人教版初中八年级数学上册同步讲义-约分与通分（原卷版）

第02讲约分与通分

学习目标

课程标准学习目标

1,掌握最简分式的概念，并能够熟练的进行判断。

①最简分式2.掌握公因式的概念能够熟练的求分子分母的公因式，

②公因式与约分然后利用分式的性质进行约分。

③最简公分母与通分3.掌握最简公分母的概念，能够熟练的求最简公分母，

然后利用分式的性质进行分式之间的通分。

思维导图

公因式的慨念与求去

知识清单

知识点01公因式

1.公因式的概念：

一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的。

2.公因式的求法：

对分子分母进行因式分解，然后求出系数的与最低次累。他们的乘

积为公因式。

题型考点：①求分子分母的公因式。

【即学即练1】

1.分式虫彳-中分子、分母的公因式为.

20mn

【即学即练2】

2.2

2.在分式*匕+xy中,分子与分母的公因式是

2xy

知识点02最简分式

1.最简分式的概念:

分子分母没有的分式叫做最简公因式。

题型考点：①判断最简分式。

【即学即练11

3.下列分式中，是最简分式的是（)

A.也B*1C.也D.m

,21

X2X-12xX-1

【即学即练2】

4.下列分式中，属于最简分式的是（)

A.&Bx+1

,21

3xX-1

Cx+lD2x

xz9+2x+lx2+l

【即学即练3】

5.如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分式为和谐分

式”.下列分式中，是“和谐分式”的是（）（填序号即可）.

①号②玲③4④襦•

A.①B.②C.③D.@

知识点03约分

1.约分的概念：

根据分式的，把分子分母的约去，这个过程叫约分。

2.约分的步骤：

①对分式中能的分子或分母先进行因式分解。

②约去分子分母的公因式即可。

题型考点：①约分。

【即学即练1】

22

6.分式15x-?z,约分为

-lOxyz2

【即学即练2】

7.下列约分正确的是（）

2,2

Aa-b空空口

A・----------=a+bB.

a-bb-a

21

「2a+4b_D.—△

C•g=a+4b

2i2b

ab0

【即学即练3】

8.若分式（x-1）（x+2）可以进行约分化简,则该分式中的A不可以是（

（x-A）x

A.1B.xC.-xD.4

知识点04最简公分母与通分

1.通分的概念:

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值________的的分式的

过程叫做通分。这个相同的分母叫做o

2.最简公分母的求法：

最简公分母=所有系数的X所有因式的o对能进行因式分解的分母先因

式分解，在确定所含有的因式。

3.通分的步骤：

①将所有能分解因式的分解因式。

②求出。

③利用在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成。

题型考点：①求公分母。②对分式进行通分。

【即学即练1】

9.分式一:，当，2^的最简公分母是（）

xy2x3xy

A.3xyB.6丁/C.6x6y6D.x3y3

【即学即练2】

10.分式与—_的最简公分母是（）

x+5xx-25

A.x(x+5)B.(x+5)(x-5)

C.x(x-5)D.x(x+5)(x-5)

【即学即练3】

11.分式写一,

一的最简公分母是()

X-XX-1x'+2x+l

A.(x2-x)(尤+1)B.(X2-1)(x+1)2

C.尤(尤-1)(尤+1)2D.x(x+1)2

【即学即练4】

12.通分：

(1)旦与乌-6c匕c

(2)I-与---T

3y2y2ab3ab

【即学即练5】

13.通分：

(1)-----!———(2)-^―

22222x+22X2X

x-Vx+2xy+yx-yx-l+2+1

题型精讲

题型01最简分式的判断

【典例1】

下列各式中，最简分式是（）

2,2

A.3453)x+y

Bo2

85(x-y)xy+xy

22D.(X—

C.

22

x+yy-x

【典例2】

下列分式是最简分式的是（）

22

A6(x-y)B.

8(x+y)x-y

2,2Dx2+y2+2xy

cx+y

2A222

xy+xyx-y

【典例3】

下列分式是最简分式的个数为（）

②—；③乎④^—

x2+y3azbx"-4x"-5x-6

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例4】

a222,2上

下列分式：学匕，y-x,七匕，xyx,其中最简分式的个数有（

)

3xx-yx+y2x+4xy

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型02公因式与公分母

【典例1】

要将5乂?化成最简分式,应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（）

20x2y

A.孙B.5xyC.5xyzD.20xy

【典例2】

22222

下列各式①理2；②-V--X；③y+x④几；⑤，生旦中分子与分母没有公因式的分式是—•（填

27ax+yx+ymx-3

序号）.

