中考数学复习：一元二次方程专项易错题（含答案）

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),

其对称轴I为x=-1.

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上.

①当PA_LNA,且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.

【答案】(1)y=-(x+1)2+4,顶点坐标为(-1,4)；(2)①点P(-72-1-

2)；②P(-g,y)

【解析】

试题分析：(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1=-1即可得到

抛物线的解析式；

(2)①首先求得抛物线与X轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到方

程求得x的值即可求得点P的坐标；

②S四边形ABCP=SAOBC+SAAPD+S梯形PDOC，表示出来得到二次函数，求得最值即可.

试题解析：(1),•,抛物线y=。%2与X轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于

a+b+c-Q

a=-1

1c=3

点C(0,3),其对称轴I为x=—1,，\,解得:{0=—2,.•.二次函数的

上=—1c=3

2a

解析式为y=—Y—2x+3=—(x+iy+4,.•.顶点坐标为(-1,4);

(2)令=—x1—2x+3=0,解得x=—3或x=l,点A(-3,0),B(1,0),作

PD^x轴于点D,,•・点P在丫=一%2一2%+3上，.•.设点P(x,-X2-2X+3)，

①...PA_LNA,且PA=NA,二△PADV△AND,，OA=PD,即y=—f—2x+3=2,解得

x=V2-l(舍去)^x=-72-1>二点P(-V2-1-2)；

②设P(x,y),则y=—厂―2x+3,：S四边形ABCP=SAOBC+SAAPD+S梯形0c

二—OB・OC+—AD・PD+—(PD+0C)・0D=-x3xl+—x(3+x)y+—(y+3)(-x)=

333/2c、39匚3/3、275

=-------XH—(-x-2x+3)=—X2—X+6=—(XH—)H------,

22222228

・•・当时，S四边形ABCP最大值二整，当x二一■1•时，y=-X2-2x+3=,此时P

2o24

I号

考点：L二次函数综合题；2.二次函数的最值；3.最值问题；4.压轴题.

2.计算题

2

%1

(1)先化简，再求值：----+(1+——),其中x=2017.

x-1X2-1

(2)已知方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，求m的值.

【答案】(1)2018；(2)m=4

【解析】

分析：(1)根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解

的作用；

(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

21

详解：(1)—%—(l+r—)

X-1X2-1

_尤2%2—1+1

x-1X2-1

_X2(x+l)(x-l)

x-1X2

=x+l,

当x=200时，原式=2017+1=2018

(2)解：•.•方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，

△=(-2)2-4xlx(m-3)=0,

解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方

程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

3.解方程：（1-2X）2=X2-6X+9

4

【答案】X]=§,x2=-2

【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解

即可.

试题解析：因式分解，得

（1-2x>=（x-3>

开平方，得

l-2x=x-3,或l-2x=-（x-3）

4

解得X]=§,x2=—2

4.（问题）如图①，在axbxc（长x宽x高，其中a,b,c为正整数）个小立方块组成的长

方体中，长方体的个数是多少？

（探究）

（1）如图②，在2x1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=三一=3条线段,

棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3xlxl=3.

3x4

（2）如图③，在3x1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=；—=6条线

段，棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6xlxl=6.

（3）依此类推，如图④，在axlxl个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有

1+2+..-=++1）线段,棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为

2

探究二:

(4)如图⑤，在ax2xl个小立方块组成的长方体中，棱AB上有乂9D条线段，棱AC

2x3

上有1+2===3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为

2

a(a+l)3a(a+l)

-------入DK-L----------.

22

(5)如图⑥，在ax3xl个小立方块组成的长方体中，棱AB上有豌；1条线段,棱AC

3x4

上有1+2+3=——二6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为_____.

2

(6)依此类推，如图⑦，在axbxl个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为

(7)如图⑧，在以axbx2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有空却条线段，棱

2

AC上有他由

2

2x3

条线段，棱AD上有1+2二——二3条线段，则图中长方体的个数为

2

3a(a+l)b(b+l)3ab(a+l)(b+l)

--------x--------x3=----------------.

224

(8)如图⑨，在axbx3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有幽土D条线段，棱AC

2

上有Mb+D条线段,棱AD上有1+2+3=辿=6条线段，则图中长方体的个数为

22

BA

图⑤图⑦

（结论）如图①，在axbxc个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为

（应用）在2x3x4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为.

（拓展）

如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方

块的个数是多少？请通过计算说明你的结论.

【答案】探究一：⑶与11；探究二⑸3a（a+1）；⑹皿a+：）（b+D；

探究三：（8）3ab（a+D（b+l）；【结论】：①abc（a+l）（b+l）（c+l）；【应用】：

28

180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析.

【解析】

【分析】

（3）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论;

（5）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论;

（6）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论;

（8）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论;

（结论）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;

（应用）a=2,b=3,c=4代入（结论）中得出的结果，即可得出结论；

（拓展）根据（结论）中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论.

