5,n=-6

C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2

【题型6利用对称轴'顶点坐标公式求值】

【典例6】（2023•鼓楼区校级一模）关于二次函数y=-（x-1）2+3的最值，

说法正确的是（）

A.最小值为-1B.最小值为3C.最大值为1D.最大值为3

【变式6-1］（2022秋•盐山县校级期末）当y=N-6x-3的值最小时，x的取

值是（）

A.0B.-3C.3D.-9

【变式6-2］（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y=-N-4x+c的最大值为

0,则c的值等于（）

A.4B.-4C.-16D.16

【变式6-3］（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数y=-（x-l）2+3的最大值

是（）

A.-3B.-1C.1D.3

【变式6-4］（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0WxW4）如图，关于

该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）

-2^f--------4

A.有最大值2,有最小值-2.5

B.有最大值2,有最小值1.5

C.有最大值1.5,有最小值-2.5

D.有最大值2,无最小值

【典例7】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y=〃4-27〃x+2G〃W0）在

-2<x<2时有最小值-2,则加=（）

A.-4或B.4或-工C.-4或4D.4或工

2222

【变式7-1]（2022秋•和平区校级期末）已知二次函数y=x2-2x+2在

7〃+1时有最小值〃?，则整数7〃的值是（）

A.1B.2C.1或2D.±1或2

【变式7-2]（2021•东平县二模）如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点至Ux轴的

距离是3,那么c的值等于（）

A.8B.14C.8或14D.-8或-14

【变式7-3]（2022秋•海曙区期末）已知点尸（in,n）在二次函数、=/+4的

图象上，则m-n的最大值等于.

【变式7-4]（2022秋•天河区校级期末）当。-2Wx〈a+l时，函数,.v=-x2+Zv+3

的最大值为3,则a的值为.

【变式7-5]（2023•合肥二模）已知：关于x的二次函数

y=x2-aX+"!"（0<x<1）•

（1）当。=4时，函数的最大值为.

（2）若函数的最大值为则f的最小值为

专题1.2二次函数的图像与性质(二)(六大题型)

一名丸臣女蚣独_______________________________

【题型1二次函数的配方法】

【题型2二次函数的五点绘图法】

【题型3二次函数的图像与各系数之间的关系】

【题型4二次函数的平移变换】

【题型5二次函数图像的对称变换】

【题型6利用对称轴'顶点坐标公式求值】

波史曲霰___________________________

【题型1二次函数的配方法】

【典例1】(2022秋邛日曲县期末)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a

(x-〃)2+上的形式为()

A.y=(x-4)2+7B.,y=(x+4)2+7

C.y=(x-4)2-25D._v=(x+4)2-25

【答案】C

【解答】W：y=x2-8x-9

=x2-8x+16-25

=(x-4)2-25.

故选：C.

【变式1-1](2022秋•石家庄期末)把二次函数了=9+2丫-6配方成顶点式为

()

A.y=(x-1)2-7B.y=(x+1)2-7

C.v=("2)2-10D.y=(x-3)2+3

【答案】B

【解答】解：y=x2+2x-6=(x2+2.x+l)-6-1=(x+1)--7.

故选:B.

【变式1-2](2023•青龙县一模)将二次函数y=x2-4.x-4化为y=a(x-h)

2+上的形式，正确的是()

A.尸(x-2)2B.y=(x+2)2-8C.尸(x+2)2D.y=(x-2)2-8

【答案】D

【解答】y=x2-4x-4,

=x2-4x+4-8,

=(x-2)2-8

故选：D.

【变式1-3](2022秋•娄底期末)将二次函数-2x+3配方为y=(x-〃)

2+k的形式为()

A.y=(x-1)2+1B.y=(x-1)2+2

C.y=(x-2)2-3D.y=(x-2)2-1

【答案】B

【解答】解：j=x2-2x+3

—x2-2x+1+2

—(X-1)2+2,

故选：B.

【变式1-4】用配方法将下列函数化成了=a(x+〃)2+左的形式，并指出抛物线的

开口方向，对称轴和顶点坐标.

