空间距离（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题37空间距离5题型分类

彩题如工总

彩先也宝库

1.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为“，A是直线/上的定点，尸是直线/外一点，设亦=小则向量成在直

线/上的投影向量肢=3"）",在RCAP。中，由勾股定理，得尸°="而2_|超|2=/2一（4."）2.

AQ

2.点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为"，A是平面a内的定点，尸是平面a外一点.过点P作平面a的垂线/,交

平面a于点Q,则n是直线I的方向向量,且点P到平面a的距离就是静在直线I上的投影向量加的长度，

因此尸。=1还命H膂卜隔回

彩偏至赴籍

（一）

空间距离

（1）点到直线的距离.

①设过点P的直线I的单位方向向量为n,A为直线/外一点，点A到直线/的距离4=弋|向2-（丽.〃）2；

②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.

（2）求点面距一般有以下三种方法.

①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；

②等体积法；

③向量法.

题型1：求点到直线的距离

1-1.（2024高三下•广东茂名•阶段练习）菱形ABCD的边长为4,NA=60。，E为的中点（如图1）,将VADE

沿直线DE翻折至处（如图2）,连接A3,A'C,若四棱锥A'-EBCD的体积为4指，点/为的

中点，则F到直线BC的距离为（）

A而V23「屈

A•----------DR.----------•----------

224

【答案】A

【分析】

由已知可证得DE工平面AEB,AE_L平面BCDE,所以以E为原点，£5,所在的直线分别为x,y,z

轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】

连接3D,因为四边形ABCD为菱形，且4=60。，所以△ASD为等边三角形，

因为£1为的中点，所以DE人所以DE_LEB,_LHE,

因为功AE=E,平面AE3,所以DEI平面A£B,

因为菱形ABC。的边长为4,所以AB=AD=CD=BC=4,DE=2&AE=BE=2,

所以直角梯形的面积为:x（2+4）x2g=6g,

设四棱锥A'-EBCD的高为心贝"x6粗力=46，得6=2,

所以〃=A'E,所以AEL平面BCDE,

所以以E为原点，砂,四,所'所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则

3（0,2,0）,C（-234,0）,F（-区0,1）,

所以BC=(-2石,2,0),

BC

所以"同T万万。卜=FB=(S,2,-1)

所以忖=J3+4+1=2V2,a-c=—^+1=――,

所以歹到直线BC的距离为1=

1-2.（2024•吉林•模拟预测）如图1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=AD=1,CD^2,DE=,沿AE

图1图2

（1）若平面PAE、平面PBC=/,求证：///BC；

⑵若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

（2）H_

【分析】（1）根据题意得到四边形ABCE是平行四边形，证得/场〃BC,进而证得BC〃平面2钻，结合

线面平行的性质定理，即可证得///BC.

(2)取AE中点。，以。为原点，过。作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。-型，设

求得ET=(o,立(cose+1),走sin/和向量防=(」,走,o],得到

/POB=e(0<9〈兀)

I44)I22J

£TEB=j(cos0+l),且网=1,结合点T到直线£B的距离

8

【详解】(1)证明：在梯形ABCD中，因为M//CE且AB=CE,

所以四边形ABCE是平行四边形，所以4£〃以7,

又因为AEu平面以E,且BC＜Z平面R4E，所以BC〃平面E4E,

因为5Cu平面P3C,且平面P4E「〕平面依C=/,所以//ABC.

(2)解：取4E中点。，连接。民。尸，因为一ABE是等边三角形，可得O3_LOE

以。为原点，。瓦。3所在直线为x轴，y轴，过0作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系。-型,

如图所示，

设/尸03=。(0＜。＜万)，

则尸0,且cos。,且sin。,C1,—,0，叫,0,0),30,与,0—,^-(cos0+l),^-sin^

v7

、22)(2,244

X

3

所以ET=0,^—(cos^+1),——sin。,_j_V3

EB=一,0,ET•EB==—(cos0+l),且

、44,27

囱=1,

则点T到直线EB的距离d=小ET?-(ET-EB)?

