广东省汕头市2025届高三数学第一次模拟考试试题文（含解析）

广东省汕头市2025届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合4=口|1。82%>1},3={0,1,2,3,4},则4B=()

A.[0,1,2}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】

先分别求出集合A3,由此能求出AB,得到答案.

【详解】由题意，集合4={尤|1。82»1}={尤|力2},3={0,1,2,3,4},

所以AcB={3,4},故选D.

【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中正确求解

集合A,再依据集合的交集运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

2.已知aeR,i是虚数单位，复数z=■，若目=J5,则。=()

A.0B.2C.-2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

通过复数的除法运算得到z=^一+」，，再由模的求法得到方程，求解即可.

22

Q+2z1

【详解】z=£±jl=()(~0=£±Z+^z£/,因为|Z|=V2,

1+i22211

等)=垃，即2a2+8=8,解得：。=0

故选：A

【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理实力与计算实力，属于基

础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关

系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

y<X

3.设尤,y满意约束条件<x+yW1,则Z=2x+y的最大值为()

y>-1

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.

【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，

目标函数z=2x+y可化为y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A时，止匕时在V轴上的截距

最大，目标函数取得最大值，

x+y=l/、

又由，，解得4(2,-1),

Iy=-i

所以目标函数的最大值为2啰=2x2-1=3,故选B.

【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式

组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重

考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题.

4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参与两项活动，则乙、丙

两人恰好参与同一项活动的概率为

【答案】B

【解析】

分析】

C2c2

求得基本领件的总数为〃=子广X&=6,其中乙丙两人恰好参与同一项活动的基本领件个

数为m==2,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参与两项活动，

基本领件的总数为n=国=6,

其中乙丙两人恰好参与同一项活动的基本领件个数为m=C1CX=2,

rri|

所以乙丙两人恰好参与同一项活动的概率为「=—=：；,故选B.

【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中

合理应用排列、组合的学问求得基本领件的总数和所求事务所包含的基本领件的个数，利用

古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

5.已知圆0:x?y24（0为坐标原点）经过椭圆C:=+[=l（a〉6〉0）的短轴端点和

ab

两个焦点，则椭圆C的标准方程为

222222

A,工+上=1B.土+上=1C.土+匕=1D.

4284164

【答案】B

【解析】

由题设可得〃=c=r=2,故6=/+°2=4+4=8,应选答案B。

6.已知向量/万满意a.(a+»=5,且|a|=2,g|=l,则向量G与匕的夹角为()

A.5B.4C.土D.也

6433

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量的数量积的运算及向量的夹角公式，求得COS£=L,进而求解，即可得到答案.

2

【详解】由题意，因为。(a+6)=5,所以42+4乃=5，

又因为|a|=2,|/1=1,所以/%=1，

设向量a和b的夹角为凡所以85夕=印司=有=5，夕6[0,乃],

71

所以6=—,故选C.

3

【点睛】本题主要考查了平面对量的数量积的运算，及向量的夹角公式的应用，其中解答中

熟记平面对量的数量积和向量的夹角公式，精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解

实力，属于基础题.

7.已知｛?｝是等差数列，也｝是正项等比数列，且

bx=1,Z>3=b2+2,Z>4=a3+a5,b5=a4+2a6,则。2018+4=()

A.2026B.2027C.2274D.2530

【答案】C

【解析】

【分析】

设等差数列｛4｝的公差为d,正项等比数列｛〃｝的公比为q(q>0),利用等差数列和等比数

列的通项公式，求得的值，即可求解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,正项等比数列｛〃｝的公比为q(q>0),

因为4=1也二62+2也=%+。5,&=。4+2a6,

4

所以=q+2,q3=2%+6d,q=3a}+13d,

解得q=2,q=d-1,

贝14()18+%=1+2017+28=2274,故选C.

【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质的应用，其中解答中熟记

等差数列和等比数列的通项公式，合理精确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算实力,

属于基础题.

