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向量的数乘运算第1课时向量的数乘运算及其几何意义[目标导航]课标要求1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算律进行向量运算.3.理解向量线性运算的概念,并能进行向量的线性运算.素养达成通过平面向量数乘运算的学习,培养学生的数学运算素养.1新知导学素养启迪1.向量的数乘运算定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=

;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

.|λ||a|相同相反思考:数乘向量为何还是向量?答案:由数乘向量的定义知,实数λ与向量a的积λa的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小,所以数乘向量还是向量.2.向量的数乘运算法则运算律:设λ,μ为实数,则有(1)λ(μ

a)=

;(2)(λ+μ)a=

;(3)λ(a+b)=

.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(λμ)aλa+μaλa+λb3.向量的线性运算向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.(1)实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的.2课堂探究素养培育题型一向量数乘的定义及其几何意义√(1)当λ>0时,λa与a同向,当λ<0时,λa与a反向(a≠0).(2)当λ=0且a≠0时,λa=0,注意是0,而不是0.-4题型二向量的线性运算9a向量线性运算的基本方法(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的数乘运算中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数.(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.√题型三用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法.(2)方程法.当直接表示比较困难时,可以先利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则,建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.√解析:①③④正确,②错误,7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b.故选C.√解析:对于①,若a=0,则任意一个

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