2023年北京重点校初二(下)期中数学试卷汇编：二次根式章节综合

2023北京重点校初二（下）期中数学汇编

二次根式章节综合

一、单选题

1.（2023春•北京•八年级统考期中）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.72x78=16C.&+百=&D.^（-3）2=-3

2.（2023春•北京•八年级统考期中）下列二次根式中，能与及合并的是（）

A.V3B.V8C.V12D.

3.（2023春•北京西城•八年级北京四中校考期中）下列化简正确的是（）

A.[-V2）2=2B.J（一2:=-2C.373-73=2D.亚+6=后

4.（2023春•北京西城•八年级北京四中校考期中）下列选项中，属于最简二次根式的是（）

A.B."C.VH）D.V8

5.（2023春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示,

化简J记-|的结果是（）

---1-----------1--------1-------►

h0a

A.a-2bB.-a+2bC.QD.一。

6.（2023春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.4也-收=3C.（2石）=36D.&＞坨=6

7.（2023春•北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.76B.V12C.D.V（X49

8.（2023春・北京朝阳•八年级北京八十中校考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.aB.己C.必D.V6

9.（2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.J60B.Jo.6C.-\/6D-

10.（2023春・北京大兴•八年级统考期中）下列运算中，结果正确的是（）

A.V8+V2=A/10B.2V5-V5=2C.屈x也=3亚D.指引收=3

11.（2023春・北京大兴•八年级统考期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.V18B.V?CAD.V03

12.（2023春•北京东城•八年级北京二中校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

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A.Jo.3B.C.^9D.V3O

13.（2023春•北京东城•八年级北京二中校考期中）下列计算结果正确的是（）

A.V3+V6=3B.473-73-4C.氐痛=3&D.屈&=4

14.（2023春・北京海淀•八年级北大附中校考期中）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2百-6=3C.旧又正=屈D.764-73=2

15.（2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中）实数m6在数轴上的位置如图所示，则化简

正-后+痴心的结果是（）

a0Ih

A.-2QB.-2bC.2b-2aD.0

16.（2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中）下列等式不成立的是（）

A.反:追=2B.712x73=6C.,（一4）x（一3）=26D.后二殍

17.（2023春・北京朝阳•八年级北京市陈经纶中学校考期中）下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV3=V6C.3亚-收=3D.屈+亚=2

18.（2023春•北京西城•八年级北京市第一六一中学校考期中）下列运算正确的是（）

A.屈:C=亚B.=V2C.血+百=石D.V27=372

—

19.（2023春・北京朝阳•八年级北京市陈经纶中学校考期中）已知加=X^-2A/30j,若a,6为两个

连续的整数，B.a<m<b,则Q+6=（）

A.13B.14C.12D.11

20.（2023春・北京•八年级统考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V12B.巾C.Vh5D.V3

21.（2023春•北京海淀•八年级北大附中校考期中）计算（血了的结果为（）

A.2B.4C.V2D.272

22.（2023春・北京朝阳•八年级北京市陈经纶中学校考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

23.（2023春・北京海淀•八年级北大附中校考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V5B.V12C.JD.而

24.（2023春•北京东城•八年级汇文中学校考期中）下列各式中，哪个是最简二次根式（）

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A.V02B.IC.V5D.V12

25.（2023春•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考期中）下列计算正确的是（）

A.星=2B.'（-2）2=一2C.VF=±2D.J（一2'=±2

26.（2023春・北京东城•八年级汇文中学校考期中）下列计算中，正确的是（）

A.42+43=45B.2+72=272C.母乂#>=aD.273-2=73

27.（2023春・北京朝阳•八年级北京八十中校考期中）下列计算正确的是（）.

A.2+^/3=273B.5>fab-5Va+5y[bC.瓜-瓜=及D.5y[a-4y[a-s[a.

二、填空题

28.（2023春•北京东城•八年级汇文中学校考期中）已知X，>为实数，记

M=7（^-3）2+1+旧+声+〔4+（尸6）2，

（1）当x=y=0时，〃的值为.

（2）M的最小值为.

29.（2023春・北京东城•八年级汇文中学校考期中）计算（而万了的结果为.