8.将函数/(x)=sin2x+7的图象向右平移(个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则

JI37r

g(x)在一石，-不上的最大值为()

OO

A.-B.—C.3D.1

222

【答案】C

【解析】

【分析】

依据平移关系求出g(x)得解析式，然后求出角的等价范围，结合三角函数的最值性质，进行

求解，即可得到答案.

【详解】将函数/(x)=sin(2x+?)的图象向右平移？个单位长度，得到函数y=g(x)的图

象，

贝Ug(x)=sin[2(x-y)+—]=sm(2x--),

「713万]”…八5〃r2〃71、

因为工£一豆，-^-，所以2%-二--—,

_ooJ1233

所以当2x—1|=g时，即》=:时，函数g(x)取得最大值，最大值为5足(=咚，

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质

的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，合理运算是解

答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

9.在正方体ABC。-A4GA，中，点。是正方形ABC。的中心，关于直线4。下列说法

正确的（）

A.AO//DCB.4。//平面片CD]

C.AjO1BCD.A0_L平面AB]'

【答案】B

【解析】

【分析】

在正方体中，推导出A。/用COD//31D,从而平面4。。//平面与C。，由此能得到

4。//平面31c得到结论.

【详解】由题意，在正方体ABC。—A4G。中，点。是四边形ABC。的中心，

所以4。//耳C,/RD、,

因为AiDcDO-D,B[D[cB]C=,

所以平面4。。//平面3cA,

因为AOu平面a。。，所以a。//平面片CQ,故选B.

AC.

【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中明确几何体的结构特征，

熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证实力，属于

基础题.

I7171\

10.若函数/（x）="（cosx—。）在区间1万,万）上单调递减，则实数4的取值范围是（）

A.（-V2,+oo）B.C.D.

[A/2,+co）

【答案】D

【解析】

【分析】

求得/'（x）=e*（cosx-sinx-a）,把函数的单调性，转化为cosx-sinx-aWO在区间

xe（一手自上恒成立，即4"05工-5也工,工€（-春，9恒成立，利用三角函数的性质，即

可求解，得到答案.

【详解】由题意，/,（x）=e'（cosx-sinx-a）,

若/（九）在区间K）上单调递减，则cosx—sinx—aWO在区间（一,乡上恒成立，

即a2cosx-sinx,xe（―-,三）恒成立,

22

令丸（x）=cosx-sinx=0sin（?-x）,xe（-^，^）,

则々TT—xe（—74T,二i7T），故sin（T2C—x）的最大值为1,此时T4T—x=T2T,即工=一7T上，

4444424

所以秋光）的最大值为0,所以a20，故选D.

【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的单调及其应用，以及三角函数的图象与性质的

JTTT

应用，其中解答中转化为转化为“285%-5也%,％6（-万,万）恒成立，再利用三角函数的图

象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算实力，属于中档试题.

11.在三棱锥P—ABC中，平面ABC,S®c=2,NABC=30。，则三棱锥p—ABC

的外接球体积的最小值为（）

47r32%

A.4/B.---C.64兀

3

【答案】D

【解析】

【分析】

4

设AC=x,由AAPC的面积为2,得PA=—,进而得到A46C外接圆的半径厂二%和。到

x

平面ABC的距离为〃=▲•1%=2,在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.

2x

4

【详解】如图所示，设AC=x,由AAPC的面积为2,得PA=—,

X

因为NABC=30°，AABC外接圆的半径r=x,

4

因为24,平面A5C,且PA=—,

x

所以。到平面ABC的距离为d=-PA=-,

2%

设球。的半径为R,则氏=/7了7=，^+=2反2=2,

当且仅当％=拒时等号成立，

所以三棱锥尸-ABC的外接球的体积的最小值为一乃x23=二，故选D.

