2024年海南文昌中学自主招生数学试卷（含答案）

2024年初中学业水平自主招生测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2.本场考试为考试时间为90分钟，请分配好时间。

3.本卷共14小题，满分120分。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale1820-1910）设计的，图中每个扇

形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南

丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是

A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加

B.2016年至2022年，知识付费用户数量的年增加量逐年递增

C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

D.2017年至2018年，知识付费用户数量增加量为近些年来最多

2.若将函数y=cosx-V^sinx的图象向左平移m（m>0）个单位长度后所得图象关于y轴对称，则m的最小值为

A.fB.=C.yD.

3.我国古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重

差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B,C两点与点A在

同一条直线上，且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角分别为（60。和20。,且BC=100m,则该

球体建筑物的高度约为（）（cosl0°~0.985）

A.49.25mB.52.76mC.56.74mD.50.76m

4.已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例如，[（-3.5]=-4,[2/]=2.,则以下选项错误的是（）

A.[2x]=2[x]B.[x]<x<x+1

C.[X]+[X4]=[2X]D./^RX]

5.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则

种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数据：1g2乜）.3,33才0.48）

A.第5代种子B.第6代种子

C.第7代种子D.第8代种子

6.若实数机，n>0,满足2加+〃=1,以下选项中正确的是（）

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A.仅"的最大值为JB.'+'的最小值为4行

4mn

?9.一..一1

C.-+^的最小值为5D.4/+/最小值为

7.若实数满足2、+29=1，则下列选项错误的是（）

A.x<0且y<-lB.&］+&［的最小值为9

C.x+y的最小值为一3D.M+QT-2^<2

8.函数/（x）的定义域为。，若满足：①/（x）在。内是单调函数；②存在［。阳=。使得/（x）在上的值域为

，则称函数［（X）为"成功函数若函数〃x）=k>g„,（初+2。（其中加>0,且〃-1）是"成功函数"，则实数f

的取值范围为

A.（。，+⑹B.（。,5C.D.］-巩；

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9.在锐角AABC中，ZBCA=30°,AC=4,则BC的取值范围为.

10.已知，48为OO的直径，△BCD内接于OO,CD交4B于点,E,BC=BE.如图，点尸在弧/C上，连接

AF

AF,DF,N/D歹=45。，点G在。厅上，连接BG,若NCDF=ZABG,—的值为.

11.如图，/、3是函数y=2上两点，尸为一动点，过点尸作必〃了轴，尸/〃x轴，下列说法：①△力OP丝△3OP；

②SAAOP=S^BOP；③若。4=08,则OP平分；④若SABO.=2,则$.狼=4,其中正确的有（填

序号）.

2

12.若关于x的方程（：-1）-。|：-4+夕0恰好有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是.

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三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13.(15分)如图，已知一个矩形纸片0/C8,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点/(10,0),点8(0,6),点P为BC

边上的动点，将AOAP沿O尸折叠得到A。。尸，连接C。、/D.试证明:

(1)当尸=45。时，四边形尸。为正方形；

(2)当P在运动过程中，CD的最小值2扃-6；

(3)当时，BP=2.

14.(15分)对于两个多项式，若尸=。逮2+4尤+C],。=吁2+3+。2满足下列两种情形之一:①。尸0,%=°；②

%=电，b,>b2.则称多项式P为"较大”多项式，多项式0为"较小”多项式.

对于两个多项式4=%X2+6]X+G和4=电彳2+62》+。2，若将4和4中“较大"多项式和“较小”多项式的差记作4,则

称这样的操作为一次"优选作差"操作；再对4和4进行"优选作差"操作得到4,……，以此类推，经过〃次操作后

得到的序列4，4，4,...4称为“优选作差”序列｛4｝.现对4=/-1,4=/+x进行〃次"优选作差”操作得到

"优选作差”序列｛4｝，试证明：

(1)4()25=X+1;

(2)4+4?+""+4o=7x2-6x-13；

(3)当〃=2025时，"优选作差”序列｛4｝中满足4-4+1=4+2的正整数左有1350个.

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15.(15分)已知AA8C中，48=6，。是边8C上一点，AD=Q，ZADC=60°,ZDAC=75°.

(1)求/C的长；

(2)求△48。的面积.

