将军饮马问题的11个模型与例题

WORD格式专业资料整理将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点 A、B分布在定直线 l两侧；要求：在直线 l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接 AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段 AB的长度理由：在 l上任取异于点 P的一点P′，连接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点 A和定点B在定直线 l的同侧要求：在直线 l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线 l的对称点 A′，连接A′B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线 l为线段AA′的中垂线，由中垂线的性质得： PA=PA′，要使PA+PB最小，则需PA′+PB值最小，从而转化为模型 1.3.已知：如图，定点 A、B分布在定直线 l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线 l上找一点 P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱<AB，即︱P′A-P′B︱<︱PA-PB︱4.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B′，连接B′A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB′的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB′，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB′︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于点 A和点B，点C、D分别为线段 AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型 2的特征，作点 D关于x轴的对称点 D'，连CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点 D′，连接 CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小．令 y=x+4中x=0，则y=4，∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点 A的坐标为（﹣6，0）．∵点 C、D分别为线段 AB、OB的中点，∴CD为△BAO的中位线，∴CD∥x轴，且CD=12AO=3，∵点D′和点D关于x轴对称，∴O为DD′的中点，D′（0，-1），∴OP为△CDD′的中位线，∴ OP=12CD=32，∴点P的坐标为（﹣ ，0）．在Rt△CDD′中，CD′= CD2 DD2= 32 42=5，即PC+PD的最小值为 5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点 C、点P坐标；若题型变化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD′的解析式，再求其与x轴的交点P的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标为（0，1），点B的坐标为（ ，﹣2），点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________，|PA﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型 4的特征，作 A关于直线 y=﹣x对称点C，连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣x的交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值 .【解答】作A关于直线 y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线 BC的方程为y=﹣54x﹣54，与直线y=﹣x联立解得交点坐标P为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC=(231)2(2)2=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形 OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点 A（5，0），OB=4 ，点P是对角线 OB上的一个动点， D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（ ）A．（0，0） B ．（1，） C．（，） D．（ ，）变式训练1-2如图，菱形 ABCD中，对角线 AC和BD交于点O，AC=2，BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．1）求该抛物线的解析式；2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：过点 A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当 A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值 AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：作点 A关于OM的对称点 A′，过点 A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知 AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型 13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=AP，AQ=AQ，△APQ的周12AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在 OM上找一点 P，在ON上找一点 Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线 OM的对称点 A′，作点B关于直线ON的对称点 B′，连接A′B′交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值即为线段 AB和A′B′的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将 PA转化为PA′,将QB转化为QB′，当A′、P、Q、B′四点共线时，PA′+PQ+QB′的值最小，即 PA+PQ+QB的值最小.5.搭桥模型 已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段 PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需 AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A沿着平行于 PQ的方向，向下平移至点A′，使得 AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线 m于点P，线段PQ即为所求，此时 AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形 QPAA′为平行四边形，则 QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时， QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时 AP+PQ+BQ最小.6. 已知：如图，定点 A、B分布于直线 l两侧，长度为 a(a 为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定 PQ的位置，使得 AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需 AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点 A沿着平行于 l的方向，向右移至 A′，使AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段 PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为 A′B+PQ，即A′B+a理由：易知四边形 APQA′为平行四边形，则 PA=QA′，当A′、Q、B三点共线时，QA′+QB最小，即 PA+QB最小，又 PQ长为定值此时 PA+PQ+QB值最小.7. 已知：如图，定点 A、B分布于直线 l的同侧，长度 a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定 PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需 AP+PQ+QB最小，通过作 A点关于l的对称点，转化为上述模型 3解：作A点关于l的对称点 A′，将点A′沿着平行于 l的方向，向右移至 A′′，使A′A′′=PQ=a，连接A′B交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值为A′B+AB+PQ，即A′′B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN的最小值为 ．【分析】符合拓展模型 2的特征，作点 B关于AC的对称点 E，再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即 BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度 .【解答】作点B关于AC的对称点 E，再过点 E作EN⊥AB于N，则BM+MN=EM+MN，其最小值即 EN长；∵AB=10，BC=5，∴AC= AB2BC2=55，等面积法求得 AC边上的高为 105=25，∴BE=45，55易知△ABC∽△ENB，∴ ，代入数据解得 EN=8．BM+MN的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且 OP= ，点M、N分别是射线OA、OB上异于点 O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）A． B． C．6 D ．3【分析】符合拓展模型 3的特征；作 P点分别关于 OA、OB的对称点 C、D，连接CD分别交OA、OB于