【详解】

喧线段,

解：探究一、（3）棱AB上共有棱AC,AD上分别只有1条线段,

则图中长方体的个数为a（a+Dxixi=a（a+l）,

22

a(a+l)

故答案为

2

探究二：探）棱AB上有+条线段,棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线

2

段,

则图中长方体的个数为a(a+1)x6xi=3a(a+1),

2

故答案为3a(a+1)；

(6)棱AB上有a(a+l)条线段,棱AC上有b(b+D条线段,棱AD上只有1条线段，

22

则图中长方体的个数为业Dxb(b±l)xi=ab(a+l)(b+l)>

224

“乃士生ab(a+l)(b+l)

故答案为一——八——；

4

探究三：(8)棱AB上有a(a+1条线段,棱AC上有b.+l)条线段,棱AD上有6条

22

线段，

…、小.人皿Ai_a(a+1)b(b+l)3ab(a+l)(b+l)

则图中长万体的个数为」——X」---->-X6=——i----八----,

222

M公厘士3ab(a+l)(b+l)

2

(结论)棱AB上有a(a+D条线段,棱AC上有！(b+1)条线段,棱AD上有C(C+1)条线

222

段，

r.g…/、江3人皿Ai_a(a+1)b(b+l)c(c+l)abc(a+l)(b+l)(c+l)

则图中长万体的个数为△----X△-----1X-3----L=——V----八----八----L,

2228

川田田.abc(a+l)(b+l)(c+l)

8

,m.,4、“jabc(a+l)(b+l)(c+l)

(应用)由(结论)知，一——————

8

在2x3x4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为

2x3x4x(2+l)x(3+l)x(4+l)_

------------------------------=180,

8

故答案为为180；

拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x,

由题意得

%3(%+1)3

-------—=1000,

8

[x(x+1)]3=203,

x(x+1)=20,

.xi=4,X2=-5(不合题意，舍去)

4x4x4=64

所以组成这个正方体的小立方块的个数是64.

【点睛】

解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错

的题目.

5.若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根.

（1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解.

17

【答案】（1）a<—:（2）x=l或x=2

4

【解析】

【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac20,建立关于a的不等

式，即可求出a的取值范围；

（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.

【详解】（1）r关于x的一元二次方程x2-3x+a-2=0有实数根，

..,17

A>0,即（-3）2-4（a-2）20,解得a<—；

4

（2）由（1）可知。W—，

4

a的最大整数值为4,

此时方程为x2-3x+2=0,

解得x=l或x=2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情

况与判别式△的关系：（1）△>0访程有两个不相等的实数根；（2）4=0访程有两个相

等的实数根；（3）A<0历程没有实数根.

6.已知关于x的方程X2—（m+2）x+（2m—1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形

的周长。

【答案】（1）见详解；（2）4+JIU或4+2收.

【解析】

【分析】

（1）根据关于X的方程x2—（m+2）x+（2m—1）=0的根的判别式的符号来证明结论.

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.

分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边

分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行

计算.

【详解】

解：（1）证明：△=（m+2）2-4（2m-l）=（m—2）2+4,

.,.在实数范围内，m无论取何值，(m—2)2+4“>0,即△>0.

；・关于x的方程x2—(m+2)x+(2m-l)=0恒有两个不相等的实数根.

(2)•.•此方程的一个根是1,

I2—lx(m+2)+(2m——1)=0,解得，m=2,

则方程的另一根为：m+2-l=2+l=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为加，该直角三角

形的周长为1+3+710=4+710.

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直

角边为2夜；则该直角三角形的周长为1+3+2夜=4+2夜.

7.已知：关于x的一'兀二次方程/+(祖+l)xH—-2=0.

4

(1)若此方程有两个实数根，求没加的最小整数值；

(2)若此方程的两个实数根为者，x2,且满足x；+x/2=18-石，求加的值.

【答案】(1)4(2)m=3

【解析】

【分析】

(1)利用根的判别式的意义得到△20,然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出

最小整数值即可；

10

(2)利用根与系数的关系得到玉+九2=一(根+1)，为％二一根一2,然后解关于m的一

一4

元二次方程，即可确定m的值.

【详解】

解：(1);f+(〃z+l)x+Lw2-2=0有两个实数根，

4

A=(/n+l)2-4x1x(-m2-2)>0,

4

:2m+9>0,

9

/.m>——；

2

m的最小整数值为：zn=T；

2

(2)由根与系数的关系得：%1+x2=-(m+l),xlx2=^-m-2,

由%;+%2+%~18——利之得.

1

=18——m29

4

m2+2m—15=0,

解得：加=3或爪=一5；

9

m>—，

2

m=3.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的两根时，则

hC

X+X=—,=-.也考查了根的判别式.解题的关键是熟练掌握根与系数的关系

x2aa

和根的判别式.

8.如图，在AABC中，Z8=90°,AB=6cm,BC=8cm,若点P从点A沿AB边向B点以

lcm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发.

⑴问几秒后，△P8Q的面积为8cmz?

⑵出发几秒后，线段PQ的长为4ecm?

⑶△PBQ的面积能否为10cm2?若能，求出时间；若不能，请说明理由.

【答案】⑴2或4秒;(2)4夜cm；⑶见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2,则PB=6-t,BQ=2t,根据三

角形面积的计算公式，SAPBQ=-BPxBQ,列出表达式，解答出即可；

2

(2)设经过x秒后线段PQ的长为40cm,依题意得AP=x,BP=6-x,BQ=2x,利用勾股

定理列方程求解；

(3)将APBQ的面积表示出来，根据A=b2-4ac来判断.

【详解】

(1)设P,Q经过t秒时，△PBQ的面积为8cm2,

则PB=6-t,BQ=2t,

ZB=90°,

1

/.—(6—t)x2t=8,

解得ti=2,t2=4,

・・・当P,Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2；

(2)设x秒后，PQ=40cm,

由题意，得(6-X)2+4X?=32,

解得Xi=g,X2=2,

2

故经过二秒或2秒后，线段PQ的长为40cm；

⑶设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2,

1

SAPBQ=—x（6—y）x2y=10,

2

即y2-6y+10=0,

A=b2—4ac=36—4x10=—4<0,

:&PBQ的面积不会等于10cm2.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的