2025高考数学一轮复习：指数与指数函数 专项训练【含解析】

课时过关检测（九）

指数与指数函数【原卷版】

E4

1.已知4>0,贝I-()

65

A.a5B.a6

55

C.a6D.a3

2ex

2.已知函数/（x）—（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…），若实数加满

足式㈤=—1,则八一"2）=（）

A.4B.3

C.2D.1

3.函数y=yj16—4%的值域是（)

A.[0,+°°)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

4.已知函数/（x）=（r一°）（无一b）（其中a>b）的图象如图所示，则函数g（x）=cf+b的图象

5.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的

全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡

导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污

染物数量N（mg/L）与时间t的关系为N=Noe"（No为最初污染物数量）.如果前4小时消除了

20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为（）

A.3.6小时B.3.8小时

C.4小时D.4.2小时

6.（多选）已知五x）=讦不，则（）

A.八尤）为奇函数B.7（x）为偶函数

C.兀c）在R上单调递增D.八龙）在R上单调递减

7.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数.

①当X1X2》。时，加1+尤2）=式尤1★>2）；②/（无）为偶函数.

8.已知函数式x）=/+il（a>0,且。/1）的值域为口，+8）,则。的取值范围为,

式—4）与八1）的大小关系是.

9.已知函数式尤）=6•必（其中a,6为常数，且。>0,aWl）的图象经过点4（1,6）,8（3,24）.

（1）求y（无）的表达式；

（2）若不等式七｝+《，一机》。在Xd（—8,1］上恒成立，求实数机的取值范围.

10.已知7U）=a—帚标为常数）为奇函数，则满足4依）>八1）的实数X的取值范围是

（）

A.（1,+8）B.（—8,1）

C.（-1,+°°）D.（-8,-1）

11.（多选）关于函数式x）=下扁的性质，下列说法中正确的是（）

A.函数应x）的定义域为R

B.函数/U）的值域为（0,+8）

C.方程处v）=尤有且只有一个实根

D.函数八x）的图象是中心对称图形

12.当xd（—8,—1］时，不等式1+2*+4%20恒成立，则a的取值范围是.

13.已知定义在R上的函数五x）=2*—右.

3

（1）右yu）=2，求尤的值；

（2）若2次2。+项也）》0对任意re口2恒成立，求实数m的取值范围.

14.已知g（x）为偶函数，以尤）为奇函数，且满足g（x）一〃（元）=2".若存在尤e［—1』］，使

得不等式加g（x）+/z（x）W0有解，则实数相的最大值为（）

,33

A.5B.一5

C.1D.-1

15.对于定义域为［0,1］的函数Hx）,如果同时满足以下三个条件：①对任意的尤

总有尤）20；d贸1）=1；③若％120,%2>0，尤1+X2WI,都有黄龙1+尤2）为（X1）+/（X2）成立，

则称函数八尤)为理想函数.

(1)若函数次元)为理想函数，求五0)的值；

(2)判断函数g(x)=2，-l(xe[O]D是否为理想函数，并予以证明；

(3)若函数%)为理想函数，假定三次6[0,1],使得负xo)e[0,l],且小湖=须，求证：於0)

=沏.

课时过关检测(九)

指数与指数函数【解析版】

1.已知〃>0,则------=()

65

A.a%B.a%

_55

C.aD.

a2a2：

解析：B——=~T^=a23=〃6.故选B.

2ex

2.已知函数y(x)=Gm+x(其中e为自然对数的底数，e=2.71828…)，若实数加满

足穴m)=T,则八一机)=()

A.4B.3

C.2D.1

2_

2e"2exe'2

解析：B由题意，函数危)=/+]+尺可得角—%)=©-1+]—%=~j~x=ex+\~x,

2ex2

可得加)+八一£»=/百+%+£11一%=2,即黄加)+以一利)=2,因为人加)=-1,所以八一

m)=3.故选B.

3.函数y=^16—4%的值域是()

A.[0,+8)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

解析：C要使函数有意义，须满足16—4%20,则工£(—8,2],所以4]£(0/6],则

0W16—4%V16,即函数y=\J16—4]的值域为[0,4).故选C.

4.已知函数八%)=(%—。)(%一3(其中〃＞。)的图象如图所示，则函数g(x)=〃+8的图象

是()

»<0,ab<0,①

解析：A由图象可知[八1）>0,今｛（1—a）（l—6）>0,②

、（一1一”）（一1-6）<0,③

因为a>6,所以由①可得：a>Q>b,由③可得：-1-6>0=>6<—1,由②可得：1—

a>O^a<l,因此有l>a>0>—1>6,所以函数g（x）="+b是减函数，g（0）=l+b<0,

所以选项A符合，故选A.

5.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的

全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡

导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污

染物数量N（mg/L）与时间t的关系为N=Me-h（M为最初污染物数量）.如果前4小时消除了

20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为（）

A.3.6小时B.3.8小时

C.4小时D.4.2小时

4

得

山-设Noef=O.64M=e2可0,可得e

解析：C由题意可得Noe』e5

-k=（e-4*）2=e-8/,解得/=8.因此,污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选C.