33

【点睛】本题主要考查了有关球与棱锥的组合体问题，以及球的性质的应用和球的体积公式,

其中解答中正确相识组合体的结构特征，合理应用球的性质求解是解答的关键，着重考查了

数形结合思想，以及推理与运算实力，属于中档试题.

12.已知函数f(x)是定义在(一，0)U(0,)上的偶函数，当x0时，

2K,0<X<2

/(X)=1I，则函数g(x)=2"x)-l的零点个数为

f(x-2'),x>2

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

作出函数/(%)的图象，依据“X)与y的交点个数，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，令g(%)=0可得〃x)=；,

作出函数/(%)在(O,y)上的函数图象，如图所示，

由图象可知/(x)=g在(0,+8)上有2解，

又由函数/(%)是偶函数，所以/(力=；在(一双0)上也有2解，

所以/(x)=g共有4个解，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的零点与函数图象的关系的应用，以及函数奇偶性的应用，其

中解答中把函数的零点问题转化为函数的图象的交点个数，合理作出函数的图象是解答的关

键，着重考查了推理与运算实力，属于中档试题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.已知函数/(%)=(法一1)6*+。(。/€尺).若曲线丁=/(%)在点(0,〃0))处的切线方

程为y=x,则a+/?=.

【答案】3

【解析】

【分析】

求出导数，利用曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为丁=%，建立方程，求得。力的

值，进而得到所求和，得到答案.

【详解】由题意，函数〃x)=3%T)e*+a,得/'(x)=e*・(Zzx+b—l),

曲线y=/(力在点(0，/(0))处的切线方程为丁=%,即/'(o)=1,/(o)=o,

即人一1=1,-1+。=0,解得a=l力=2,所以a+/?=3.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计

算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

14.有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱ABCABG的全部棱长都

是2,圆锥的顶点为ABC的中心，底面为AB3的内切圆，则该工艺品的体积为

【答案】2^/3——

【解析】

【分析】

先正三棱柱ABC-4与£底面的高为h=J口=73，进而求得底面为内

切圆的半径为r=走，利用几何体的体积公式，即可求解.

3

【详解】由题意，可知正三棱柱ABC-A31cl的全部棱长都是2,

所以的局i为h=刊4-1=A/3，

设底面为AAAG内切圆的半径为小贝八百―-)2=r+1,解得r=1,

3

1

所以该工艺品的体积为V=匕3CG—V=S枷cX朋—]»,9X明

=1X2X73X2-1X^-X(^)2X2=2^-^.

【点睛】本题主要考查了组合体的体积的计算，其中解答中依据空间几何体的线面位置关系，

求解底面正三角形的内切圆的半径，利用体积公式精确计算是解答的关键，着重考查了空间

想象实力，以及推理与计算实力，属于基础题.

15.已知数列｛4｝的前n项和为Sn，已知％=1,g=2,且an+2=3s“一S„+1+3(〃eN*),

贝0Si。=.

【答案】363

【解析】

【分析】

利用数列的通项与数列的和的关系，得S“+2—=3Sn-Sn+l+3,整理得S“+2=3S“+3,

进而通过递推关系，即可求解.

【详解】由题意，数列｛4｝的前"项和为S"，已知％=1,出=2,且a,+2=3S“—S〃+i+3,

所以\+2-S„+1=3sli-S„+1+3,整理得S“+2=3S〃+3,

当九=2时，S4=3S2+3=9+3=12；

当〃=4时，$6=3S4+3=36+3=39；

当〃=6时，1=356+3=117+3=120；

当〃=8时，S］。=3S8+3=360+3=363.

故答案为363.

【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中娴熟应用数列的通项和数列的

前n项和之间的关系，合理利用递推公式求解是解答的关键，着重考查了运算实力与转化实

力，属于中档试题.

22

16.设双曲线1■-七=1的左右焦点分别为耳，F2,过耳的直线1交双曲线左支于A,B两点,

则|纯J+|B用的最小值等于_.