30.（2023春•北京东城•八年级汇文中学校考期中）若川二1有意义，请写出符合条件的一个x的

值：.

31.（2023春•北京朝阳•八年级北京市陈经纶中学校考期中）若式子7nl在实数范围内有意义，则x的

取值范围是.

32.（2023春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）若（》-3）2+炉工=0,则砂的值为

33.（2023春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）比较大小：3后_4（填“>”，“<”或

34.（2023春•北京大兴•八年级统考期中）比较大小：2石V23（填或

35.（2023春•北京大兴•八年级统考期中）若4Tl在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

36.（2023春・北京海淀•八年级人大附中校考期中）若H与在实数范围内有意义，则实数x的取值范围

是.

37.（2023春•北京西城•八年级北师大实验中学校考期中）二次根式471在实数范围内有意义，则x的取

值范围是.

38.（2023春•北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）若病正在实数范围内有意义，则实数x的取

值范围是.

39.（2023春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述

了利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边

长分别是。，b,c,记°=”产，则其面s=Jp（0_a）（p_6）（0-c）.这便是著名的海伦-秦九韶公

式.若已知三角形的三边长分别为5,6,7,这个三角形的面积为.

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40.（2023春・北京朝阳•八年级北京八十中校考期中）当x时，二次根式有意义.

41.（2023春・北京海淀•八年级人大附中校考期中）当％=a-1时，代数式无2+2x+2的值是

42.（2023春•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考期中）若二次根式F工有意义，则x的取值范

围是_.

43.（2023春•北京海淀•八年级北大附中校考期中）若代数式GI在实数范围内有意义，则无的取值范围

是.

44.（2023春•北京•八年级统考期中）若式子斥与有意义，则实数x的取值范围是.

三、解答题

45.（2023春・北京东城•八年级汇文中学校考期中）某同学在解决问题：已知“片，求2/一80+1的

值.

他是这样分析与求解的：

先将。进行分母有理化，过程如下,

12-G

=2-73,

a2+6(2+司(2一司

-2)"=3,a2—4cz+4=3,

••a2—4a——1,

2cr—84+l=2(a1—4a)+l=2x(-1)+1=-1.

请你根据上述分析过程，解决如下问题:

⑴若"石工，请将。进行分母有理化;

⑵在（1）的条件下，求/-2a的值；

⑶在⑴的条件下，求2/_4/一1的值

46.（2023春•北京东城•八年级汇文中学校考期中）海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式,

用符号表示为：S=dp（p-a）（p-b）（p-c）（其中a,6,c为三角形的三边长，p=a+^+C,S为三角形

的面积）.利用上述材料解决问题：当a=2,b=3,c=4时.

（1）直接写出p的化简结果为.

⑵写出计算S值的过程.

47.（2023春•北京东城•八年级汇文中学校考期中）计算

（1）718x76

（2）瓜—y/2+2.—

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⑶历义总一2

33

48.（2023春•北京•八年级统考期中）计算：（万-4）°+|-石|+岳-R

49.（2023春•北京•八年级统考期中）计算：V12-V3+V18-V6.

50.（2023春•北京朝阳•八年级北京八十中校考期中）（1）

⑵厄再与

51.（2023春•北京西城•八年级北京四中校考期中）计算:

-V24-V3；

⑵(6-也)_(G+C)(G-a)；

52.（2023春・北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）计算:

（1）718-4^1+^（-3）2；

（2）（V^+1）—V2-^5/3+V2j.

53.（2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中）在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式

方程的解法，针对关于龙的根式方程反二5=1，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料

二）.

材料一:

小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消

元，将二元方程转化为一元方程；

小康同学：对，就是要往解x=。的形式转化，现在关键就是要把根号化去；

小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；

小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根

材料二:

j5x-3=1解:两边平方得：5x-3=l.

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4

解得：x=-.

4

检验：将X=］代入原方程，成立.