1

2；

(1)Jy=—zrr+6x-17

(2)y=(2-x)(l+2x).

【解答】解：(1)y=—1x2+6x-VI——J(x2-12x+36)+18-VI——4(x-

6)2+1,

1

a=—-<0,

开口向下，

对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,1)；

399

22

(2)，y—(2-x)(1+2x)=-2x+3x+2=-2(Zx—TlXo+—)o+-+2=-2

(T2+学

；a=-2<0,

，开口向下,

对称轴为直线X=4,顶点坐标为([•

448

【题型2二次函数的五点绘图法】

【典例2】(2022秋•新罗区校级月考)已知：在平面直角坐标系中/(-1,

0),刀(5,0),C(0,5)；

(1)在平面直角坐标系中画出△48C;

(2)画出过/、B、C三点的抛物线的大致图象.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图所示；△NBC即为所求；

(2)过/、B、C三点的抛物线的大致图象如图所示.

(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(2)根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0?

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）画图如图所不,

（3）根据图象知，当xVl或*>3时，y>0.

【变式2-2】（秋•亭湖区校级期末）已知二次函数尸（x-2）2-4.

（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

（2）根据图象，直接写出当yVO时x的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）列表:

・・・・・・

X01234

V•••0-3-4-30・・・

描点、连线如图;

(2)由图象可知：当yVO时x的取值范围是0VxV4.

【变式2-3】(秋•北京校级期中)对于抛物线y=x2-4x+3.

(1)将抛物线的解析式化为顶点式.

(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.

X・・・・・・

y・・・・・・

(3)结合图象，当0VxV3时，y的取值范围-1&V3.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2)2-1.

...抛物线的顶点式为故答案为：y=(x-2)2-1.

(2)列表：

X・・・01234•••

V・・・30-103•••

函数图象如图所示:

(3)根据函数图象可知：当0VxV3时，y的取值范围-lW.yV3.

故答案为：-lWyV3.

【变式2-4】(秋•张家港市校级期中)已知二次函数y=-(x-1)2+%

(1)用列表描点法，在所给的如图坐标系中画出这个二次函数的图象;

(2)根据图象写出当歹为正数时x的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)填表如下:

X・・・-10123・・・

V•••03430・・・

(2)如图所示：当y为正数时x的取值范围为：-1VXV3.

x

【题型3二次函数的图像与各系数之间的关系】

【典例3】（2022秋•远安县期末）函数y=ax2-。与了=公-a（aWO）在同一

坐标系中的图象可能是（）

【解答】解：/、由一次函数y=ax-a的图象可得：a>0,此时二次函数y=

"2-。的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故N正确；

B、由一次函数y=ax-a的图象可得：a<0,此时二次函数7=0/-。的图象

应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故3错误；

C、由一次函数.”=ax-a的图象可得：a>0,此时二次函数y=ax2-。的图象

应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误.

D、由一次函数y=ax-。的图象可得：a<0,此时二次函数.旷=以2-。的图象

应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故。错误；

故选：A.

【变式3-1]（2022秋•莱州市期末）二次函数'=收+加计。与一次函数y=ax+c

在同一坐标系中的图象可能是（）

A.B.

【解答】解：/、由一次函数y=ax+c的图象可得：a<0,此时二次函数y=

ax2+bx+c的图象应该开口向下，不可能；

B、由一次函数y=ax+c的图象可得：a>0,c>0,此时二次函数ynad+bx+c

的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴同一点，不可能；

C、由一次函数y=ax+c的图象可得：。>0,c<0,此时二次函数》=加+加九

的图象应该开口向上，交于y轴的负半轴同一点，有可能.

D、由一次函数.v=ax+c的图象可得：aVO,c<0,此时二次函数,y=a"+&r+c

的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于y轴同一点，不可能；

故选：C.

