选择性必修一总结与测试（解析版）

选择性必修一总结与测试一、单选题1．（2024·四川·期中）若直线与直线平行，则实数的取值为（

）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】由已知，若直线与直线平行，则需满足，解得,由于当时，两直线重合，因此故选：B2．（2024北京西城·阶段练习）在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，可得，则，所以.故选：A.3．（2023新疆克拉玛依）已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（

）A．或4 B．或2 C． D．2【答案】B【解析】圆：的圆心为，半径为1，当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，由题意得，即，所以，所以，当双曲线的焦点在y轴上时，，则，故选：B4．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得，故选B.解二：∵为等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴.故选:B.5．（2023内蒙古·阶段练习）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C6．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（

）A．直线与BD所成的角为90°B．线段的长度为C．直线与所成的角为90°D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为【答案】D【解析】在平行六面体中，令，，，由，，得，，对于，显然，，则，即，因此直线与所成的角为，A正确；对于B，，即，B正确；对于C，，即，因此直线与所成的角为，C正确；对于D，在平行六面体中，四边形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，则平面平面，连接交于点，在平面内过点作于点，如图，由平面平面，因此平面，即直线与平面所成角为，，则，即，由及选项C知，，则，D错误.故选：D7．（2024四川宜宾）过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，圆C：的圆心C为，半径；点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，，则有，则，则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直，且，则C到AB的距离，又由，则直线AB与直线平行，且设AB的直线方程为，则有，解可得：或舍，则直线AB的方程为；故选B．8．（2024湖北）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°，∴，，∴，即∴，∴，双曲线定义有，∴离心率.二、多选题9．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．点到渐近线的距离为4D．直线与直线的斜率乘积为【答案】BD【解析】由双曲线知，，，对于A，双曲线的离心率为，故A错误；对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；故选：BD.10．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中（

）A．与的夹角为B．平面与平面夹角的正切值为C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为【答案】BCD【解析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，对于A，设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，所以A错误，对于B，设平面的法向量为，因为，,所以，令，则，因为平面，平面的一个法向量为，所以，设平面与平面夹角为（为锐角），则，所以，所以，所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确，对于C，，平面的法向量为，设与平面所成角为，则因为为锐角，所以，所以，所以与平面所成角的正切值，所以C正确，对于D，因为，平面的法向量为，所以点到平面的距离为，所以D正确，故选：BCD11．（21-22高二上·湖南长沙·期中）圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（

）A．直线l与圆C相交B．的最小值是1C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是【答案】BC【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为.对于A选项，圆心C到直线l的距离为，所以，直线l与圆C相离，A错；对于B选项，的最小值为，B对；对于C选项，如下图所示：从Q点向圆C引切线，设切点分别为M、N，连接CM，则，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对；对于D选项，由得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，而直线表示过点且斜率为k的直线，如下图所示：当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得，当直线过点时，则，解得.由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，k的取值范围是，D错故选：BC.三、填空题12．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为万公里．（近似到0.1）【答案】2.8【解析】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，；设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，．因此，，，所以，又，所以，所以，故椭圆轨道的短轴长为2.8万公里．故答案为：2.813．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为，直线到平面的距离为．【答案】【解析】以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，∴O到平面的距离，又因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离，易知平面，所以点到平面的距离，就是点到直线的距离，在正方形中，点到直线的距离为，所以直线到平面的距离为，故答案为：，．14．（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设，，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为【答案】【解析】由题意得，圆，圆心，半径，设点，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，则，，则，即的最大值为.故答案为：.四、解答题15．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点.(1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程；(2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.【答案】(1)或或(2)斜率之和为定值､斜率之积不是定值【解析】（1）曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，故曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，故曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即有，过点的直线与抛物线仅有一个公共点，若直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：，若直线与抛物线相切时，易知：是其中一条直线，另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，设为，联立可得：，则有：，解得：，故此时的直线的方程为：，综上，直线的方程为：或或；（2）若与交于两点，分别设其坐标为，且，由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为0，不妨设直线的斜率为，则有：，联立直线与抛物线可得：，可得：，即有，根据韦达定理可得：，则有：，则，故为定值；故不为定值；综上：为定值不为定值.16．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在；【解析】（1）取中点为，连接，因为，且，，，所以又因为平面，平面，所以,所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则为的中点，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，所以，令则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则.（2），所以点到平面的距离为.（3）存在，，理由如下设上存在一点，设，，，又因为直线与平面所成角的正弦值为，由（1）知平面的一个法向量为，所以：，解得，又因为，所以：，故存在，且.17．（24-25高二下·上海·单元测试）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，点M的坐标为．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：．【答案】(1)或．(2)证明见解析【解析】（1）由已知得，l的方程为，则点A的坐标为或，所以，或，所以AM的方程为或；（2）当l与x轴重合时，，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，、，则，，直线MA、MB的斜率之和为．由，得．将代入得．所以，，．则．从而，故MA、MB的倾斜角互补，所以．综上，．

18．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：．(1)若圆与圆相交，求r的取值范围；(2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）圆：的标准方程为，则圆心，，圆：的标准方程为，则圆心，，所以．因为圆与圆相交，所以，即，解得，所以r的取值范围为．（2）已知直线l：与圆交于P、Q两点，设，，联立，得，由，得，所以，所以，解得，因为，所以．19．（23-24高二下·陕西西安·期末）如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且．(1)求CQ的长；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【