1—2工

6.（多选）已知於）=则（）

1+2”

A.式》）为奇函数B.7（x）为偶函数

C.五元）在R上单调递增D./（X）在R上单调递减

1—2一工2*—11—21

解析：AD八尤）的定义域为R,关于原点对称，因为—无）=[+20=2*+（=-]+2*

1—V9

—fix）,所以兀r）为奇函数，排除B；因为凡《）=[+2工=]工2；-1,且y=2"在R上单调递增,

2

所以y=l+2*在R上单调递增，所以y=苴有一1在R上单调递减，即式无）在R上单调递减,

排除C.故选A、D.

7.写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数.

①当X1X22。时，加1+%2)=/(%1求>2)；②A%)为偶函数.

解析：若满足①对任意的为X2》。有yUl+x2)=/(Xl)：/i>2)成立，则对应的函数为指数函数

>=户的形式；若满足②/U)为偶函数，只需要将X加绝对值即可，所以满足①②两个条件的

函数满足火x)=〃叫。>0,iWl)即可.

答案：兀0=2叫答案不唯一)

8.已知函数«x)=/+”a>0,且〃W1)的值域为［1,+°°),则〃的取值范围为,

八一4)与大1)的大小关系是.

解析：因为"+1|20,函数兀且〃W1)的值域为［1,+°°),所以〃>1.由

于函数=〃以+"在(一1,+8)上是增函数，且它的图象关于直线X=—l对称，则函数人。

在(一8,—1)上是减函数，故11)=X—3),/-4)>/1).

答案：(1,+8)X-4)>XD

9.已知函数兀i)="*其中。，b为常数,且〃>0,〃W1)的图象经过点A(l,6),5(3,24).

(1)求/(x)的表达式；

(2)若不等式1)+(3%一小20在x£(—8,1］上恒成立，求实数小的取值范围.

1万。=6,

解：(1)因为/(x)的图象经过点A(l,6),5(3,24),所以7§…

=24.

所以〃2=4,又〃>0,所以〃=2,b=3,所以«r)=3・2%.

(2)由(1)知。=2,b=3,则当尤e(—8,1］时，［1)+自,—%》。恒成立，即机・自，

+g〉在xG(—8,1］上恒成立.又因为与y=g}均为减函数，所以y=R}+G)

也是减函数，所以当x=l时，尸0叶(}>有最小值点则相吟故m的取值范围是

(51

I161

2

io.已知犬x)=。一帚①为常数)为奇函数，则满足八公)>式1)的实数x的取值范围是

()

A.(1,+8)B.(一8,1)

C.(-1,+°°)D.(-8,-1)

272

解析：A因为函数/(尤)=。-3*十］为奇函数，则兀0+式-x)=2a一5不7一尸不7=2。

22.3X2(1+3%)2

-3%+「3%(3%+］)=2〃-3%+］=2〃一2=0,解得a=1,所以段)=1-3%+］，任取x\

>X2,则3©>3X2，则式为)一玲；2)=(1—Wl)=母三3=

八盘:白巴>0,所以於1)>加2),则函数/U)为R上的增函数，由A^)>X1),解得X>1.故

选A.

11.(多选)关于函数式幻=不匕的性质，下列说法中正确的是()

A.函数八x)的定义域为R

B.函数/U)的值域为(0,+°°)

C.方程兀v)=尤有且只有一个实根

D.函数式x)的图象是中心对称图形

解析：ACD函数八尤)=不号的定义域为R,所以A正确；因为》="在定义域内单调

递增，所以函数/(x)=不上在定义域内单调递减，所以函数的值域为(0,3),所以方程共处

=%只有一个实根，所以B不正确，c正确；因为yu+i)+y(—x)=/lx+；_i_c+/l-

4IZ4-rZ十，

+2-^+l=2,所以风月关于点6，I)对称，所以D正确.

12.当尤e(—8,一口时，不等式1+2工+4%20恒成立，则a的取值范围是.

解析：不等式1+2工+41N0恒成立，转化为一aW*=今}+(1},易知函数y=(J

£+8)是R上的减函数，因此xd(—8,—1］时，ymin=Q)r+(1)r=6,所以一aW6,即

-6.

答案：［16,+°°)

13.已知定义在R上的函数/(x)=2x—表.

3

(1)若y(x)=］,求％的值；

(2)若2%2。+神⑺20对任意/£［L2］恒成立，求实数m的取值范围.

3

解：(1)当xvO时，/(x)=0,故危)=］无解；

当时，fix)=2x—^x,

13

由2%一百=》得2・2级—3・2%—2=0,

将上式看成关于2%的一元二次方程，

解得2%=2或2X=一；,

因为2%>0,所以2%=2,所以x=L

⑵当re[1,2]时，2(22J5)+"2(2'一

即Mi(22f-l)^-(24,-l),因为22,-l>0,

所以—(22,+l),

又y=一2"—1,re[l,2]为减函数，

所以Mnax=­2?—1=—5,故5.

即机的取值范围是[—5,+°°).

14.已知g(x)为偶函数，0(%)为奇函数，且满足g(x)—//(%)=2%.若存在使

得不等式相以工)+/1任)忘0有解，则实数机的最大值为()

33

A.5B.一三

C.1D.-1

解析：A•.•g(x)为偶函数，//(%)为奇函数，且且(%)—/?(%)=2%①，，g(一%)—/?(—%)=g(x)

2%+2—%2~x—2X

+/i(x)=2r②，①②两式联立可得g(x)=^-2，h{x)—~~5.由祖-g(尤)+/z(x)W0得

2X—2~X4A—122