【变式3-2］（2020•荷泽）一次函数；v=acx+6与二次函数y=ax2+6x+c在同一

平面直角坐标系中的图象可能是（）

【解答】解：A>由抛物线可知，a>Q,b<0,c>0,则ac>0,由直线可知,

ac>0,b>Q,故本选项不合题意；

B、由抛物线可知，a>Q,b>0,c>0,则ac>0,由直线可知，ac>0,b>

0,故本选项符合题意；

C、由抛物线可知，a<0,b>0,c>0,则acVO,由直线可知，ac<0,b<

0,故本选项不合题意；

D、由抛物线可知，a<0,b<Q,c>0,则acVO,由直线可知，ac>0,b>

0,故本选项不合题意.

故选：B.

【变式3-3］（2020春•市中区校级月考）设加、〃是常数，且“V0,抛物线.”=

A.6或-1B.3或-2C.3D.-2

【解答】解：y=nix2+tix+ni2-in-6,

.n

••x=一百

因为“VO,所以对称轴不可能是x=0,所以第一个图，第二个图不正确.

三，四两个图都过原点，

'.iii1-m-6=0,即-3）G〃+2）=0,

.".in=3或-2.

第三个图中〃/V0,开口才能向下.

对称轴为：x=-^<0,

所以可以为-2.

第四个图，7〃>0,开口才能向下，

x=—/>0,而从图上可看出对称轴小于0,从而〃?=3不符合题意.

故选：D.

【典例4】（2023•定西二模）在平面直角坐标系中，二次函数了=〃/+及+。（a

WO）的图象如图所示，现给出以下结论①仍cVO;②c+2aV0；（3）9a-3b+c

=0；（4）a-b>m（am+b）为实数）；⑤4ac-A2Vo.其中错误结论有

()

y

x=—1

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】N

【解答】解：①由抛物线可知：a>0,c<0,

对称轴x=-上-VO,

2a

：.b>Q,

:.abcVO,故①正确；

②由对称轴可知：-2=-1,

2a

:・b=2a,

Vx=l时，y=a+6+c=0,

•••tH_3a=0,

/.c+2a=-3〃+2〃=-4V0,故②正确；

③（1,0）关于x=-1的对称点为（-3,0）,

Ax=-3时，y=9a-35+c=0,故③正确；

④当x=-1时，y的最小值为a-b+c,

时,y=ani2+bm+c9

:・am2+bm+c2a-b+c,

即〃-（4〃/+b）,故④错误；

⑤抛物线与X轴有两个交点,

,A>0,

即b2-4〃c>0,

/.4ac-52V0,故⑤正确；

故选：A.

【变式4-1]（2023•梅州一模）如图是二次函数y=ax2+6x+c（aWO）的图象,

有如下结论：

①abc>0：（2）a+b+c<0：③4a+AV0；④4a>c.

【答案】B

【解答】解：•••抛物线开口向上，与y轴交于正半轴,

，4>0,c>0,

•抛物线对称轴为x=-上->0,

2a

:・b<0,

/.abc<0,

.•.①错误；

•当x=l时，yVO,

〃+5+cV0,

.•.②正确；

•.•抛物线对称轴为x=-氏V2,a>0,

'：b>-4a,

：.4a+b>Q,

.•.③错误；

•抛物线对称轴为x=-3-V2,a>0,

2a

:・b>-4〃，

•1〃+6+cV0,

^.a-4〃+cV0,

-3〃+cV0，

^.3a>cf

Va>0,

/.4〃>c,

.•.④正确.

故选：B.