3

+——sin夕-(cos^+l)

4

=^J^-(cos6»+l)2+sin26i

11

因为-IvcosOvl,所以当cos6=,时，dmax=-；

当cos。3—I时，d^O,所以点T到直线EB的距离的取值范围是

故P到面ADGE的距离Z一垃.

\n\728

故选：A

2-2.（2024高三上•山东青岛•期中）如图，四棱锥P-ABCD中，底面42CD为正方形，..RW为等边三角

形，面R4BJ_底面43CDE为的中点.

⑴求证：AC±PE；

（2）在线段BD上存在一点F,使直线AP与平面PEP所成角的正弦值为害.

①确定点厂的位置；

②求点C到平面PEF的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵①点尸的位置是线段3D上靠近8的三等分点；0175

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质定理，即可证明线线垂直；

（2）①根据（1）的证明过程，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

以线面角的向量公式求点尸的位置；②根据①的结果，结合点到平面的距离的向量公式,

计算结果.

【详解】（1）取48中点。，连接OE,PO,

,为等边三角形，

:.PO±AB,

面R4B_L底面ABCD,

面底面ABCD=AB,

POu面E4B,

.•.尸。_1面45。，

:.PO±AC,

ACABD,

BD/1'OE,

AC_LOE又POOE=O,

/.AC1面尸OE,

QPEu面尸OE,

:.AC_LPE,

/>

j

(2)①如图以。为原点，OP为z轴，为X轴建立空间

‘变干y

直角《包标系.设3C=8尸=2,

尸(0,(),右)，A(-l,0,0),3(1,0,0),D(-l,2,0),£(-1,1,0),

衣二(1,0,6),PB=(l,0,-V3),P£=(-l,1,-73),BO=(-2,2,0),

BF=2BD=(-22,2Z,0),:.PF=PB+BF=(1-2九2九-6)

设勺=(x,y,z)是平面PEF的一个法向量

-x+y-\/3z=0

则有•

(1-24)x+22y—=0

令Z=6解得：

^=(3-62,6-62,73)

-6-623—34

cos<AP,%>=-i=/=

2^3+(3-6A)2+(6-6X)2，72矛-1082+48

因为直线针与平面际所成角的正弦值为g

.'.|cos<AP,n}>|=|-/3"|=2/1

2V1822-27A+125

即90犷J

72A2-108A+485

解得彳=；，所以点尸的位置是线段2。上靠近B的三等分点，

②C(l,2,0),£(-1,1,0),EC=(2,1,0)

小(L4,®Q(云，总岛

点c到平面阻的距离［=止。3|=工+二=^^.

1nliV20V205

2-3.(2024・浙江•模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，侧面尸AD是边长为2

的正三角形，平面抬O_L平面ABC。，AB1PD.

⑴求证：平行四边形ABCD为矩形；

(2)若E为侧棱PO的中点，且平面ACE与平面AB尸所成角的余弦值为好，求点3到平面ACE的距离.

4

【答案】⑴证明见解析

(2)正

2

【分析】

（1）取AD中点连接尸河，由正三角形、面面垂直的性质易得9_1_面钿。。，再由线面垂直的性质

及判定证ABLAZ）,即可得结论；

（2）构建空间直角坐标系，设AB=/>0并求面ACE、面尸的法向量，结合面面角的余弦值求参数，应

用向量法求点面距.

【详解】（1）取AD中点连接PM，.皿）为正三角形，则PA/_LAD,

面上4£>_L面ABCD,面PADc面ABCD=AD,2Mu面PA。，则乃0_1面458,

ABu面ABCD,故尸M_L49,又AB_LPD,PM,PDc^PAD,PMcPD=P,

所以AB上面PAD,ADu面PAD,故A5_LAD,则平行四边形ABC。为矩形.