4

原方程的解为》=片

通过以上材料，完成下列问题：

(1)解关于x的方程后工=1;

(2)解关于x的方程&+4x-3=x-l-

54.(2023春•北京大兴•八年级统考期中)已知a>0,b>0,有下列正确的结论：

若a+6=2,则y/ab<1;

若a+6=3,则4ab<g；

若a+6=6,则4ab<3.

(1)根据以上三个正确的结论，猜想：若。+6=9,则；

(2)猜想a+6与府的数量关系，并证明.

55.(2023春•北京大兴•八年级统考期中)计算：V18x^1-V2+(V5+V3)(V5-V3).

56.(2023春•北京大兴•八年级统考期中)计算：V12+V20+V27-V5.

57.(2023春•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考期中)计算：

(1)712-6^1+78

(2)(V5-l)2+V5(V5+2)

58.(2023春・北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考期中)已知a,b都是实数，加为整数，若

a+b=2m,则称。与b是关于m的一组“平衡数”.

(1)也与是关于1的“平衡数”；

⑵3-0与是关于3的“平衡数”；

(3)若°=4+6，6=百-4,判断/与/是否为关于某数的一组“平衡数”，说明理由.

59.(2023春・北京海淀•八年级北大附中校考期中)计算

(1)724+73+718；

(2)(6+⑹心一⑹+几行

60.(2023春・北京朝阳•八年级北京八十中校考期中)已知x=^+l，y=4i-\,求下列各式的值：

(l)x2+2xy+y2；

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61.（2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中）先化简，再求值:

.-一--\la3b+（Va+s［b）,其中：a=3,b=2.

Vbab

62.（2023春•北京海淀•八年级人大附中校考期中）计算：

（1）712+V27-V3;

（2）屈x屈三亚.

63.（2023春・北京西城•八年级北京市第一六一中学校考期中）已知x=2-。，y=2+^3,求下列代数式

的值：

（l）x2+xy+y2；

（2）x2y+xy2

64.（2023春•北京西城•八年级北京市第一六一中学校考期中）计算：

（1）V12+V8-5V3+V2

6）（石+6）-

（3）^3718+|V50

65.（2023春•北京西城•八年级北师大实验中学校考期中）观察下列各式，发现规律：

（3）请用含自然数21）的代数式把你所发现的规律表示出来.

66.（2023春•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考期中）先化简，再求值：一综十（1+”1］，其

a-9\a-5）

中a=y/2-3.

67.（2023春•北京西城•八年级北师大实验中学校考期中）计算：（右-1/+退（石+2）.

68.（2023春•北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过

“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律，

特例1：尾=存=中［=21

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特例3：

特例4：.（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）观察、归纳，得出猜想.

如果〃为正整数，用含”的式子表示上述的运算规律为：

⑶证明你的猜想；

（4）应用运算规律化简：^2022+^^x74048=.

69.（2023春・北京•八年级统考期中）已知x=求代数式/+2x-3的值.

70.（2023春・北京西城•八年级北师大实验中学校考期中）计算：V12-3^|+|2-V3|.

71.（2023春•北京海淀•八年级北大附中校考期中）在解决问题“已知。=马|,求2/一80+1的值”时,

小明是这样分析与解答的:

_1_2-百

=2—^/3,

；“二豆丁（2+司（2一⑹

a—2=—y/3

(tz-2)2=3,即〃2一4〃+4=3

a2-4a=-1

・・・2Q2—8〃+1=2（Q2—4Q）+1=2X（-1）+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

-2

⑴化间：71二万；

72.（2023春・北京西城•八年级北京四中校考期中）求J3+口+，3-6的值.

解：设尤=，3+右+，3-石,两边平方得：x2=（,3+⑻2+力3一退产+2J©+⑹（3-后），即

X2=3+V5+3-V5+4,X2=10

-*.x=±V10.

请利用上述方法，求F万+G万的值.

73.（2023春•北京西城•八年级北京市第一六一中学校考期中）观察下列等式:

_1V3-1V3-1

⑴-----=-------------=-----.J

V3+1（V3+1）（73-1）2'

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G1V5—5/3V5—5/3

(2)-------=------------------------

V5+V3(V5+V3)(V5-V3)2

—1V7-V5V7-V5

(3)------=--------------=------

V7+V5(V7+V5)(V7-V5)2

…回答下列问题：

1

（1）利用你观察到的规律，化简:

5+V23

⑵计算：拒+审国币+…+3拒

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参考答案

1.C

【分析】

根据只有同类二次根式才能合并，去判断A,根据二次根式的乘除运算法则判断B、C的正误，根据

二次根式的性质判断D的正误.