【答案】16

【解析】

试题分析：

|AF,|+1BK|=2a+\AFX\+2a+\BFX|=4a+1AB|>4a+—=4x3+^^=16

一一a3

考点：双曲线定义

【思路点睛】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深化理解细微环节部分：比如椭圆的

定义中要求|PFJ+|PF2|>|FE|,双曲线的定义中要求I|PFi|一|p&||<|FiFz|,抛物线上的

点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)留意数形结合，画出合理草图.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.在ABC中，角A,B,C对边分别为a/,c,JOsinA=a-(2—cosB).

(1)求角B的大小；

(2)D为边AB上一点，且满意CD=2,AC=4,锐角三角形4ACD的面积为A，求BC的

长。

【答案】(1)1;(2)非.

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理化简得/sin8=2—cos3,得到sin(3+£)=l,进而求得8=生.

63

(2)利用三角的面积公式，化简求得sin/ACD=边5,进而得cosNACD=工，再由余弦

44

定理求得AD=4,再根在AACD和在AABC中，利用正弦定理，可求解.

【详解】(1)由正弦定理得百sinBsinA=sinA(2—cosB),

因为Aw(0,»),则sinA>0,所以J^sinB=2—cosB,

ITTT

所以2sin(3+—)=2,所以sin(B+—)=1,

66

TTTTTT

因为5e(0,%),所以8+—=—,解得8=—.

623

(2)由题意，可得S0CD=3・。。-65也4。。=1-2><45也/40)=厉，

解得sin/ACD=巫，

4

又因为AACD为锐角三角形，所以cosNAO)=Jl—sii?NAC以=L

4

又由余弦定理得A£>2=042+052—2C4-CDCOSZACD=22+42—2X2X4XL=I6,所

4

以AD=4,

mATJm/is

在AACD中，由正弦定理得一二二.二方,则sinAuf-sinNACDuY^，

sinAsinZACDAD8

在AA5C中，由正弦定理得/巳=」Q，则§C=A°sinA=6

sinAsinBsinB

BC

【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角

形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，

利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、

余弦定理解三角形问题是高考高频考点，常常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结

合正、余弦定理解题.

18.如图所示，四棱锥尸—A5CD中，B41.菱形A3CD所在的平面，ZABC=6Q°,E是BC

中点，M是PD的中点.

（1）求证：平面平面PAD；

（2）若歹是PC上的中点，且A3=AP=2,求三棱锥P—AMR的体积.

【答案】（1）见解析;⑵器.

【解析】

【分析】

(1)证明：连接AC,因为底面A6CD为菱形，得到证得所以AELAD，再

利用线面垂直的判定定理得平面上40,再利用面面垂直的判定，即可证得平面

AEA/上平面R4D.

(2)利用等积法，即可求解三棱锥P-AMR的体积.

【详解】(1)证明：连接AC,

因为底面ABCD为菱形，NABC=60°，所以AA5C是正三角形，

因为E是8C中点，所以又ADUBC,所以AELA。，

因为平面ABC。，AEu平面ABCD,所以K4LAE，

又B4cAD=A,所以平面RID

又AEu平面AE2W,所以平面AEML平面上4D.

(2)因为AB=AP=2,则A£>=2,AE=石，

所以Vp_AMF=VM-PAF=^D-PAF=~^VF-PAD=X~^VC-PAD

=-V=-x-xSxPA=—x-xADxAExPA=—x2xV3x2=—.

4pAcrn43A4rn122246

【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中

熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常

见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可干脆用公式求解的柱体、锥体或台体，则可干

脆利用公式进行求解.②若所给定的几何体的体积不能干脆利用公式得出，则常用转换法、

分割法、补形法等方法进行求解.

