2025年六年级小升初数学提高复习：加法原理和乘法原理 讲义

第17讲加法原理和乘法原理

专题概述

加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有mi种不同的方法，在第二类方法中有m2种不

同的方法……在第N类方法中有m□种不同的方法，那么完成这件工作共有N=m+m+m+…+zn种不同

123n

的方法。运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤。完成第一个步骤有mi种方法，完成第二个步骤有m2种方法……

完成第N个步骤有m□种方法，那么，完成这件工作共有加］义巾2义…Xm□种方法。运用乘法原理计数，关键在

于合理分步。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意

区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。

典型例题1

在1001,1002,…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，使它们相加时不进位。

解相邻两数相加不需进位的数对中，前一个数可以分成四类：

(1)1999,1个；

(2)1^99,a可取0,1,2,3,4,共5个；

(3)l^b9,a,b均可取0,1,2,3,4,共25个；

(4)两,a,b,c均可取0,1,2,3,4,共124个(1000不可取)。

故由加法原理知，这样的数对共有155个。

思维训练1

1.有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作

为三条边，能围成多少个不同的三角形？

2.用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法?

典型例题2

6个人并排站在一排。

⑴请问如果贺贺必须站在中间，有多少种排法？

(2)如果贺贺和婷婷必须站在两端，有多少种排法?

解（1）贺贺必须站在中间，则贺贺的位置固定，剩下5个人排列，则共有5x4x3x2x1=120（种）排法。

（2）如果贺贺和婷婷必须站在两端，那么贺贺、婷婷的位置有2种站法，剩下4个人排列，则共有2x4x3x2xl=

48（种）排法。

思维训练2

1.一个篮球队，五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因，C不能作中锋，而其余4个人可以分配到五个位

置的任何一个上，共有多少种不同的安排站位方法？

2.如图所示，长方形四周有14个点，相邻两点之间的距离都是1厘米，以这些点连成三角形，面积是3平方

厘米的三角形有几个？

典型例题3

小明为了练习加法，做了分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数的卡片放在右边的抽屉里，又

做了同样的十张放在左边的抽屉里，然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法，这样一共可以组成多少个不同的

算式，其中和为偶数的情况有几种?（1+2和2+1算作同一种算式）

解（1）当两加数中较大者为10时，有10个加法算式；而当加数中较大者为9,8,7,6,5,4,3,2」时,分别有

9,8,7,6,54,3,2』个算式。故共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）加法算式。

（2）两个加数都是奇数的有5+4+3+2+1=15（个）算式；两个加数都是偶数的也有15个算式，共有15+15=30（个）算

式。

思维训练3

1.数1447,1005,1231有一些共同特征：每个数都是以1开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同，

这样的数共有多少个？

2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘

积？

典型例题4

六年级班级投票选举优秀学生干部，要求同学们从3名男生班委、2名女生班委中选出3名优秀学生干部，其

中至少有1名女生，一共有多少种不同的选法？

解第一种：1名女生2名男生，从2个女生中选1个女生有2种方法，从3个男生中选2个男生有3种方法，

共2x3=6（种）。

第二种：2名女生1名男生，从2个女生中选2个女生有1种方法，从3个男生中选1个男生有3种方法，共3

x1=3（种）。

运用加法原理可知，一共有6+3=9（种）不同的选法。

思维训练4

1.王师傅的配锁铺里有12把钥匙和12把锁全部都搞乱了，一把钥匙只能开一把锁，最多要试验多少次才能全

部配好锁和相应的钥匙？

2.贺贺从家到学校共有6条路可走，从学校到少年宫共有4条路可走。那么贺贺从家出发，经过学校然后到少

年宫，共有多少种不同的走法?

竞赛强化

1.各数位的数字之和是24的三位数共有一个。

2.芳芳中午到食堂去买饭菜，她发现食堂里有6种荤菜、4种蔬菜、2种汤。她要各买一种，共有一种不同

的买法。

3.芳芳有9根火柴，如果贺贺每次取走屋3根，那贺贺把芳芳的火柴全部取走有一种不同取法。

4.某城市的街道非常整齐（如图），从西南角A处走到对角线DB处，共有多少种不同的走法？

5.某辆快车从南京到杭州，中途要停靠六个大站。铁路局要为这辆快车准备不同票价的车票，这些车票中

最多有多少种不相同的票价?

