2019-2020学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第2课时函数的平均变化率课后课时精练新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1第2课时函数的平均变化率A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)＝x2＋4图像上的两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()A．2 B．2.3C．2.09 D．2.1答案B解析∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kAB＝eq\f(f1.3－f1,1.3－1)＝eq\f(5.69－5,0.3)＝2.3，故选B.2．函数f(x)＝eq\r(2x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的平均变化率为()A．2 B.eq\f(2,3)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\r(2)答案B解析函数f(x)＝eq\r(2x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的平均变化率为eq\f(f2－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),2－\f(1,2))＝eq\f(2－1,\f(3,2))＝eq\f(2,3).故选B.3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析当x≥1时，f(x)≤f(1)＝1，当x<1时，f(x)≤f(0)＝2，所以函数f(x)的最大值为2.故选B.4．如图，正方形ABCD的顶点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤eq\r(2))将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图像大致是()答案C解析判断S＝f(t)的图像，可用观察法，直线l在运动到B点之前，左侧面积增大的速度越来越快，而过了B点之后，左侧面积增大的速度越来越慢，而速度的快、慢反映在图像上是陡、缓．故选C.5．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]答案D解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图像知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.二、填空题6．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．答案－1解析由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝_______，b＝_______.答案－20解析y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)，由－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．8．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[0，＋∞)解析－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值为0，∴a≥0.三、解答题9．证明函数f(x)＝eq\r(x)＋x是增函数．证明设x1≠x2，则eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\r(x2)＋x2－\r(x1)－x1,x2－x1).∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，∴eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(1,\r(x2)＋\r(x1))＋1.∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴eq\f(Δf,Δx)>0.∴函数f(x)＝eq\r(x)＋x是增函数．10．判断函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)在区间[2,4]上的单调性，并求这个函数在该区间上的最值．解设x1≠x2，则eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\f(x2,x2＋2)－\f(x1,x1＋2),x2－x1)＝eq\f(2,x1＋2x2＋2).∵x1，x2∈[2,4]，∴x1＋2>0，x2＋2>0.∴eq\f(Δf,Δx)>0，∴函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)在区间[2,4]上是增函数．故该函数在区间[2,4]上的最大值为f(4)＝eq\f(2,3)，最小值为f(2)＝eq\f(1,2).B级：“四能”提升训练1．很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．若已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系式为V(r)＝eq\f(4,3)πr3，从数学的角度，如何描述这种现象呢？解将半径r表示为体积V的函数，得r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为eq\f(r1－r0,1－0)≈0.62(dm/L)．类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为eq\f(r2－r1,2－1)≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，即随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．2．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝2，试证明f(x)在(－∞，2)上单调递减；(2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．解(1)证明：当a＝2时，f(x)＝eq\f(x,x－2).设x1≠x2，则eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(\f(x2,x2－2)－\f(x1,x1－2),x2－x1)＝eq\f(－2,x1－2x2－2).当x1，x2∈(－∞，2)时，有x1－2<0，x2－2<0，∴eq\f(Δf,Δx)<0.∴f(x)在(－∞，2)上单调递减．(2)设x1≠x2，则eq\f(Δf,Δx)＝