19.我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广袤，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的

优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标记产品，产量高、肉质肥、养分好，素有“海

洋牛奶精品”的美誉.2024年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，依据该基地的养殖规

模与以往的养殖状况，现有人工投入增量x(人)与年收益增量y(万元)的数据如下：

人工投入增量X(A)234681013

年收益增量y1万元)13223142505658

该基地为了预料人工投入增量为16人时年收益增量，建立了y与x的两个回来模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回来方程：勺=4.5+11.8；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y=+a的旁边，对人工

投入增量x做变换，令/=«,则y=+且有

77

T=2.5,歹=38.9,—ij(y—y)=81.0,=3.8.

i=\z=l

(1)依据所给的统计量，求模型②中y关于x的回来方程(精确到0.1)；

(2)分别利用这两个回来模型，预料人工投入增量为16人时的年收益增量；

(3)依据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数并说明(2)中哪个模型得到的预

测值精度更高、更牢靠？

回来模型模型①模型②

回来方程y=4.1x+11.8y=by/x+a

7

182.479.2

Z=1

,£化--T）（％-刃一

附：样本&，v)0=1,2,的最小二乘估计公式为:b=-------------,a=y-bT,

之（—）2

i=l

£(2)2

另，刻画回来效果的相关指数R2=l-V------------

E^-y)2

i=l

【答案】(1)y=21.3^-14.4；(2)77.4(万元)；70.8(万元)；(3)模型②比模型

①精确度更好、更牢靠.

【解析】

【分析】

(1)利用公式，分别求得B土21.3和14.4,即可得到回来直线的方程;

(2)当x=16时，分别代入模型①和模型②中，计算出年收益的预料值，即可得到答案;

182.479.2

（3）由表格中的数据，有182.4>79.2,即E（x-y）2,依据A2的公式即

i=l

可得到相应的结论.

77

【详解】(1)由题意知：T)(y—歹)=81.0,£&—T)2=3.8

z=li=l

n

Z&—亍）（乂一了）81n

可得g=q-----------------=—«21.3

—、23.8

/=1

又亍=2.5,5=38.9,所以3=9一石亍=38.9—21.3x2.5土一14.4,

所以，模型②中y关于x的回来直线方程为y=21.3^-14.4.

(2)当x=16时，模型①年收益增量预料值为夕=4.1x16+11.8=77.4万元，

模型②中年收益的预料值为：y=21.3x716-14.4=21.3x4-14.4=70.8万元.

182.479.2

（3）由表格中的数据，有182.4>79.2,即£日_歹）2£（>_-）2，

z=li=l

由发的公式可知，模型①的笈小于模型②，说明回来模型②可化的拟合效果更好，在（2）

中，用模型②预料当人工增量x=16时，年收益增量为70.8万元，这个预报值比模型①预报

的77.4万元精度更高，更牢靠.

【点睛】本题主要考查了回来直线方程的求解，以及回来分析的应用问题，其中解答中依据

公式精确计算相应的回来直线的方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的

实力，以及运算与求解实力，属于基础题.

20.已知抛物线C的标准方程为必=2px（p>0）,M为抛物线C上一动点，4。，。）（aw0）

为其对称轴上一点，直线八必与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线

肱1与其对称轴垂直时，AMQV的面积为18.

（1）求抛物线C的标准方程；

11

（2）记》=不3+?7-，若"直与”点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求

出全部“稳定点”，若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线C的标准方程为V=i2x；（2）。=3时，f与机无关.

【解析】

试题分析：（1）由已知MN为通径，因此A/N=2p,由SA°MN=18可求得尸=6；（2）定点

问题处理，设设直线MN的方程为1=阳+。，代入抛物线方程，

由韦达定理得%+，计算

F=\AM\+I4A/I=A21~I+L2\~I=/12.用^，按a>°和a<°分类

1^1\AN\，1+“血J1+"广冈Vl+m2

后探讨可得。取特定值时t与机无关，即4为稳定点.