【详解】

解：血与否不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；

V2xVs=V16=4＞故选项B错误；

两个二次根式相除，根指数不变，被开方数相除，故选项C正确；

行1=卜3|=3,故选项D错误；

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.

2.B

【分析】

先化成最简二次根式，再判断即可.

【详解】

解：/、百不能和血合并，故本选项不合题意；

B、&=2血，能和血合并，故本选项符合题意；

C、2百，不能和血合并，故本选项不合题意；

D、A=g，不能和血合并，故本选项不合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了最简二次根式和同类二次根式的知识，其中化成最简二次根式是解题的关键.

3.A

【分析】根据二次根式的性质对A、B进行判断；利用二次根式的加减法对C、D进行判断.

【详解】解：A、(-V2)2=2,所以A选项的计算正确；

B、卮7=2,所以B选项的计算错误；

C、3拒-拒=2出,所以C选项的计算错误；

D、也与百不能合并，所以D选项的计算错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即

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可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往

往能事半功倍.

4.C

【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可.

【详解】解：A.5中被开方数含分母，不属于最简二次根式，故A错误；

B.4=2,不属于最简二次根式，故B错误；

C.而属于最简二次根式，故C正确；

D.m=2也不属于最简二次根式，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方

数中不含能开得尽方的因数或因式.

5.D

【分析】通过数轴判断b和6-。的正负性，然后化简即可.

【详解】通过数轴知，b<0,b-a<Q,

=-b-（a-b）

--b-a+b

=~a,

故选：D.

【点睛】本题考查了数轴，二次根式和绝对值的化简，熟练掌握二次根式化简，数轴及绝对值知识是解决

本题的关键.

6.D

【分析】根据二次根式的运算法则直接计算判断对错即可.

【详解】A、V2+V3=V2+V3,故本选项错误；

B、4亚-&=3收，故本选项错误；

C、（273）2=12,故本选项错误；

D、屈三亚=亚,故本选项正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次根式的运算法则，化简，理解和掌握二次根式的运算法则，化简的方法是解题

的关键.

7.A

【分析】最简二次根式：满足①被开方数不含有分母，②被开方数不能含有开得尽方的因式或因数，根据

定义逐一判断各选项即可.

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【详解】解：A、而是最简二次根式，故A符合题意；

B、V12=2A/3,不是最简二次根式，故B不符合题意；

C、R=也,不是最简二次根式，故C不符合题意；

V22

D、血而=0.7,不是最简二次根式，故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义判断最简二次根式是解本题的关

键.

8.D

【分析】根据最简二次根式的概念：如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方

的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一进行判断即可得到答案.

【详解】解：A、&=2亚，原式不是最简二次根式，不符合题意，选项错误；

B、/=；==；,原式不是最简二次根式，不符合题意，选项错误；

C、病=同，原式不是最简二次根式，不符合题意，选项错误；

D、卡是最简二次根式，符合题意，选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟记最简二次根式的概念是解题关键.

9.C

【分析】最简二次根式满足的条件是：被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不能是小数或分

数；分母中不能出现二次根式.

【详解】解：A、痫=2而，不是最简二次根式，不符合题意；

B、瓜二卜半,不是最简二次根式，不符合题意；

C、"，是最简二次根式，符合题意；

D、口=也,不是最简二次根式，不符合题意；

V66

故选：C.

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件.

10.C

【分析】根据二次根式的加减、乘法、除法进行计算即可求解.

【详解】解:A.通+啦=2亚+也=3也，故该选项不正确，不符合题意；

B.2石-石=行，故该选项不正确，不符合题意；

C.痛xg=3收，故该选项正确，符合题意；

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D.亚=故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的加减、乘法、除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

11.B

【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解.

