江苏省扬州市江都区仙城中学2025届高三上学期期初测试数学试卷（解析版）

扬州市仙城中学2024~2025学年度第一学期期初测试高三数学试卷（考试时间：120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出对数型复合函数的定义域得集合，结合指数函数的值域求得集合，再根据并集概念求得交集．【详解】由题意，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．2.已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为（）A. B.-∞,0 C. D.0,+∞【答案】D【解析】【分析】根据幂函数所过点可求得函数解析式，由幂函数性质可得结果.【详解】过点，即单调递减区间为0,+∞故选：【点睛】本题考查幂函数解析式的求解、单调区间的判断；关键是明确幂函数当时，函数在第一象限内单调递减.3.当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数对数函数的图象性质进行判断.【详解】当时，函数为单调递减的指数函数，函数为单调递减的对数函数，观察选项可得D符合.故选：D.4.设函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过定义判断函数为偶函数，利用求导的方法判断函数在单调递增，利用函数的单调性化简，可得的范围.【详解】，故为偶函数，当时，，故在上为增函数.综上为偶函数，且在上为增函数.故可得.即，解得或故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的应用和函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力、数学运算能力和转化的数学思想，属于一般题目.5.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，，，则，，大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件推断出函数为以2为周期的函数，根据是偶函数，在上单调递增推断出在上是减函数，进而利用周期性使，，，进而利用自变量的大小求得函数的大小，则a，b，c的大小可知．【详解】由条件，可以得：，所以是个周期函数，周期为2，又因为是偶函数，且在上单调递增，所以在[0，1]上是减函数，则，，，，.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数单调性，周期性和奇偶性的应用．考查了学生分析和推理的能力．6.若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别引入函数，（），，（），由导数确定函数的单调性珀判断各选项．【详解】设，，时，，递增，时，，递减，因此时，，即不一定成立，A错；设（），，时，，递减，时，，递增，因此时，，即不一定成立，B错；设，则在时恒成立，递增，若，则，所以，C错；设（），则在时恒成立，在上递减，若，则，即，D正确．故选：D．【点睛】本题考查大小比较，解题关键是引入函数，利用导数确定函数的单调性，然后比较大小．7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．【详解】，又>0，∴，∴∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故选D．【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．8.设函数的定义域是R时，a的取值范围为集合M；它的值域是R时，a的取值范围为集合N，则下列的表达式中正确的是（）A.M⊇N B.M∪N=R C.M∩N=∅ D.M=N【答案】C【解析】【详解】由题意得,由函数的定义域是R得恒成立,即由函数的值域是R得取遍上每个值,所以,因此M∩N=∅,选C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每题全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列求导数运算不正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由基本初等函数导数可知A，B错误；由导数的四则运算法则可知C错误；由复合函数的求导法则可知D正确.【详解】选项A，，故A错误；选项B，，故B错误；选项C，，故C错误；选项D，正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了基本初等函数的导数、导数的四则混合运算、复合函数的导数，考查了数学运算能力，属于一般题目.10.若函数的图象在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（）A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点C.在区间上一定有零点，在区间上可能有零点D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点【答案】ABD【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】因为函数的图象在上连续不断，且满足，则，根据零点存在性定理可知，函数在区间上一定有零点，因为，因此无法判断在区间上是否有零点，所以只有C判断正确，其它都不正确.故选：ABD11.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数，为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】理解若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”的定义，根据例子逐项判定四个选项的函数即可.【详解】对于A，，当定义域分别为与时，值域均为，所以为同族函数，所以A正确;对于B，，当定义域分别为与时，值域均为，所以为同族函数，所以B正确;对于C，在定义域内，函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，所以C错误;对于D，定义域为，当定义域分别为与时，值域均为，所以D正确；综上，故选ABD.【点睛】本题以新定义为载体，考查学生对函数三要素的理解，属于基础题．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12.已知函数是定义在上的奇函数，则______，______．【答案】①.1②.0【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可求，再根据奇函数的性质可求.【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解得，即的定义域为，则，故答案为1，0．【点睛】本题考查奇函数的性质，一般地，奇函数的定义域关于原点对称，若奇函数在处有定义，则，本题属于基础题.13.若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲得3分的概率为_________；甲的总得分不小于2的概率为_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】设甲在四轮的总得分为，分析可知，记，结合组合数求，进而根据分布列性质以及期望公式求即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以.从而.记.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，两式相减即得，故.所以甲的总得分不小于2的概率为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数，关于的不等式（为常数）的解集为.（1）若，求实数，的值；（2）当时，恒成立，试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得﹣3，1是方程ax2+bx﹣3＝0（a＞0）的两根，由韦达定理，解方程可得所求值；（2）由韦达定理可得b＝2a，由题意可得a（x2+2x）＜x+1，即对1≤x≤3恒成立．构造函数g（x）＝，求得最小值，可得所求范围．【小问1详解】关于x的不等式f（x）＜0即ax2+bx﹣3＜0的解集为（﹣3，1），可得﹣3，1是方程ax2+bx﹣3＝0（a＞0）的两根，则，解得a＝1，b＝2；【小问2详解】关于x的不等式f（x）＜k（k为常数）的解集为（﹣3，1），可得﹣3，1是方程ax2+bx﹣3﹣k＝0（a＞0）的两根，且则，即有当x∈[1，3]时，f（x）＜x﹣2恒成立，即ax2+2ax﹣3＜x﹣2，即有a（x2+2x）＜x+1，即对1≤x≤3恒成立．设g（x）＝＝＝，由1≤x≤3，可得2≤x+1≤4，又y＝x+1﹣在[1，3]递增，可得x＝3时，y＝x+1﹣取得最大值，所以g（x）的最小值为，所以，即a的取值范围是16.已知函数（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值;（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值，极大值为；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由条件可知，由此可求出，再根据导数讨论单调性即可求出极值；（2）化简可得不等式等价于，则可得在上单调递减，根据导数转化为在上恒成立，利用导数求出的最大值即可.【详解】（1）由题意知函数的定义域为0,+∞因为,所以，由函数在点处的切线方程为,则可解得，则所以令，解得所以当时，，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以函数的极小值为函数极大值（2）当时，不等式可化为即令，则，所以原不等式可化为，因为对任意，当时，不等式恒成立，则可知在上单调递减因为所以在上恒成立，则在上恒成立令则所以在上单调递增，所以,所以所以实数的取值范围为【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为，再由在上单调递减，将其转化为在上恒成立，利用导数求出的最大值.属于中档题.17.甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为.如果比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”比赛规则.（1）求甲获胜的概率；（2）记甲、乙比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，即可求解.(2)列出的所有取值，求出对应概率，再列出分布列，即可求出期望.【小问1详解】记甲获胜为事件，说明甲前三局胜了两局，且第四局甲胜，所以答：甲获胜概率为【小问2详解】可能取值是3、4、5，所以345则18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，且，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)欲证明平面BMD，只需证明PA垂直于平面BMD内两条相交的直线即可；(2)建立空间坐标系，运用空间向量计算即可.【小问1详解】设与交于，连接．因为为正方形对角线，所以为中点，且，因为是的中点，所以，因为，所以因为平面底面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以因为平面，，所以平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，，因为是的中点，所以，因为底面为正方形，所以，在中，为的中点，所以，同理：，且，因为平面，，所以平面，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，设平面的一个法向量，因为，所以，令，则，所以，同理：平面的一个法向量，设二面角的平面角为，，所以，所以二面角的正弦值为；19.已知函数，.（1）若在处的切线也是的切线，求的