112

试题解析：（1）由题意，S^MON———.\p=6,

抛物线C的标准方程为/=12X

(2)设朋■(%，x),N(%2，y2)，

x=my+an

设直线MN的方程为1=冲+。，联立｛2得丁―12my—12a=0,

y=12x''

A=144/w2+48。＞0，%+%=12瓶,%%=-12a,

由对称性，不妨设机＞0,

①。＜0时，：乂%=-12。＞0,%,为同号，

11_11

又"雨+丽=抗+/闻++版昆|'

.2,1(%+7)[1144疗=11__

-1+机2(%M)2-1+加2144。2-l+m2J

不论。取何值，f均与加有关，即。＜0,A不是“稳定点”；

②a＞0时，：%%=-12。＜0,%,必异号.

11_11

又1=丽+初=状+功］R+&+加］%|

22(1—J

(Xfj1=1_144疗+48a_1]+匕1

122222

1+m(%%)21+加2(M%)21+m144aa1+m

I7

仅当—1=0,即a=3时，t与加无关，稳定点为A(3,0)

3

考点：抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系.

【名师点睛】在解析几何中，求直线上两点间距离，可利用直线的斜率简化距离公式：

P®,%),，%)是直线＞=区+机上的两点，则

=—

\PQ\Jl+k。|X[X2|=|J7J_丁2I,而|不_々I=d(X]+%2)2-4%]%2，只要利用韦达

定理就可得.

x

21.已知=+ae-In%.

(1)设x=1■是/(x)的极值点，求实数。的值，并求/(%)的单调区间：

(2)a〉0时，求证：/(x)>1.

【答案】(l)a=半单调递增区间为1g,+s],单调递减区间为[0,；]；(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意，求得函数的导数/''⑺7+“，——，由x=5是函数/(%)的极值点，解得

X乙

a=处,又由广(g]=0,进而得到函数的单调区间；

⑵由(1),进而得到函数/⑺的单调性和最小值/(x)mm=/-/T叫，

4^(%)=-x2+--x-ln%,(0<x<l),利用导数求得g(x)在(0,1)上的单调性,即可作出

/X

证明.

【详解】(1)由题意，函数/(%)的定义域为(0,+8),

又由/'(x)=x+ae*—L且x是函数/(%)极值点，

所以/'[=]=1+四5—2=0,解得。=地，

22e

又a>0时，在(0,转)上，/'(x)是增函数，且=

所以/'(x)>0,得x〉g,/'(x)<0,得0<x<g,

所以函数/(%)的单调递增区间为，,+[,单调递减区间为

(2)由(1)知因为a>0,在(0,+co)上,/'(x)=x+ae*—l是增函数，

X

又/'⑴=l+ae—1>0(且当自变量》渐渐趋向于0时，/'(%)趋向于f),

所以，3xoe(O,l),使得/'(i)=0,

"1C电1

所以+aeo---=°,即ae。=----x0,

%%

在xe(O,%o)上,fr(x)<0,函数八%)是减函数，

在左«面,长0)上,/,(x)>0,函数是增函数，

所以，当X=X0时，/(九)取得微小值，也是最小值，

所以“x)min=/(%)=—ln%0+'-%—1叫,(0</<1),

/ZXo

令g(%)二一/H---x-lnx,(0<x<l),

2x

则g'(x)—Xf-1-(X-1)---，

当XG(O,1)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，所以g(x)〉g(l)=g,

即/(x)2/(x)1mn>；成立，

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化

归思想、分类探讨、及逻辑推理实力与计算实力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用

导数探讨函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分别变量，构造新函数,

干脆把问题转化为函数的最值问题.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所作的第

一题计分.

%=2COS6Z

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为《..(戊为参数，«>0).以坐

y=a+2sma

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为

/7sin0--=272.

4

(1)设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线/的距离的最大值为20+2,求。的值;

(2)若曲线C上随意一点(尤,y)都满意丁2国+2,求。的取值范围.

【答案】(1)8；(2)[2