6.4只鹦鹉飞入4个不同的鸟笼，每只鹦鹉都有自己的一个鸟笼（笼子不同），每个鸟笼只能进一只鹦鹉。若都

不飞进自己的鸟笼里去，则有多少种不同的飞法？

6.一只蚂蚁在路边找食物，发现了一块面包，想把面包搬回去和同伴们分享。可是自己搬不动，就回到窝

里叫来9只蚂蚁，可还是搬不动。每只蚂蚁又回去找了9个伙伴，但仍然搬不动。它们又都回到窝里各自找来9

个援兵，可还是搬不动。它们只好又回到窝里各自找来9个救兵。这次终于把面包块抬回洞里了，你知道一共有

多少只蚂蚁出来了吗？

第17讲加法原理和乘法原理

思维训练1

1.根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类。

第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。由题目条件，可知围成的等腰三

角形的腰长可以为123,4,5,6,7,8厘米。根据三角形腰长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是（单位省略不

写）:

①腰长为1的三角形1个

②腰长为2的三角形3个:2,2,1;2,2,2;2,2,3。

③腰长为3的三角形5个:3,3』;3,3,2;3,3,3;3,3,4;3,3,5。

④腰长为4的三角形7个:4,4,14,4,2...4,4,7

⑤腰长为5的三角形8个:5,5,15,5,2...5,5,8

同理，腰长为6,7,8厘米的三角形都是8个。

第一大类可围成的不同的三角形有1+3+5+7+8x4=48（个）。

第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。根据最长边的长度，我们再把第二大类围

成的三角形分为5小类（最长边不可能是3厘米、2厘米、1厘米）。

①最长边为8厘米的三角形有9个,三边长分别为8,7,6;8,7,5;8,7,4;8,7,3;8,7,2;8,6,5;8,6,4;8,6,3;8,5,4。

②最长边为7厘米的三角形有6个,三边长分别为7,6,5;7,6,4;7,6,3;7,6,2;7,5,4;7,5,3。

③最长边为6厘米的三角形有4个,三边长分别为6,5,4;6,5,3;6,5,2;6,4,3。

④最长边为5厘米的三角形有2个,三边长分别为5,4,3;5,4,2。

⑤最长边为4厘米的三角形有1个,三边长为4,3,2。

第二大类可围成的不同的三角形有9+6+4+2+1=22（个）。

所以,一共可以围成48+22=70（个）不同的三角形。

2.5分的硬币最多可以有100+5=20（枚）;当5分的硬币有20枚时，只有这1种凑法；

当5分的硬币有19枚时，则剩下的5分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1=5,所以共有

3种凑法；

当5分的硬币有18枚时，则剩下的10分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2=10,2分的可以替换为1分

的,于是有5+1=6（种）凑法；

当5分的硬币有17枚时，则剩下的15分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+1=15,2分的可以替换

为1分的,于是有7+1=8（种）凑法;

当5分的硬币有16枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20,2分的可以

替换为1分的,于是有10+1=11（种）凑法;

当5分的硬币有15枚时，则剩下的25分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+1=25,2分

的可以替换为1分的，于是有12+1=13（种）凑法。

于是，我们把两种情况作为一组，有（1,3）,（6,8）,（11,13）,…，即每组数内两个数字相差2,从第2组开始，每组

数的第一个数字比前一组的第一个数字大5。

5分的硬币可以取20~0枚，即有21种情况，分成10组还剩下一种情况，有(1,3),(6,8),(11,13),(16,18),(21,2

3),(26,28),(31,33),(36,38),(41,43),(46,48),51,所以共有(1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+

38+43+48）=（1+51）x11+2+（3+48）x10+2=286+255=541（种）。即用1分、2分和5分的硬币凑成1元，共有541种不同

的凑法。

思维训练2

1.首先可以确定中锋，C不能作中锋，则有4种选法，剩下4个位置由4个人进行排列，依次有4种、3种、2

种、1种排列方式，则有4x4x3x2xl=96（种）不同的安排站位方法。

2.如图所示。⑴底为3,高为2的三角形:当底在BC或AD边上时，有4x2=8（个）;当底为AB或CD时，有2x2=4

（个）;当底为MN,PQ时，有2x2=4（个）;当底为EF时，有4x2=8（个）。共计有8+4+4+8=24（个）。

（2）底为2,高为3的三角形:当底在BC或AD边上时，有3x3x2=18（个）;当底在AB或CD上时，有4个（即