（2）如下图，以A为原点，AB为尤轴，AD为y轴建立坐标系，设AB=t>0,

则A（0,0,0）,3（/,0,0）,C（z,2,0）,P（0,l,V3）,E（0：斗,

所以AC=Q,2,0）,AE=（°，|，¥），AB=9°，0），AP=（°，1，石），

n•AC=txx+2乂=0

设面ACE的法向量为〃=zj,则＜36,令石=2,贝IJ〃=（2,T,64,

n-AE=-yl+-zl=0

n•AB=tx=0

设面AB尸的法向量为根=（%，%，Z2），则，2令Z2=l,则根=（O,—百,1）,

n•AP=y2+V3Z2=0

m-n2"A/6

由丽目白转=7,解得”1,

则面ACE的法向量为7T2,-1,网，AB=（1,0,0）,

\AB-n\2拒

点B到平面ACE的距离—|^p=《F-

2-4.(2024•广东)已知正四棱柱48。-43。]2,43=1,/141=2,E为CG中点，尸为2?中点.

(1)证明：E尸为B2与CG的公垂线;

(2)求点2到面BDE的距离.

【答案】⑴见解析

⑵逑

3

【分析】(1)以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明匹，即可得证;

(2)利用向量法求出直线DA与平面3ZJE所成角的正弦值，从而可得出答案.

【详解】(1)证明：如图，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则2(1,1,0),40,1,0),£(01,2),口(0,0,2),矶0,1,1),尸&，3，1；

则M=[,一；,0),%=(T,-1,2),CG=(0,0,2),

因为EF-BR=0,EFCCl=0,

所以EB_LBQ,E尸_LC£,

即E尸为22与CG的公垂线；

(2)解：r>B=(l,l,O),r>E=(O,l,l),DD1=(O,O,2),

设平面BDE的法向量m=(x,y,z),

m-DB=x+y=0./.

则有■,可取加=(1,一1,1),

m•DE=y+z=0

连接8。，设AC与5。相交于点。，连接PO,

因为金字塔P-ABCD可视为一个正四棱锥，

故以点。为坐标原点，。4,。民。尸所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

又由题意可得48=3顶，尸0=3,

所以。i=OB=oc=a>=o尸=3,

所以0（0,0,0）,4（3,0,0）,P（0,0,3）,B（0,3,0）,C（-3,0,0）,0（0,-3,0）,

不妨设E（x,y,z）,又因为PE=2EB，所以（x,y,z-3）=2（—x,3-y,-z）,

即x=—2x,y=6—2y,z—3=—2z,解得x=0,y=2,z=l,即E（0,2,l）,

AD=(-3,-3,0),C4=(6,0,0),AE=(-3,2,1),

设平面AEC的法向量为m=(x,y,z),则力CA=0,m-AE=0,

f6x=0/、

即°cc，取y=i,得加=(0,1,—2),

［一3x+2y+z=0'7

\AD'm&

所以点D到平面AEC的距离d==二=包.

\m\V55

故选：A.

题型3:求直线到平面的距离

3-1.（2024高二上•全国•课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点,

F为线段8瓦的中点.

⑴求直线FG\SU直线AE的距离;

(2)求直线FG到平面AB.E的距离.

【答案】⑴粤

⑵工

3

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线FG到直线AE的距离;

(2)转化为G到平面ABE的距离，利用点到平面的距离向量法可得答案.