【变式4-2］（2023•莱西市二模）二次函数y=ax2+6x+c（aWO）的图象如图所

示，下列结论：①2。+。=0；②若加为任意实数，则。+力>。7〃2+加”③a-

b+c>Q；④3a+cV0；⑤若ax"Xi=ax"与，且X1/如其中阳+丫2=2,

正确的个数为（）

【答案】B

【解答】解：•••抛物线开口向下，

•.•抛物线对称轴为直线为=-2=1,

2a

：.b=-2a>0,BP2a+b=0,所以①正确；

•.•抛物线对称轴为直线x=l,

.,.函数的最大值为a+b+c,

a+b+c^ani2+bin+c,即a+b^ain2+bm,所以②错误；

•抛物线与x轴的一个交点在（3,0）的左侧，而对称轴为直线x=l,

.•.抛物线与x轴的另一个交点在（-1,0）的右侧，

，当x=-1时，yVO,

.•.4-b+cVO,所以③错误；

■:b=-2a,a-Z>+cVO,

...I+24+CVO,即3〃+cV0,所以④正确；

.£+曲=ax红加2，

••axj+^xi"axI~bx?=O,

.,.a（xi+x2）（X1-X2）+b（xi-x2）=0,

（Xi-x2）\a（xi+x2）+，]=0,

而X]#X2,

：.a（X1+X2）+b=Q,即Xi+X2=-—,

a

'：b=-2a,

/.XI+X2=2,所以⑤正确.

综上所述，正确的有①④⑤共3个.

故选:B.

【变式4-3]（2023•邻水县一模）已知二次函数,y=ax2+加+c（aWO）的图象如

图所示，有下列5个结论：

①aZ>cVO；②9a+3Z>+cV0；③2cV32>；@a+b>m（ani+b）（7〃W1）；⑤

若方程|ax2+6x+c|=l有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解答】解：•.•图象开口向下，

.*.o<0,

•.•对称轴x=l,

b

••b-=~2a,

.,力>0,

:抛物线交于y轴正半轴，

.*.c>0,

...abc<0,

故①正确；

由图象可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间,

.,.当x=3时，yVO,

即9a+36+cV0,

故②正确；

•根据图象可知，当x=-1时，y<0,

即a-b+c<0,

/.2a-2Z?+2c<0,

・・・结合6=-24,有-36+2。<0,

/.2c<3b,

故③正确；

；x=l时，有3；=。+。+。，且此时y值达到最大，

又,；》=机(机W1)时，Wy-am^bm+c,

.'a+b+c>arr^+bm+c,

/.a+b>m(am+b)(m#=l)成立,

故④正确.

根据|aN+bx+d=i有四个根，

可得aN+6x+c=i和4ZX2+/?X+C=-1各有两个根，

当4%2+6%+《=1时，ax^+bx+c~1—0,此时有乂+乂=3",

当"2+6x+c=-1时，有aN+bx+c+l=0,此时有x+乂=)-，

34a

+x+x=，

则有xl+x234~^~

=V

2a

2b=4,

即：|ax2+6x+c|=1的四个根和为4,

故⑤错误.

综上：①②③④正确，

故选：C.

【变式4-4］（2023•雁塔区校级三模）如图，直线x=l是二次函数y=ax2+Z»*+c

（a#0）的图象的对称轴，则下列结论：①Mc>0；@b+2a=0；③3a+c>

0；④4o+26+c>0,正确的是（)

C.②③④D.①②④

【答案】B

【解答】解：①•••开口向下,

：.a<0,

•.•对称轴在y轴右侧，

:.-上>0,

2a

：.b>0,

•.•抛物线与y轴交于正半轴,

：.c>Q,

abc<Q,故结论错误；

②;对称轴为直线x=l，

2a

2a+Z>=0.

故结论正确；

（3）V2<7+Z>=0,

:.b=-2a,

当x=-1时，y=a-b+c<0,

.,.a-（-la'）+c=3a+cV0,故结论不正确；

④当x=2时，4a+2b+c>0,故结论正确；

综上所述，正确的结论是②④.

故选：B.

【变式4-5］（2023•牡丹江一模）对称轴为直线x=l的抛物线.v=ax2+Z>x+c（a,

4c为常数，且aWO）如图所示，小明同学得出了以下结论：®abc<Q,（2）

b2>Aac,③4a+2Z>+c>0,④a+bW〃i（am+b）G〃为任意实数），其中结论

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：①由图象可知：a>0,c<0,

上=1,

2a

：.b=-2a<Q,

：.abc>0,故①错误；

②•••抛物线与x轴有两个交点，

'.b1-4ac>0,

b2>4ac,故②正确；

③当x=2时，y=4a+2合+cVO,故③错误；

④当x=l时，y取到值最小，此时，y=a+Z>+c,

而当x=〃？时，y=a，〃2+6"7+c,

所以a+b+catn2+bni+c>

故a+bWaM+bni,即。+/><〃(am+b'),故④正确,

故选：B.