M、N，此时△

PMN周长最小，其值为

CD长；根据对称性连接

OC、OD，分析条件知△

OCD是顶角为

120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边

CD.【解答】作P点分别关于 OA、OB的对称点 C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC= ，CH= OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是 3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△ OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点 .典型例题2-3如图，已知平行四边形 ABCO，以点O为原点，OC所在的直线x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点 A坐标为 ，点B坐标为 ；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点 P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出 OD，BD的长即可解决；2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线

OB与

EF的交点，结合

OB的解析式可得

P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2?tan60°=2 ，∴A（﹣2，2 ），∵四边形 ABCO是平行四边形，∴ AB=OC=6，DB=6 2=4 B 4 22）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线 OB的解析式为 y= x，∴P（2， ）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值， 一般通过作对称和平移 （构造平行四边形）的方法，转化为基本模型 .典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．1）求C、D两点的坐标；2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点 E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形 ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型 7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出 E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出 E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知： OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（ 4，0），（2）设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=- ，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为 y=- 2 ；（3）只需AF+CE最短，抛物线 y=- 2 的对称轴为 x=1，将点A向上平移至 A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴 x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点 E，E为所求，可求得 A2C的解析式为y=- ，当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1, )，点F的坐标为(1, )．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线” ；其中，作对称和平移的顺序可互换 .变式训练2-1几何模型：条件：如图 1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线 l上确定一点 P，使PA+PB的值最小．方法：作点 A关于直线 l的对称点 A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点 A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当 PA+PB的值最小是点 P的横坐标是 ，此时PA+PB= ．2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 ．（3）如图4，在菱形 ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线 AC上一动点，E，F分别是线段

AB和

BC上的动点，则

PE+PF的最小值是

．（4）如图5，在菱形 ABCD中，AB=6，∠B=60°，点AG，AD上的两个动点，则 EF+ED的最小值是

G是边．

CD边的中点，点

E．F分别是变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l∥l，l、l2之间的距离为8，点P到直线l的1211距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，直角梯形 OABC的边OA在y轴的正半轴上， OC在x轴的正半轴上， OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y轴的正半轴、 x轴的正半轴于点 E和F．（1）求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区 A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为 x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系， A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是 ．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，

）

B．（0，

）

C．（0，2）

D．（0，

）3.如图，在矩形

ABCD中，AB=5，AD=3，动点

P满足

S△PAB=1S矩形ABCD，则点

P到

A、B两点距3离之和

PA+PB的最小值为（

）A．

B．

C．5

D．4.已知抛物线

y=

x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点

F（0，2）的距离与到

x轴的距离始终相等，如图，点

M的坐标为（

，3），P是抛物线

y=

x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（

）A．3 B．4

C．5

D．6如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形 ABCD周长的最小值为（ ）A． B． C．

D．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）A． B． C．5 D．7.如图，Rt△ABC中，∠

BAC=90°，AB=3，AC=6

，点

D，E分别是边

BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为

．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点 D在

EG上运动，则△

CDF周长的最小值为

．9.如图，菱形 ABCD的边长为 6，∠ABC=120°，M是上的动点，当 PB+PM的值最小时， PM的长是（

BC边的一个三等分点，）

P是对角线

ACA． B． C． D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）A．6 B．10 C．2 D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状 是 形，P、E、F分别为线段 AB、AD、DB上的任意点，则 PE+PF的最小值是 ．13.如图，已知抛物线 y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交 x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．1）求此抛物线的解析式；2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点 P，使得以 A，P，Q为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在， 请说明理由．14.如图，在四边形 ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求 BM+MN的最小值．15.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点 M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当（3）在（2）问的条件下，过点 C作直线l∥x轴，动点

S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数2y=ax+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线 y= （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于 A，B两点，与 y轴交于点 C．1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有 M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时， 四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点 M的坐标．18.如图，对称轴为直线 x=2的抛物线经过 A（﹣1，0），C（0，5）两点，与 x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形 MEFP的面积的最大值，并求此时点 P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（