【详解】解：A、回=3近不是最简二次根式，不符合题意；

B、疗是最简二次根式，符合题意；

C、《=，不是最简二次根式，不符合题意；

D、限=后=却不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开

方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

12.D

【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式，判断各选项即可得出答案.

【详解】解：A、历=任，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

Vio

B、存含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

C、囱=3,不是最简二次根式，不符合题意；

D、而是最简二次根式，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

13.C

【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案.

【详解】解：A、行与而不是同类二次根式无法合并，故A错误；

B、4^/3—y/3=3A/34,故B错误；

C、6%指=3也，故C正确；

D、+=2w4,故D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键.

14.C

【分析】根据二次根式的加减乘除法法则逐项判断即可得.

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【详解】解：A、也与百不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；

B、2百-百=百，则此项错误，不符合题意；

C、75x72=V10,则此项正确，符合题意；

D、号6=6,则此项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键.

15.A

【分析】先根据数轴判断出6和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可.

【详解】解：由数轴可知：a<0,6>1>0,a-b<0,

+J（a-b）2

=\a\—\b\+\a-b\

——a—b—a+b

——2a,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键.

16.D

【分析】根据二次根式的的性质、二次根式的乘除法则计算出结果，即可判断.

【详解】解:A、V12-V3=V12-3=V4=2,本选项不符合题意；

B、Vilx百=J12x3=回=6,本选项不符合题意；

C、V（-4）x（-3）=74^3=273,本选项不符合题意；

D、后=奈=小年,本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的的性质、二次根式的乘除，掌握二次根式的性质和乘除法则是解题的关

键.

17.B

【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算，然后作出判断即可.

【详解】解：A、及与G不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；

B、6.x#,=瓜,故此选项符合题意；

C、3拒-拒=2拒，故此选项不符合题意；

D、回；旧=亚，故此选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算.熟练掌握相应的运算法则是解题的关键.

18.A

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【分析】利用二次根式的除法判断A,利用分母有理化判断B,利用二次根式的加法判断C,利用二次根

式的性质判断D.

【详解】解：A.6+百=&,故正确，符合题意；

申，故错误，不符合题意；

B.

V22

C.也与G不能合并，故错误，不符合题意;

D.后=3百，故错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关

键.

19.A

【分析】先根据二次根式的乘法求出m的值，再估算出2瓦的范围，求出。、6的值，即可得出答案.

【详解】解：加=（-]]*卜2a）="。=警=2丽，

・・•36<40<49,

6<2V10<7,即6<根<7,

••ci—6,6=7,

。+6=6+7=13，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法法则等知识点，能估算出2J证的范围是解

此题的关键.

20.D

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时

满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【详解】解：♦••旧=51，被开方数含开得尽方的因数，

故A错误；

：£被开方数含有分母,

故B错误;

•••代被开方数含有分母,

故C错误;

V后被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式,

故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被

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开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

21.A

【分析】直接根据二次根式的性质求解即可.

【详解】解：（收了=2,

故选A.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握（右丫=矶。20）是解答此题的关键.

22.B

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可.

【详解】解：A、g=2百，故不是最简二次根式，不符合题意；

B、后是最简二次根式，符合题意；

c、小曲,故不是最简二次根式，不符合题意；

V33

D、旧=《=*=《=等，故不是最简二次根式，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数

或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键.

23.A

【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【详解】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题

忌;

B、712=72^3=273-被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意；

c、上=3=5,被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意；

D、4^=\m\,被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数

不含能开得尽方的因数或因式.

24.C

【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二

次根式，叫做最简二次根式.一般解题方法是：只要被开方数中是分数或小数，一定不是最简二次根式；

被开方数中含有能开得尽方的因数，也一定不是最简二次根式.

【详解】解：A、历二&二*不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

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B.,Af=—,不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

V22

C、石是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、瓦=4^=2拒，不是最简二次根式，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键.

25.A

【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：后="=2,故A正确，C错误；

=2,故B、D错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断.

26.C

【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案.

【详解】解：A.血与否不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

B.2与血不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

C.72x73=V2^3=V6,此选项计算正确；

D.2省与-2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概

念.

