2024-2025学年新教材高中数学课时检测55函数y＝Asinωx＋φ图象与性质的应用习题课含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE8函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课) [A级基础巩固]1．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为eq\f(π,4)，则f(x)的最小正周期为()A．2π B．πC.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：选B函数f(x)＝sinωx与f(x)＝sinx的图象形态相同，视察图象可知对称中心与对称轴最近距离为eq\f(1,4)T.由题意得eq\f(1,4)T＝eq\f(π,4)，所以T＝π.2．(多选)已知函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)与g(x)＝eq\f(A,2)cosωx的部分图象如图所示，则()A．A＝1 B．A＝2C．ω＝eq\f(π,3) D．ω＝eq\f(3,π)解析：选BC由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝eq\f(A,2)cosωx，即eq\f(A,2)＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asinωx.由f(x)的图象可知，T＝eq\f(2π,ω)＝1.5×4，可得ω＝eq\f(π,3).3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对随意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于()A．3或0 B．－3或0C．0 D．－3或3解析：选D由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))知，x＝eq\f(π,6)是函数的对称轴，解得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－3或3.故选D.4．函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ等于()A.eq\f(π,6) B．－eq\f(π,6)C.eq\f(π,3) D．－eq\f(π,3)解析：选D函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后，得到函数y＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象．由于平移后的图象关于原点对称，∴eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，由|φ|<eq\f(π,2)得φ＝－eq\f(π,3).5.为了探讨钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，秒针从P0(注：此时t＝0)起先沿顺时针方向走动，同点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t－\f(π,6)))解析：选C∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－eq\f(2π,60)＝－eq\f(π,30)(弧度/秒)，由P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，得cosφ＝eq\f(\r(3),2)，sinφ＝eq\f(1,2).解得φ＝eq\f(π,6).∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))，故选C.6．已知函数y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则φ的值为________．解析：由题意可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝±1，解得eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即φ＝－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．因为－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以k＝0，φ＝－eq\f(π,6).答案：－eq\f(π,6)7．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的对称轴方程是________．解析：对于函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．答案：x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)8．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中0<A≤2，0<ω<2，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的图象，列出的部分数据如表：x01234y101－1－2经检查，发觉表格中恰有一组数据计算错误，请你依据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．解析：在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．依据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意；又∵0<A≤2，函数图象过(4，－2)，∴A＝2.∵函数图象过(0，1)，∴2sinφ＝1，又∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，知x＝1时函数取得最大值2，因此函数的最小正周期为6.∴ω＝eq\f(π,3).故y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6))).答案：y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)图象上的一个最低点为Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－2))，且f(x)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为2π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,3)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的值域．解：(1)由题意知A＝2，eq\f(T,2)＝2π，故T＝4π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(1,2)，又函数f(x)的图象过点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－2))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝－2，∴eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z，又－π<φ<0，∴φ＝－eq\f(3π,4).则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(3π,4))).(2)将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(3π,4)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后，得到函数y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(3π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,3)，纵坐标不变，可得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(2π,3)))的图象，∴g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(2π,3))).若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，则eq\f(3,2)x－eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(2π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))，则g(x)的值域为[－2，eq\r(3))．10．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(5,4).(1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．解：(1)令2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)；令2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，则x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，所以对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，0))(k∈Z)．(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝－1，即2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，x＝－eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为eq\f(3,4)，此时x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))).[B级综合运用]11．(多选)对于函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π,3)))，下列选项正确的是()A．y＝f(x)的图象是由f(x)＝cosπx的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度而得到的B．y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))C．y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，0))对称D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(2,3)对称解析：选CDf(x)＝cosπx的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，所得函数的解析式为f(x)＝cosπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－\f(π2,3)))，故选项A错误；当x＝1时，f(1)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)，故选项B错误；当x＝eq\f(5,6)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3)))＝0，y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，0))对称，故选项C正确；当x＝－eq\f(2,3)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)－\f(π,3)))＝－1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(2,3)对称，故选项D正确．综上，正确的选项为C、D.12．(多选)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，关于函数g(x)，下列说法不正确的是()A．函数g(x)是奇函数B．函数g(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,4)对称C．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，函数g(x)的值域是[－1，2]D．函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函数解析：选ABD依题意得g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x.g(x)是偶函数，A错误；又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝0≠±2，B错误；由0≤x≤eq\f(π,3)得0≤2x≤eq\f(2π,3)，从而－1≤2cos2x≤2，C正确；由eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)得eq\f(π,2)≤2x≤π，因此g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，故D错误．故选A、B、D.13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为________．解析：由题图可知A＝eq\f(3＋1,2)＝2，B＝eq\f(3－1,2)＝1，T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，所以ω＝2.故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由eq\f(π,12)×2＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1.令2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z)，当k＝0时，x＝－eq\f(π,6).所以函数f(x)的图象的一个对称中心的坐标可以为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))(答案不唯一)14．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq\f(π,8)对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．解：(1)因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝eq\f(π,2).(2)因为f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq\f(π,8)对称，所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，即sinφ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝cosφ，所以tanφ＝1，φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．又φ∈(0，π)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).由2x＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)，由2x＋eq\f(π,4)＝kπ，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)(k∈Z)，所以f(x)的对称轴