【详解】(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，

4(1,1,1),60,0,：］,尸［1,1,£|,4(1,0,0)<(。，1，1)，

因为FG=1-1，0,，所以画FC\,即AE//FQ,

所以点尸到直线AE的距离即为直线FG到直线AE的距离，

所以直线FG到直线AE的距离为-(或］=画

Vl10J5

(2)因为AE〃/G,尸G<z平面4月E,短匚平面人与石，所以尸G〃平面4月£,

所以直线尸G到平面ABIE的距离等于G到平面AB.E的距离，

ce=(1,0,0),破=(0,1,1),AE=S,，，

设平面AB］E的一个法向量为"=(x,y,z),

，f1

AE-n=0-x-\——z=0

则〈，即｛2，取z=2,可得〃=(1,-2,2),

W-n=0［y+z=0

卜C闾i

所以G到平面阴E的距离为=

H3

所以直线FC、到平面AB.E的距离为1.

3-2.（2024高二上•全国,课后作业）在棱长为。的正方体ABCD-4BGR中，E、歹分别是8月、Cg的中

点.

⑴求证：AD〃平面4EF，；

（2）求直线AD到平面AE/肛的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵*

【分析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标

系。-孙z,证明出D4//2A，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得直线AD到平面4EFR的距离.

【详解】（1）证明：如图，以点。为坐标原点，DA,DC、所在直线分别为x轴、,轴、z轴，

建立空间直角坐标系。一孙z,则。（0,0,0）、A（a,0,0）、2（0,0,。）、4（a,0,a）,

所以D4=（a,0,0）,D14=（«,0,0）,所以八4//。八,

又因为ZM、QA不共线，则D4//2A，

因为2Au平面AEED1,平面4EFR,所以，D4〃平面AEER.

(2)解：由(1)得〃(0,0,。)、F^0,o,|

所以“=[o,a,-Or>F=[o,a,.|j.

设平面AEFD］的法向量为〃=(xy,z),

n-D.F=ay——z=Q

则■2取y=i,可得”=(o,i,2),

n,RA=ax=0

所以点O到平面\EFDX的法向量为d==卡=个a.

所以直线AD到平面\EFD.的距离是乎..

3-3.(2024高二・全国•课后作业)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，Q4L底

面ABC。，OA=2,M,N、R分别是Q4、BC、AD的中点.求:

⑴直线MN与平面OCD的距离；

(2)平面MNR与平面OCD的距离.

【答案】⑴正

2

(2)#

2

【分析】(1)证明出平面MW"/平面OCD,可得出MN〃平面OCD,以点A为坐标原点，AB,AD,AO

所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线MN与平面OCD的距离；

(2)利用空间向量法可求得平面MNR与平面OCD的距离.

【详解】(1)解：因为Q4L平面ABCD,四边形ABCD为正方形，

以点A为坐标原点，AB.AD,AO所在直线分别为X、，、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解

【详解】由正方体的性质，AB^DC^D.B^DB,AB]。4=瓦，0GlDB=D,

易得平面ABQ//平面BOG，

则两平面间的距离可转化为点2到平面4瓦2的距离.

以。为坐标原点，OA,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系，

则A（a,O,O）,B（«,（z,O）,A（a,O,a）,C（0,4Z,0）,耳（a,a,a）,Dt（0,0,tz）

所以C4j=（a,—a,a）,54=（0,_a,0）,Ag=（0,a,a）,B[D[=（_a,_a,0）.

连接AC,由CAj.做=（。，-。，。），（。，。，。）=0，-BlDl=（a,-a,a）-（-a,-a,0）=0,且A8JB.D）=,可知

AC1平面ABR,

得平面ABQ的一个法向量为〃=

则两平面间的距离d=/=.

故选:D

4-2.（2024高二上•河北沧州•阶段练习）两平行平面名用分别经过坐标原点。和点A（l,2,3）,且两平面的一

个法向量〃=（-1,。,1）,则两平面间的距离是（）

A.V2B.—C.73D.3V2

2

【答案】A

【分析】由空间向量求解

【详解】回两平行平面a,尸分别经过坐标原点。和点A(1,2,3),OA=(1,2,3),

且两平面的一个法向量〃=(-1,0,1),

回两平面间的距离d=区色0=2-=^.