27.D

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】A、2+6,无法合并，故此选项错误；

B、5箍/5y+5册,故此选项错误；

C、V8-V6,不是同类二次根式，无法合并；

D、=,正确.

故选：D.

【点睛】本题考查二次根式的化简，注意二次根式必须是同类二次根式时，才可加减运算.

28.3^/10V74

【分析】（1）将无=了=0时，代入M进行计算即可得到答案；

（2）将式子化为M="3）2+（0-+加_0）2+（0_才+J,_+（/_6）2,设P（x,O）,0（0,y）,

4（3,1）,3（2,6）,在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案.

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【详解】解：(1)当x=y=O时,

M=J(x-3『+1+sjx2+y2+14+(y-6)2

=J(O-3)，1+A/02+02+J4+(0-6)2

=Vio+o+2VTo

=3而，

故答案为：3V10；

(2)M=J(x-3>+1+y]x2+y2+74+(^-6)2

=J(x-3)2+(0T)+-^(x-0)+(0->>)+J(0-2)+(y-6)2，

设尸(x,0),0(0,y),/(3,1),3(2,6),

根据题意画出图如图所示：

3

作5关于7轴的对称点"，作A点关于X轴的对称点H,连接N®与X轴交于点P,与了轴交于点0,

即为所求，

4(3,-1),

M=QB+QP+AP2A'B'=^3-(-2)]2+(-1-6)2=5，

故答案为：V74.

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路

径问题的模型，是解题的关键.

29.2023

【分析】根据即可得到答案.

【详解】解：(63万)2=2023,

故答案为：2023.

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

30.2(答案不唯一)

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【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可.

【详解】解：•••6二1有意义，

•*.x-1>0,即x21,

...X的值为2,

故答案为：2(答案不唯一).

【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.

31.x>-l

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0,进行求解即可.

【详解】解：•••HI在实数范围内有意义，

x+l>0,

x2—1；

故答案为：x'-l.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件.熟练掌握被开方数大于等于0,二次根式有意义是解题的关

键.

32.-6

【分析】根据平方的非负性和二次根式的非负性，得x-3=0,y+2=0,再解方程求出无，»的值，然后求

积即可.

【详解】解：由题意得：x-3=0,j+2=0,

解得：x=3,y=-2,

/.xy=3x(-2)=-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了平方的非负性和二次根式的非负性，熟练运用平方的非负性和二次根式的非负性是本

题的关键.

33.>

【分析】先分别计算两个数的平方，然后进行比较即可解答.

【详解】解：.•13行/=18,4?=16,

.-.18>16,

372>4,

故答案为：>.

【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键.

34.<

【分析】比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较.

【详解】V275=720-

而20<23,

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/.275<V23，

故答案为：<

【点睛】本题考查的是两个无理数的大小比较，可以用近似数比较，也可以进行适当转化进行比较.

35.x>-2

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解.

【详解】解：•.•足万在实数范围内有意义，

x+2>0

x2-2,

故答案为：x>-2.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

36.x>3

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解.

【详解】解：由题意得：x-3>0,

x>3；

故答案为x23.

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

37.x>-2

【分析】由二次根式的被开方数为非负数列不等式x+220,从而可得答案.

【详解】解：•..二次根式471在实数范围内有意义，

x+2之0,

x2—2,

故答案为：%?2.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键.

38.x>8

【分析】根据二次根式有意义的条件，可得X-820,然后进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

x-8>0,

解得：x>8.

故答案为：x>8.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式八(020)是解题的关键.

39.6y/6

【分析】直接将6、C值代入海伦-秦九韶公式计算即可.

【详解】解：6=6,c=7,

。+八

r»=-----b--+---c--5--+--6--+--7--U

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故答案为：6y/6-

【点睛】此题考查二次根式的应用，掌握二次根式的化简和读懂题意是解题的关键.

40.>1

【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解.

【详解】解：根据题意得：x-1>0,解得它1.

故答案为：%>1.

【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质.概念：式子夜(«>0)叫二次根式.性质：二次根式中的被

开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

41.18

【分析】首先把，+2x+2化为(x+1)2+1,然后把x=g-1代入，求出算式的值是多少即可.

