人教版初中七年级数学上册同步讲义-绝对值（解析版）

第04讲绝对值

学习目标

课程标准学习目标

①绝对值的定义1.掌握绝对值的定义。

②绝对值的性质2.掌握绝对值的性质并解决相关题目。

③求绝对值3.能够求数或者式子的绝对值。

④有理数的大小比较4.掌握有理数比较大小的方法，能够比较有理数大小。

思维导图

绝对值的定义

知识点01绝对值的定义与求法

1.绝对值的定义：

一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离就是数4的绝对值。数。的绝对值记作」巴一，读

作数色的绝对值。

2.绝对值的求法：

(1)求一个数的绝对值：

由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是本身，一个负数的绝对值是它的相反数,0

的绝对值是0。

【即学即练1】

i.-2的绝对值是（）

5

A.至B.上C.2D

255-i

【解答】解：-2的绝对值是।-2|=2；

555

故选：C.

【即学即练2】

2.数轴上有A、B、C、。四个点，其中绝对值等于2的点是（

114Pl

-4-a-?-1oi2245,

A.点AB.点5C・点CD.点D

【解答】解：・・,绝对值等于2的数是-2和2,

工绝对值等于2的点是点A.

故选：A.

【即学即练31

3.已知〃=-2,b=l,则间+|-加的值为（）

A.3B.1C.0D.-1

【解答】解：•・•〃=-2,b=L

：.\a\+\-b\=\-2田-1|=2+1=3,

故选：A.

知识点02绝对值的性质

1.绝对值的非负性：

由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为负数。所以绝对或是一个非负数，

所以绝对值具有非负性。即若良0。几个非负数的和等于o,这几个非负数一定分别等

于0。

即：若|〃|+|。|+...+I加|=0,则一定有a=b=...=m=0。

题型考点：根据绝对值的非负性求值。

【即学即练1】

4.已知仇-2|+|>-1|=0,则x-y的相反数为（）

A.-1B.1C.3D.-3

【解答】解：根据题意得：x-2=0,y-1=0,

解得：x=2,y=l,

贝!Jx-y=2-1=1,

所以x-y的相反数为-1.

故选：A.

【即学即练21

5.若⑷+|加=0,则4与6的大小关系是（）

A.a=b=OB.Q与Z?互为倒数

C.〃与/?异号D,q与匕不相等

【解答】解：・・・间+|。|=0,|*0,步|20,

・・・|。|=0,|。|=0,

.•・4=0,b=0.

故选：A.

知识点03绝对值与数轴

1.绝对值与数轴：

在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就越小，一个数离原点越远，绝对值.越大。

题型考点：根据绝对值与数轴进行求解判断。

【即学即练1】

6.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越.

【解答】解：一个数的绝对值实际上就是该点与原点间的距离，因而一个数的绝对值越小，则该数在数

轴上所对应的点，离原点越近.

故答案为近.

【即学即练2】

7.如图，四个有理数相，小p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若a+q=0,则加，mp,q四

个有理数中，绝对值最小的一个是（）

••♦•>X

P2LA/Q

A.pB.qC.mD.n

【解答】解：,；w+q=0,

和q互为相反数，0在线段N。的中点处，

，绝对值最小的点”表示的数m,

故选：C.

知识点04绝对值与相反数

1.绝对值与相反数：

①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的

绝对值.相等。即若。与6互为相反数，则I。I=I。

②绝对值等于某个正数的数一定有两个，它们互为相反数。即若|x|=a(a>°)，则

x=+a或-ao

③绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即若Ia|=|。|，则有—巴三幺_

或a=-bo

题型考点：根据相反数的绝对值进行求解。

【即学即练1】

8.若忖=5,则x=.

【解答】解：M=5,则x=±5.

故答案为：±5.

【即学即练2】

9.已知。=-5,\a\=\b\,则。的值为()

A.+5B.-5C.+5D.0

【解答】解：|例=|a|=|-5|=5,

则b=±5.

故选：A.

【即学即练3】

10.绝对值等于5的数是,它们互为.

【解答】解：•••一个数的绝对值等于5,

设这个数位a,

则|旬=5,

•.a=±5,

V5+(-5)=0,

它们互为相反数，

故答案为：±5,相反数.

知识点05求式子的绝对值

1.求式子的绝对值：

先判断式子与o的大小关系,再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0,则去掉绝对值符号等

a>0时Jal-a

于它本身，若式子小于等于0,去掉绝对值符号等于它的相反数。即：a。

11,40时v科=-&

反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数大于等于0,解|a|=a,则a20,若一个

数的绝对值等于它的相反数，则这个数小于等于0。\a\=-a,则aW0。

题型考点：①根据绝对值求范围。

【即学即练1】

11.若|x|=x,则无的取值范围是（)

A.x>QB.xWOC.x20D.x<0

【解答】解：：|x|=x,

的取值范围是：x^Q.