【变式4-6](2023•薛城区校级一模)已知二次函数y=ax2+6x+c(aWO)的图

象如图所示，有下列4个结论:

①而c>0；②〃<4ac；③2cV36；④a+b2〃i(am+b)；其中正确的结论

C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：：•抛物线开口向下,

•••抛物线对称轴为直线x=l,

--=1,

2a

：.b=-2。>0,

,抛物线与y轴交点在x轴上方,

.,.c>0,

abc<Q,①错误.

•.•抛物线与x轴有两个交点，

/.b2-4ac>0,

.\b2>4ac,②错误.

'：b=-2a,

.".a=--,

2

由图象可得x=-1时，yVO,

:.a-b+c=-—b+c<0,

2

：.2c<3b,③正确.

时，函数取最大值，

a+b+c2am2+btn+c,

/.a+b^tn(,ani+b'),④正确.

故选：B.

【题型4二次函数的平移变换】

【典例5](2023•徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(.r+1)2+3的图

集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函

数表达式为()

A.y=(x+3)2+2B.y=(x-1)2+2

C.y=(x-1)2+4D.产(x+3)2+4

【答案】B

【解答】解：将二次函数y=(x+1)斗3的图集向右平移2个单位长度，再向

下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y=("1-2)2+3-

1,即广(X-1)2+2.

故选:B.

【变式5-1](2023春•金东区期末)将抛物线y=*2+2向左平移3个单位长度,

再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为()

A.y=(x+3)2-2B.y=(x-3)2+6

C.,v=(x+3)2+6D.y=(x-3)2+2

【答案】4

【解答】解：将抛物线y=N+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位

长度得到的抛物线解析式为：y=(x+3)2+2-4,BPy=(x+3)2-2.

故选：A.

【变式5-2］（2023•江夏区校级模拟）将二次函数＞=-/的图象平移或翻折后

经过点（1,0）有4种方法：

①向右平移1个单位长度，

②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，

③向上平移1个单位长度，

④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，

你认为以上4种方法正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解答】解：①向右平移1个单位长度，则平移后的解析式为y=-（x-1）

2,当x=l时，了=0,所以平移后的抛物线过点（1,0）,故①符合题意；

②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y

=-（x+1）2+4,当x=l时，y=0,所以平移后的抛物线过点（1,0）,故②

符合题意；

③向上平移1个单位长度，则平移后的解析式为y=-N+i,当》=1时，了=

0,所以平移后的抛物线过点（1,0）,故③符合题意；

④沿X轴翻折，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y=》2-1,

当x=l时，y=0,所以平移后的抛物线过点（1,0）,故④符合题意；

故选：D.

【变式4-3］（2023•宛城区校级模拟）将抛物线了=9-2x+l向上平移2个单位

长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=x2+bx+c,则4c的值为

（）

A.b=-8,c=18B.b=8,c=14C.b=-4,c=6D.b=4,c=6

【答案】D

【解答】解：二次函数y=/-2x+l=（x-1）2的图象向上平移2个单位，再

向左平移3个单位，

.,.平移后解析式为：y=（x-1+3）2+2=（x+2）2+2=N+4X+6,

则b=4,c—6.

故选：D.

【变式4-4]（2022秋•邺城县期末）抛物线了=9+区+。图象向右平移3个单位,

再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=N-以+3,则b+c的值

为—.

【解答】解：y—x2-4x+3=Cx-2）2-1,

所以将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的函数解

析式为：y=（x-2+3）2_l+2=x2+2x+2）

所以6=2,c=2＞

所以b+c=4.

故答案是：4.

