人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第5课时）》示范教学课件

解直角三角形及其应用（第5课时）人教版九年级数学下册如图，从山脚到山顶有两条路AB

与CB，哪条路比较陡？BACAB

比较陡．我们经常说某某山坡很陡，这里其实涉及了坡度的知识．坡度究竟是指什么呢？你能根据图示给出坡度的定义吗？BC

表示水平面，AB

表示坡面，坡面的铅直高度h

和水平宽度l

的比叫做坡度（或叫做坡比），用i

表示，记作i＝h∶l．坡面AB

与水平面BC

所形成的∠ABC

称为坡角，记作α，且i＝

＝tan

α．坡度越大，坡角α

就越大，坡面就越陡；反之，坡度越小，坡角α

就越小，坡面就越缓．特别提醒（1）坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即

i＝tan

α．（2）坡度i

也叫做坡比，即

，一般写成1∶m的形式．例1

如图，一山坡的坡度为i＝1∶2．小刚从山脚A

出发，沿山坡向上走了240

m

到达点C．则小刚上升了多少米？i＝1∶2ABCα解：用α

表示坡角的大小，由题意可得tan

α＝，AC＝240

m，∴sin

α＝，∴BC＝240×．则小刚上升了m．解：（1）斜坡CD

的坡度i2＝tanα＝1∶2.5＝0.4，用计算器可算得α≈22°．故斜坡CD

的坡角α约为22°．例2如图（示意图），水库大坝的横断面是梯形，坝顶BC宽6

m，坝高23

m，斜坡AB

的坡度i1＝1∶3，斜坡CD

的坡度

i2＝1∶2.5，求：（1）斜坡CD

的坡角α（精确到1°）；ADBCi2＝1∶2.5236αi1＝1∶3ADBCi2＝1∶2.5236αi1＝1∶3（2）坝底AD

与斜坡AB

的长度（精确到0.1

m

）．

解：（2）分别过点B，C

作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意可知BE＝CF＝23

m，EF＝BC＝6

m．∵

，∴AE＝3BE＝3×23＝69（m）．同理可得FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5（m）．FEFE∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5（m）．在Rt△ABE

中，由勾股定理可得

（m）．故坝底AD

的长度为132.5

m，斜坡AB

的长度约为72.7

m．ADBCi2＝1∶2.5236αi1＝1∶3解题思路在解决坡度、坡角的有关问题时，一般通过作高构造直角三角形，其实质就是解直角三角形．与坡度、坡角有关的问题常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线，构造直角三角形和矩形来求解．例3

如图，某人在山坡坡脚A

处测得电视塔尖点C

的仰角为60°，沿山坡向上走到P

处再测得电视塔尖点C

的仰角为45°，已知OA＝200

m，山坡坡度为

，且O，A，B

在同一条直线上，求电视塔

OC

的高度以及此人所在位置点P

的垂直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）．分析：解题的关键是理解仰角、俯角、坡度、坡角的有关概念，通过作辅助线，将有关数据转化到直角三角形中解答．在Rt△AOC

中，直接利用锐角三角函数求得电视塔OC

的高度；求点P

的垂直高度时，关键有三步：①过点P

作PE⊥OB

于点E，PF⊥CO

于点F，得到Rt△PAE

和Rt△PFC；②利用60°，45°以及坡度，发现AE＝3PE，PF＝CF＝OC－PE，PF＝OA＋AE；③选取PE

为未知数，通过设元列方程求解．解：如图，过点P

作PE⊥OB

于点E，PF⊥CO

于点F．在Rt△AOC

中，∵OA＝200

m，∠CAO＝60°，∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan

60°＝

（m）．设PE＝x

m，∵

，∴AE＝3x

m．EF在Rt△PCF中，CF＝OC－PE＝(

－x)m，PF＝OA＋AE＝(200＋3x)m．∵

，∠CPF＝45°，∴

＝tan

45°＝1，则PF＝CF．∴200＋3x＝

－x，解得x＝

－50．∴PE＝(

－50)m．∴电视塔OC

的高度为

m，此人所