【详解】解：x2+2x+2=(x+1)2+1,

当x=时，原式=(川7-1+1)2+1=18.

故答案为：18.

【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

42.x>2

【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即X-2N0,

解得：x>2.

故答案为：x>2.

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键.

43.x>\

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

【详解】解：「GI在实数范围内有意义，

解得XN1.

故答案为：X>1.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

44.x23

【详解】解：二次根式中被开方数所以X23.

故答案为：x>3.

45.(1)V2+1

(2)1

(3)2A/2+1

【分析】(1)按照分母有理化的方法进行解答即可；

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(2)根据々=血+1，得出根据("1丫=/一2°+1,得出/-24+1=2,即可求出结果；

(3)将2/_4。2一1变形为2。(。2_2。)一1,将。2-2。=1代入得出2a(。2-2。)-1=2。-1,再将°=血+1

代入求值即可.

1V2+1Q—

【详解】⑴解：

(2)解:•・•。=亚+1，

/.(a—iy=2,(a-1)2-a2—2a+1,

••/—24+1=2,

a2-2a=\.

(3)解：根据(2)可矢口，笳-2«=1,

2a3-4a2-l

—2a—2Q)-1

=2a—l

=2(V2+1)-1

=26+2-1

=2A/2+1.

【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是注意整体代入思

想.

9

46.(1)-

(2)见解析

【分析】(1)根据题目中提供的信息，代入数据求值即可；

(2)根据题目中的面积公式，代入求值即可.

【详解】(1)解：a=2,b=3,c=4,

,a+b+c2+3+49

••p———.

222

9

故答案为：—.

9

(2)解：a=2,6=3,c=4,,

S=y/p(p-aXp-b)(p-c)

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3V15

4

【点睛】本题主要考查了代数式求值，二次根式的应用，解题的关键是理解题意，准确计算.

47.(1)673

(2)272

(3)6

(4)2

【分析】(1)根据二次根式的乘法法则计算即可.

(2)根据二次根式加减混合运算法则计算即可.

(3)根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可.

(4)根据平方差公式计算即可.

【详解】(1)解：718x76

=3V2x^6

=3712

=6^3

(2)解：V8-V2+2^1

=2V2-V2+V2

=2收

(3)解：历怎:旦

33

=2A/3X-X^=

3V3

=2A/3X1XV3

=6

(4)解：(V7+V5)x(V7-V5)

=7-5

=2

【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则.

48,66-3

【分析】

直接利用零指数幕的性质，绝对值的性质，负整数指数幕的性质以及二次根式的性质分别化简，进而

得出答案.

【详解】

第23页/共35页

解：［ji-4)°+1-V3I+V75-j

=1+6+5百-4

=6百—3•

【点睛】

本题考查了零指数累，负整数指数募，二次根式的加法，绝对值的计算，熟知计算法则是解题的关

键.

49.2g

【分析】

先算除法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可.

【详解】

解：原式=26-6+石

-2V3-V3+V3

=2也­

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及二次

根式化简的方法.

50.(1)卡-逑；(2)8夜

4

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行加减运算，即可得到答案；

(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行乘除运算，即可得到答案；

=2八一显一叵一在

24

=屈一亘;

4

⑵小X叵百

33

/T4723

=273xx—尸

36

=8&.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题关键.

51.⑴逑

4

⑵4-2e

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(3)12

【分析】(1)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；

(2)根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可;

(3)根据二次根式混合运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：-1\/244-

正

-3-

4724+3

0m

-3-

4—Vs

3

--V42-2V2

3V2

一—___•»

4

（2）解：（G--（C+也-Q）

=3-276+2-（3-2）

=3-2指+2-1

=4-2灰；

（3）解：V12x

=V12x75+3^12x1-712x48

=V900+3V4-V576

=30+6-24

=12.

【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算.

52.(1)272+3

(2)5+76

【分析】(1)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；

(2)根据完全平方公式，二次根式混合运算法则进行计算即可.

【详解】⑴解：屈-4白+而1

=3V2-4x—+3

4

=3近-血+3

=2A/2+3;