\n\V2

故选：A

4-3.(2024高二上•全国•专题练习)直四棱柱ABC。-44GA中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱

AA=3,M、N分别为Aa、42的中点，区p分别是G2,8C的中点.

⑴求证：平面4WN〃平面EFBD；

(2)求平面与平面EFBD的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵处

19

【分析】(1)法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系。-孙z,通

过证明=MN,AM=BF，再由面面平行的判定定理即可证明.

(2)法一：平面与平面跳BD的距离=3到平面的距离心再由等体积法即可求出答案.法二:求

出平面4VW的法向量,AB=(O,2,O),平面4VW与平面£7如的距离等于B到平面的距离/z,由点到

平面的距离公式即可求出答案.

【详解】(1)法一:证明：连接用2,NF,M、N分别为人用、4。的中点,

E、/分别是GR，8G的中点，

MN//EF//BlDl,MNu平面EFBD,EFu平面EFBD,

:.MNII平面EFBD,NF平行且等于AB,

.•.AB/W是平行四边形，；.AV//班\

ANU平面BFu平面EFBD,；.AN〃平面EFBD,

4Vc=N,平面AMV〃平面£7如；

法二：如图所示，建立空间直角坐标系。-孙z,

贝1JA(2,O,O),M(1,0,3),3(220),£(0,1,3),

F(1,2,3),N(2,l,3),;.EF=(1,1,0),MN=(1,1,0),

AM=(-l,0,3),BF=(-1,0,3),

EF=MN,AM=BF，EF//MN,AMIIBF,

一MNU平面EFBD,EFu平面EFBD,:.MN“平面EFBD,

AVcZ平面跳B£),BFu平面EFBD,:.AN“平面EFBD,

又A4NcAM=M，，平面AACV〃平面EfBD,

(2)法一:平面AMN与平面EFBD的距离=B到平面AMN的距离h.

AMN中，AM=AN=\/10,MN=A/2,SAMN=—■\/2•^10——=—

・••由等体积可得1・巫。='、231,=8侈.

323219

法二：

设平面4WN的一个法向量为〃=（x,y，Z）,

n-MN=x+y=0

则-,则可取〃=(3,—3,1),

n-AM=-x+3z=0

如图，以A为坐标原点，45,40,44,的方向分别为x轴、>轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

由题意得A(0,0,0),C(l,l,0),£>(0,1,0),G(1,1,1),

则AC=(1,1,0),DC}=(1,0,1),AD=(0,1,0).

设异面直线AC与DQ的公垂线的方向向量〃=(x,y,Z),

n-AC=0\x+y=0

则〈，即〈八，令x=l,得y=—l,z=—l,/.n=(l,-l,-l),

nDCx=0[x+z=0

所以异面直线AC与。G之间的距离==

故选：c.

5-2.(2024高二上•山西运城期中)如图，在三棱柱ABC-AgG中，底面ABC是边长为2道的正三角形,

队=币,顶点A在底面的射影为底面正三角形的中心，P,。分别是异面直线AG，A/上的动点，则尸，

。两点间距离的最小值是()

22

【答案】D

【分析】设。是底面正ABC的中心，A。，平面ABC,COLAB,以直线CO为x轴，0A为z轴，过。平

行于的直线为〉轴建立空间直角坐标系，P,。两点间距离的最小值即为异面直线AG与48间的距离用

空间向量法求异面直线的距离.

【详解】如图，。是底面正JWC的中心，A。，平面ABC,AOu平面ABC,则4。，人。，

AB=2栏,则百=2,又用=近，/0=小W-毋=0,

COLAB,直线CO交AB于点。，OD=1,

以直线CO为X轴，。4为Z轴，过0平行于A8的直线为y轴建立空间直角坐标系，如图，

(2)存在，DE=有或逆

2

【分析】(1)找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；

(2)根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与8尸，ED均垂直的向量，进而利用异面直线2忆

DE的距离为1建立等式求出a.