【题型5二次函数图像的对称变换】

【典例5】（2022秋•朔城区期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+5

与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）

A.y=-x2-4x-5B.y=x2+4x+5C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x+5

【答案】D

【解答】解：由抛物线了=N-4X+5=（x-2）2+l知，抛物线顶点坐标是

（2,1）.

由抛物线y=N-4x+5知，C（0,5）.

该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（-2,9）.

•••该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y=-（x+2）2+9=-

x2-4x+5.

故选：D.

【变式5-1]（2021秋•新市区校级期末）将抛物线＞=-N+2X+3沿＞轴对称后

的函数解析式为（）

A.y=-x~~2x~3B.y=x2+2x+3C.y=x2-2x-3D.y=-x~-2x+3

【答案】D

【解答】解："：y=-N+2X+3=-（x-1）2+4,

•••抛物线开口向下，顶点坐标为（1,4）,

•••点（1,4）关于y轴对称轴坐标为（-1,4）,

，抛物线关于y轴对称后解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3,

故选：D.

【变式5-2](2022春•海曙区校级期中)将抛物线.y=x2-6x-3沿x轴对称，

得到的新的抛物线解析式为k-(.-3)2+12.

【答案】y=-(x-3)2+12.

【解答】解：6x-3=(x-3)2-12,

，抛物线y=x2-6x-3的顶点坐标为(3,-12),

•.•点(3,-12)关于x轴对称的点的坐标为(3,12),

.•.将抛物线y=x2-6x-3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y=-攵-

3)2+12,

故答案为：y=-(x-3)2+12.

【变式5-3]在同一平面直角坐标系中，若抛物线了=./+⑵〃-1)x+2m-4与y

=x2-(3i〃+〃)x+〃关于y轴对称，则符合条件的〃/,"的值为()

A.m—5n=——18B.ni=5,〃=-6

C.m=-1,〃=6D."i=l,n=-2

【解答】解：:•抛物线.y=x2+(2m-1)X+2〃L4与、=/-(3〃/+〃)x+〃关

于y轴对称，

.(2m—1=3m+n铲

**l2m-4=n，解乙付卜=-2，

，则符合条件的m,n的值为m=\,n=-2,

故选：D.

【题型6利用对称轴、顶点坐标公式求值】

【典例6](2023•鼓楼区校级一模)关于二次函数y=-(x-1)2+3的最值，

说法正确的是()

A.最小值为-1B.最小值为3C.最大值为1D.最大值为3

【答案】D

【解答】解：二次函数v=-(x-1)2+3中，

'：a=-1<0,

函数图象开口向下，

.,.函数有最大值，

•.•函数图象的顶点坐标为(1,3),

.,.二次函数歹=-（x-1）2+3的最大值为3.

故选：D.

【变式6-1]（2022秋•盐山县校级期末）当歹=N-6x-3的值最小时，x的取

值是（）

A.0B.-3C.3D.-9

【答案】C

【解答】解：-6x-3=（x-3）2-12,

该抛物线的顶点坐标是（3,-12）且抛物线开口向上，

当x=3时，该函数取最小值.

故选：C.

【变式6-2]（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y=-N-4X+C的最大值为

0,则c的值等于（）

A.4B.-4C.-16D.16

【答案】B

【解答】解：y=-x2-4x+c=-（x-2）2+4+c,

•••最大值为0,

4+c=0,

解得c=-4.

故选：B.

【变式6-3]（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数了=-（x-l）2+3的最大值

是（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【解答】解：二次函数J=-（X-1）2+3的最大值是3,

故选：D.

【变式6-4]（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0WxW4）如图，关于

该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）

A.有最大值2,有最小值-2.5

B.有最大值2,有最小值1.5

C.有最大值L5,有最小值-2.5

D.有最大值2,无最小值

【答案】N

【解答】解：观察图象可得，在0<xW4时，图象有最高点和最低点，

函数有最大值2和最小值-2.5,

故选：A.

【典例7】(2022秋•江门校级期末)己知二次函数y=7〃x2-2"/x+2G〃W0)在

-2WxW2时有最小值-2,则7〃=()

A.-4或-上B.4或C.-4或工D.4或工