]kx-y+h\

16.(15分)阅读材料：已知点一(X。,九)和直线y=h+b,则点P到直线y=b+b的距离d可用公式0a

-71+了

计算.例如：求点尸(-2,1)到直线y=x+l的距离.其中％=1,b=l,所以点尸(-2,1)到直线y=x+l的距离为

“上户+2二|卜(：2)-1+1]—二0,根据以上材料，试证明：

Vl+FVl+FV2

(1)点(2,0)到直线y=-2x的距离是竽；

(2)抛物线y=d—4x+3上存在两个点到直线＞=-2x的距离是石；

,也

(3)若点尸是抛物线夕=£一我+3上的点，则点尸到直线y=-2x距离的最小值是丁.

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2024年初中学业水平自主招生测试

数学参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号12345678

答案BADACDCB

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

10.1

11.②③④

12.(1,-)U(-,+oo)

44

三、解答题：本大题共4小题，每小题15,共60分。

13.(15分)证明：(1)如图1,

四边形CUC3是矩形，

ZOBP=ZAOB=90°,

ZBOP=45°,

ZBOP=ZBPO=45°,

BO=BP,

由翻折得：ZODP=NOBP=90°,

四边形。瓦力是矩形，

四边形。3尸。是正方形，

(2)如图2,连接OC,

:.OD+CD>OC,

数学试题第5页，共4页

当O、D、C三点共线时，CD取得最小值,

此时OD+CD=OC,

Z.OAC=90°,

BC=OA=10,

OC=762+102=2V34,

由翻折得。。=。3=6,

:.CD=25-6,

CD的最小值2扃-6,

（3）如图3,

AD=>JOA2-OD2=A/102-62=8，

设=

DP=x,

CP=BC—BP=10-x,

/.AP=AD+DP=?>+x,

•・•PC2+AC2=AP2.

.*.（10-X）2+62=（8+X）2,

解得：x=2,

：.BP=2,

2

14.（15分）证明：（1）—A2=X+X

***4=x+1,A,^—%?—1,

2

A5=x-x-2,A6=x+1,

A.J——2x—3,4-—3x—4,

数学试题第6页，共4页

2

4=x+l,=x-4x-5f

2

Au=x-5x-6,Ai2=x+1L-

：.4>4、4、4、..・多项式为x+1，

即：4m二x+1，m=l,2,3，...，

当加=675时，475x3=4()25=X+1，故4()25=%+1；

(2)4+4+・-+&=3(x+l)+7f—(2+3+4)x-(1+1+2+3+4+5)=7x2—613,故

4+A.2+•,•+4o—lx2_6x_13;

22

(3)当左=1时，Ax-A2=x—1—x—x=—x—1w4,

当左二2时，A2~A.^=x2+x—(x+1)=%2_]=4，

当左二3时，4-4=x+l—卜2_1)=x—+2W4,

2

当左二4时，A4—A5=x—1-—x—2^=x+l=A6f

当左二5时，4—4—2—(x+l)=x2—2x—3=Arj,

当k=6日寸，46—4=%+1—(%2-2%—3)——X?+3x+4w4,L

二.当左=1,3,6,…，即：左=1或左=3冽，m=\,2,3,…，时，4-4+产4+2，

当加=675时，左=3'675=2025,左+2=2025+2=2027,不符合题意，

当加=674时，k=V674=2022,

・•・在序列｛4｝中，共有675个k值使得4-4+产4+2,

.・.在序列｛“〃｝中，有2025-675=1350个左值使得4—A+i=4+2

15.(15分)解：

(1)由已知NACD=45。，

ACADAC42_/-

_________^3________、----A(^3、/3

则A4DC中，sinZADC~smAACD6一后一；

22

(2)△/BD中，AB=6,AD=4i，ZADB-1800-ZADC=120°,

由余弦定理得：(6『=&)2+(0)2-28。义亚*(^,，解得2D=.丁,

数学试题第7页，共4页

所以AABD的面积为—xBDxADxsin—=—x———x亚x—.

232224

16.(15分)证明：(1)由题中点到直线距离公式为d=匕一%:",y=-2x中的左=-2,b=0

.、,网-%+4|-2x2-0+q446

可得点（2,0）到直线j=-2x的距离是d=:=-----------一一--

J1+后2

故点（2,0）到直线y=-2》的距离是苧.

（2）设抛物线》=£—4x+3上任意一点坐标为（x”x；-4匹+3）,

当点（4x；-4占+3）到直线y=-2%的距离是V5时,

饱一%