【详解】(1)

回侧面的夕内为正方形，0A,B,±BBt,

又8尸_14与，且BBqBF=B,BB「BFu面BBCC,

回44,平面BBCC，又ABIAB\,

回/152平面2瓦。。，取BC中点G,

则EG〃AB,回石6_1平面58。u.

(2)以3为原点，分别以54,BC,8月所在直线建立空间直角坐标系，如图,

则3(0,0,0),E(l,l,0),F(0,2,1),

设。(a,0,2),则加=(0,2,1),ED=(«-1,-1,2),BE=(1,1,0).

设与BP，££）均垂直的向量为〃=（x,y,z）,

BF-n=0（2y+z=0//、、

则，即,八cC，取〃=5,a-l,-2（a-l）,

EDn=0［（々-1）元_y+2z=0

_阿.”\5+a-l\、7

团异面直线8凡。石的距禺d二―rq—=/-7=1，解得〃=1或彳.

H45+5（”1）22

故存在点。在直线44上，使得异面直线放”的距离为L且此时3石或除

5-4.（2024・全国•模拟预测）在平行四边形A5CD中，AB=2,AD=1,ZBAD60°,M,N分别为直线

上的动点，记M,N两点之间的最小距离为"，将△ABD沿8。折叠，直到三棱锥A-BCD的体积最大时，

不再继续折叠.在折叠过程中，d的最小值为.

【答案】叵

7

【分析】根据平行四边形ABCD的边长即角度可得AD人友），再由",N两点的位置关系以及d的几何意义,

确定出△ABD沿3。折叠过程中三棱锥A-BCD的体积最大时ADL平面BCD,建立空间直角坐标系利用两

异面直线间的距离公式即可计算出结果.

【详解】根据题意可知，如下图所示；

由45=2,4。=1,/&W=60。利用余弦定理可得瓦J?=AB2+AZ52_2ARAZ）cos60，

解得BD=6,所以满足AD?+302=AB?,即AD工3D,则CBLBD

又M,N分别为直线AB,CD上的动点，记",N两点之间的最小距离为d,则d表示两直线AB,CD之间的距

离，

在△ABD沿8。折叠过程中，直线钻,8由两平行线变成两异面直线，且两直线间的距离越来越近；

当三棱锥A-3co的体积最大时，此时平面BCD；

即此时M,N两点之间的距离最小，即为两异面直线AB,CD之间的距离；

以点B为坐标原点，分别以2c,2。为x轴，y轴，以过点B且与AD平行的直线为z轴建立空间直角坐标系,

如下图所示:

则3（0,0,0）,幺（0,31）（（1,0,0）,。（0,后0）,

即加=（0,点1）,。=卜1,后0）,

设与R4,S垂直的一个向量为〃=（x,y,z）,

n-BA=y/3y+z=0

则令y=l,贝！Jx=6,z=—石，可得〃=（6,1,-石）

n-CD=-x+石y=0

不妨取4。=（0。-1）,由两异面直线间的距离公式可得

ADn\石V21

d的最小值为一i-i—=/

|H|V3+1+37

故答案为：孚

【点睛】关键点点睛：本题关键在于把"N两点之间的最小距离为d"理解成异面直线AB,CD之间的距离,

再利用折叠过程中的位置关系，代入两异面直线距离公式求解即可.

媒习与梭升

一、单选题

1.（2024高二上•全国,课后作业）如图所示，在长方体中，A,A=5,AB=n,则直线Bg到

平面A3C2的距离是（）

【答案】C

【分析】

以。为坐标原点，DIDCDA所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量

求解即可》

【详解】以。为坐标原点，OAOCOR所在的直线分别为％y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则C（0,12,0）4（0,0,5）.设B（X,12,0），4（X/2,5）（XH。）.设平面ABC"的法向量为〃=（°也c）,

由〃_L5C,〃_LCOi,得

n•BC=(a,b,c)•(-x,0,0)=-ax=0,n-CD\=(a,b,c)-(0,-12,5)=-12Z?+5c=0,

a=0,b=-^c9回可取〃=(0,5,12).

