1.1 空间向量及其运算（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.1空间向量及其运算知识点一空间向量的概念辨析【【易错点】1.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．2.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．3.零向量模长为0，方向任意【例1-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，互为相反向量，则C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，【例1-2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？(2)试写出与相等的所有向量．(3)试写出的相反向量．【变式】1．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若空间向量满足，则B．在正方体中，必有C．若空间向量满足，，则D．任一向量与它的相反向量不相等2．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（

）A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量B．平行且模相等的两个向量是相等向量C．若，则D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：

(1)向量，，与向量相等吗？(2)向量，，与向量是相反向量吗？知识点二空间向量的线性运算【【解题思路】1.空间向量加法、减法运算(1)巧用相反向量(2)巧用运算法则：巧用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算和相等向量或相反向量进行转化2.数乘运算数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．【例2-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；(2)；(3).【变式】1．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（

）A．3 B．2 C． D．3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).知识点三共线向量【【解题思路】1.空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量，(≠0)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ2.共线向量的应用（1）向量的共线证明了线线平行（2）判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法【例3-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（

）A． B． C． D．【例3-2】（2024湖北）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

【变式】1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为．4．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.5．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．知识点四共面向量【【解题思路】1.若已知点P在平面ABC内，则有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．【例4-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．五点共面【例4-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（

）A．共面 B．不一定共面C．无法判断是否共面 D．不共面【例4-3】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（

）A．1 B． C． D．【变式】1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．2．（2024高二·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（

）A．A，B，C，D四点共线B．A，B，C，D四点共面C．A，B，C，D四点不共面D．无法确定3．（2024山西）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（）A． B．2 C． D．4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（

）A．若，则与，共面B．若，则共面C．若，则共面D．若，则共面知识点五数量积的运算【【解题思路】数量积运算的思路(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．【例5】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：

(1)；(2)；(3)；(4)．【变式】79．（22-23高二上·全国·课后作业）已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).2．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示长方体中，是的中点，，，求：(1)；(2)3．（22-23高二下·全国·课后作业）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)(2)(3)知识点六利用数量积求夹角或模长【【解题思路】1.求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝abab求coscos〈a，b〉，进而确定〈a2.求线段长度(距离)①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝eq\r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)．【例6】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．

(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值．【变式】1．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．(1)求的长．(2)求异面直线与所成的角的余弦值．2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.求：

(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.知识点七利用数量积证垂直【【解题思路】用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．【例7】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)判断与是否垂直．【变式】1．（2023高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．求证：．2．（2024北京）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值(3)判断与是否垂直．【题组一空间向量的概念辨析】1．（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量2．（2023高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是真命题的为

（

）A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同B．若空间向量满足，则C．若空间向量满足，则D．在正方体中，必有3．（2024陕西）（多选）下列命题中正确的是

（

）A．如果,是两个单位向量，则B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同C．若，，为非零向量，且，，则D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内4．（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题:①方向相反的两个向量是相反向量；②若，满足且，同向，则；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任意向量，必有.其中真命题的序号为.5．（23-24高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出：(1)与模相等的向量；(2)与相等的向量；(3)与垂直的向量．6．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：

(1)的相等向量，的相反向量；(2)用另外两个向量的和或差表示；(3)用三个或三个以上向量的和表示．【题组二空间向量的线性运算】1．（24-25全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（）A．B．C．D．2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（

）

A． B．C． D．4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．【题组三共线向量】1（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（

）A．直线B．直线C．点P可能在直线上，也可能不在直线上D．直线，且2．（22-23高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上3．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为.4．（23-24高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．5．（2024·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．6．（2024河北）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EG∥AC;(2)求证:平面EFG∥平面AB1C．【题组四共面向量】1．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．2．（23-24高二上·浙江温州·期中）（多选）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二·全国·课后作业）（多选）下列命题中是假命题的为（

）A．若向量，则与，共面B．若与，共面，则C．若，则四点共面D．若四点共面，则4．（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．5．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面7．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（

）A． B． C． D．9．（23-24高二上·贵州·期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（

）A． B． C． D．10（2024湖北）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．【题组五数量积的运算】1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·；(2)·；(3)·.2．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形A