【典例3】

-^―的最简公分母是（

分式一)

22

x-yx+xy

A2-2

•AryvB.

C.(x+y)(x-y)D.x(x+y)(x-y)

【典例4】

分式，、_L、—二的最简公分母是

()

22

x+yx-yx_y

A.(x+y)(x-y)B.(x+y)(x-y)(x2-y2)

C.(x+y)(x2-y2)D.(x-y)(x2-『)

【典例5】

已知分式12〃是这两个分式中分母的公因式，6是这两个分式的最简公分母，且2=3,则x

2x2-2'x+1'b

的值为（)

5

♦BiC4D.

题型03约分

【典例1]

32

约分的结果是（）

2xy

A.3xB.3xyC.3孙2D.3^y

【典例2】

2_2

计算的结果为（）

x-xy

A.也B.*C.立D.x-y

xxx

【典例3】

如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中,

是“和谐分式”的是()

22

A.三工Bx+y

x-yx^2-xy+y2

x2-2xy+y2

c4x+2yn

・x2-4-y22x-2y

【典例4】

x2-l?

则？等于()

X2+2X+1X+1

A.x+1B.x-1C.x+2D.x-2

【典例5】

小丽在化简分式上工时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是()

x2-lx+1

222

A.尤2-2x+lB.X+2X+1C.x-1D.x-2x-1

题型04通分

【典例1】

分式23a2的分母经过通分后变成2(a-b)2(〃+%),那么分子应变为()

a-b

A.6a(〃-/?)2(〃+/?)B.2(a-b)

C.6。(〃-/?)D.6a(a+b)

【典例2】

将分式一'与分式j+l通分后,a+1的分母变为(1+“)(1-°)2,则二^的分子变为()

I-aa-2a+la-2a+l1-a

A.1-aB.l+〃C.-1-aD.-1+a

【典例3】

若将分式也与产通分,则分式①的分子应变为()

mtn2(m-n)m+n

A.6m-6mnB.6m-6n

C.2(m-n)D.2(m-n)(m+n)

【典例4】

按照下列要求解答：

(1)约分：xj+xj；(2)通分：二-与

x^-y2x'y3xy2

【典例5】

通分十一21

2

x-6x+9X-913X-9

强化训练

1.下列分式中，最简分式是（）

C.D.3-X

4-x2x2-6x+9

2.下列说法正确的是（）

A.代数式2tl是分式

2冗

B.分式「^中x,y都扩大3倍，分式的值不变

3x-2y

2_o

C.分式^~的值为0,则X的值为-3

x-3

D.分式是最简分式

X-1

3.下列结论中，正确的是（）

A.尤为任何实数时，分式空"总有意义

X

2_-

B.当1=±2时，分式1-4的值为o

X2-5X+6

C.-----------和---J----的最简公分母是6根（2x-y）（y-2x）

2m（2x-y）6m（y-2x）

D.将分式组上中的x,y的值都变为原来的10倍，分式的值不变

y-2x

4.化简分式与鸟■的结果是（）

a-b

A.a+bB.工c.7D.立

7a+ba-b7

2

5.若机为整数,则能使m-2m+L也为整数的m有()

21

m-1

A.1个B.2个C.3个D.4个

l+2a+a?

6.若.1+a则尤等于（）

21

a-1X

A.a+2B.a-2C.a-1D.〃+l

112

7.把.,通分过程中，不正确的是（)

x-2(x-2)(x+3)(x+3)

A.最简公分母是(x-2)(x+3)2

1(x+3)2

B.

2

x-2(x-2)(x+3)

1x+3

C.

2

(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)

22x-2

D.

(x+3产(x-2)(x+3产

8.把•—与一\通分后，—的分母为(1-0)(a+1)2,则—'的分子变为（

a+2a+lI-aa+2a+ll-a

A.1-aB.\+aC.-1-aD.-1+a

9.约分：①的%*2-9

2-9

20abx-6x+9

手一的分子，使得分式为最简分式,

10.有分别写有无，x+1,X-1的三张卡片，若从中任选一个作为分式，

X-1

则应选择写有的卡片.

11.以下三个分式二鼻，4-—一的最简公分母是

2x+22

x+xX-1

2_

12.已知x为整数，则能使代数式二主的值为整数的x值之和为.

X+1

13.通分

a-l

4(2)

⑴之22

6xy