又B[B=(0,0,-5),回点Bx到平面ABC"的距离为随d=的,

\n\13

B.C^BC,3Cu平面48c2，BCa平面48c2，

团4cM平面ABcq,

8G到平面48c2的距离为誓.

故选：c

2.（2024高二上•广东东莞•阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A4GA中，E为线段的中

点，厂为线段的中点，则直线广G到平面A与E的距离为（）

11

5-3-

【分析】建立空间直角坐标系，把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，根据空间中点到平面的距离

公式即可求解.

【详解】由题意易知直线歹G〃面4月£,

所以尸到面A瓦E的距离即为直线FG到平面A瓦E的距离.

A。,0,0),E(o,o,g｝瓦(1,1,1),,q(0,1,1),

所以AE=[-l,O,£j,A4=(O/,l),AP=[o,l,£|

设面A与E的法向量〃=（x,y,z）,贝!J：

AE•几=0-X+—z=0

,即2

ABln=0y+z=0

取z=2,则x=l,y=-2,所以〃=(1,-2,2)

AF-m-1I

所以产到面A31石的距离d=―|—।—=-^=

3

故选：D

3.（2024高三.全国•专题练习）在空间直角坐标系。孙z中，A（l,2,l）,B（2,l,/n）,C（0,l,2）,若点C到直

线A3的距离不小于少，则加的范围为（）

2

A.[1-72,1+^]B.[1-72,72-1]

C.[-1-A/2,1+V2]D.[>/2-1,1+72]

【答案】A

【分析】根据空间中点到线的距离公式，列不等式求解.

【详解】因为AB=（1,—1,祖—1）,AC=（―1,—1,1）,

（、2

,“2ACAB

所以点C到直线A8的距离为〃={4。；网

所以,化简得

解得1-0<m<l+0.

故选：A

4.（2024•浙江温州♦三模）四面体。45。满足/408=/5。7=/（704=90,。4=1,08=2,0。=3,点。在

棱OC上，且OC=3OD,点G为ABC的重心，则点G到直线AD的距离为（）

A.叵B.1C.3D.1

2233

【答案】A

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再利用向量求出点到直线的距离作答.

【详解】四面体。45。满足/493=/3。。=/。。4=90，即两两垂直，

以点。为原点，以射线。4。民0。的正方向分别为元,轴的正方向建立空间直角坐标系，如图,

12

因为OA=1,O6=2,OC=3,OC=3OD,则A(l,O,O),D(O,O」),G(n，l),

于是AG=(fl),AO=(一1,0,1),|AG|=^(-|)2+(|)2+l2=^,AG-AD=-|x(-D+1=|-

所以点G到直线AD的距离［=lAGjAG-ADy=U.(j_y=也.

X|AD|Y902

故选：A

5.（2024・湖北•模拟预测）如图所示的多面体是由底面为ABC。的长方体被截面AEG厂所截得到的，其中

221111

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AECV的法向量，利用点到面距离的向量公式1网即得解

\n\

【详解】以。为原点，分别以D4,DC,DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-孙z,

则。（0,0,0）,A（2,0,0）,3（2,4,0）,C（0,4,0）,矶2,4,1）,G（0,4,3）,

BAQ=（-2,4,3）,AE=（O,4,l）.

设〃为平面AEC逮的法向量，〃=（x,y,z）,

nAE=0[4y+z=0

,得《

n-ACl=0[-2x+4y+3z=0

X=1

令z=l,团v

y

4

所以"=1,一;,1

又CG=（°，°，3），

团点C到平面AEC1F的距离层四四=生匡.

I川H

故选：C.

6.（2024IWJ二•全国•课后作业）如图，已知A5C-A14G是侧棱长和底面边长均等于a的直二棱柱，Z）是侧

棱CC的中点.则点。到平面A5Q的距离为（）

A/2RA/2「3应0

A.aD.aC.-------aD•a

4842

【答案】A

【分析】取AB的中点0,连接CO,以点。为坐标原点，OB、OC、8后的方向分别为X、,、z轴的正

方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点C到平面AB.D的距离.

【详解】取A8的中点。，连接CO,

因为ABC为等边三角形，。为42的中点，则CO_LAB,

以点0为坐标原点，OB、OC、的方向分别为X、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

W,0,4J、D0,A/3〃、

、B,

2

a^3aX

设平面AB[D的法向量为〃=(x,y,z),ABj=(a,0,a),AD=一,—a,一

222

n♦ABi=ax+az=Q

由<4八〃6〃,取犬=1可得〃=

n-AD=—xH------ay+—z=0

222

Ac/],鼻,o],所以，点C到平面破。的距离为L此二1=N_=叵.

I22）“04

故选：A.

7.（2024高二上•浙江绍兴・期末）空间直角坐标系中A（0,0,0）、*1,1,1）、C（l,0,0））,仇-1,2,1）,其中Aea,

Bea,C^/3,D^p,已知平面打〃平面£,则平面a与平面£间的距离为（）

.V26RA/13_73n>/5

261335

【答案】A

【分析】由已知得A8，CD，AC，设向量〃=（x,y,z）与向量AB、CO都垂直，由向量垂直的坐标运算可

求得w，再由平面平行和距离公式计算可得选项.

【详解】解：由已知得AB=（L1，1）,CD=（-2,2,1）,AC=（1,0,0）,设向量〃=（x,丫⑶与向量血、C£）都垂

直，则

n-AB=0x+y+z=0

取x=l,〃=-4),

ri-CD—0—2%+2y+z=0

|AC-n||1X1+3X0+(-4)X0|应

又平面all平面0，则平面a与平面夕间的距离为"=匚十=L，'，=J

222

川71+3+(-4)26

故选：A.

8.(2024高二上•全国・专题练习)在棱长为1的正方体ABCD-A4CQ中，则平面儆。与平面AG。之间的

距离为

R百

A昱D.--

63

r26D.B

32

【答案】B

【分析】建立如图所示的直角坐标系,求得AD=(-1,0,0)和平面4G。的一个法向量》1=(1,1,1),

利用向量的距离公式，即可求解.

【详解】建立如图所示的直角坐标系,则A(1,0,0),G(0,1,0),0(0,0,1),41,0,1),

所以必=(1,0,-1),0cl=(0,1,—1),AD=(-1,0,0),

m_LDA】

设平面AC。的一个法向量胆=(x,y』)，则

m_LDC】

m-DA=x-l=0―x=l

即</，解得故初=(i,i,i),

=>-「0y=l

显然平面ABC〃平面AG。,

所以平面A3。与平面4G。之间的距离d=|A£>m|=^=—.

\m\y/33

【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通

常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离.空

间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解.着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9.(2024高二上•湖南邵阳•阶段练习)在棱长为1的正方体ABCD-4AG。中，瓦尸分别是的中点,

则直线8。到平面所〃用的距离为()

A.3B.1C.—D.-

6243

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),2(1,1,0),C(0,l,0),K(g1,0),尸，1,0),4(1,1,1),^(0,0,1),

所以匹=g,O,O),BQ=(-l,-l,O)，4E=(-go,-l),

设平面EFL避的法向量为"=®y,z),贝U

BQi=-x—y=0

<一1,令z=l,贝0=(—2,2,1),

ln-B,1E=——2x-z=0

因为2。〃片2，平面EBRBi,耳2u平面EFD4，

所以Q〃平面近肛耳，所以直线BQ到平面瓦〃耳的距离即为点3到平面瓦〃耳的距离，

1，一、