故选：C.

【即学即练2】

12.若不为零的有理数a满足间=-a,则。的值可以是（）

A.6B.4C.2D.-2

【解答】解：V|fl|=-a,aWO,

...“vo.

故选：D.

【即学即练3】

13.已知间=a,|b|=-6,1al>|例，用数轴上的点来表示a、b,正确的是（）

A.-i-

B.a0h

C.ft-04iii

D.a0h

【解答】解：・・,|。|=。，\b\=-b,

V|a|>|Z?|,

'.a~>-b.

-A.

故选：c.

知识点06有理数的大小比较

1.有理数的大小比较：

①定义法：正数>0,0>负数,所以正数>负数。负数与负数进行比较时，绝对

伯大的负数反而小。

②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定>数轴上左边所表示的数。

③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而小。

题型考点：①根据绝对值求范围。

【即学即练1】

14.画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小.

-1A,2,3,-2.7,1-1,-3,0.

23

【解答】解：画出数轴并在数轴上表示出各数：

27-1

；-,2,2xx

-5-201J

按照数轴的特点用小于号从左到右把各数连接起来为：

-3<-2.7<-1A<O<1A<2<3.

23

故答案为：-3<-2.7<-1工<0<1工<2<3.

23

【即学即练2】

15.a、b两数在数轴上位置如图所示，将人6、-a、-b用连接，其中正确的是（）

II111.

-1a01h

A.a<-a〈b<-bB.-/?<«<-a<bC.-a<b<-b<.aD.-b<a<.b<.-a

【解答】解：令a=-0.8,b=1.5,则-a=0.8,-b=-1.5,

则可得：-b<a<-a<b.

故选：B.

题型精讲

题型01根据绝对值的性质求取值范围

【典例1】

若|a|=-a,a一定是（）

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

【解答】解：•；非正数的绝对值等于他的相反数，间=-a,

。一定是非正数，

故选：C.

【典例2】

若|1-a|=a-1,则a的取值范围是（）

A.<7>1B.C.a<1D.

【解答】解：♦.F1,

1-aWO,

••Cl1,

故选：B.

【典例3】

若|Q-5|=〃-5,则〃的取值范围为（）

A.B.a<5C.D.a>5

【解答】解：,・・|。-5|=〃-5,

•'.a-520,

••ci5，

故选：C.

题型02利用绝对值求值

【典例1】

若漏wo,那么1叁+上」的取值不可能是（）

ab

A.-2B.0C.1D.2

【解答】解：,：ab^0,

,有四种情况：①。>0,b>0,②a<0,b<0,③a>0,b<0,@a<0,6>0；

①当a>0,6>0时，

国+回=1+1=2；

ab

②当〃V0,。<0时，

L^L+L^L=-1-1=-2；

ab

③当〃>0,。<0时，

国+回=1-1=0；

ab

④当〃<0,。>0时，

国+回=-1+1=0；

ab

综上所述，国+区的值为：±2或0.

ab

故选：C.

【典例2】

已知：有理数a,b,c满足Hc#O,则丁曳丁+।=।°的值不可能为()

lailbIIcI

A.3B.-3C.1D.2

【解答】解：当。、b、c没有负数时，原式=1+1+1=3；

当a、b、c有一个负数时，原式=-1+1+1=1；

当〃、b、c有两个负数时，原式=-1-1+1=-1；

当b、c有三个负数时，原式=-1-1-1=-3.

故选：D.

【典例3】

已知油＞0,则二里丁+-1_^1+3_^=()

IaIbIabI

A.3B.-3C.3或-1D.3或-3

【解答】解：-abX),

ab同号，

①。。同为正数时，

原式=1+1+1=3；

②ab同为负数时，

原式=-1+(-1)+1=1,

故选：C.

题型03绝对值的非负性

【典例1】

如果la-1|+|6-2|=0,求a+6的值.

【解答】解：根据题意得，a-1=0,b-2=0,

解得〃=1，b=2,

所以〃+。=3.

【典例2】

如果-工|+|。-1|=0,那么〃+/?等于()

2

A.-AB.2C.gD.1

222

【解答】解：依题意得：

\a-—|=0,\b-1|=0,

2

即a--=0,b-1=0,

2

••6f=--，6=1,

2

a+b——.

2

故选：c.

【典例3】

若|x-3|+|y+2|=0,则|x|+|y|=.

【解答】解：根据题意得，尤-3=0,y+2=0,

解得尤=3,y=-2,

•'-W+M=|3|+|-2|=3+2=5.

故答案为：5.

题型04绝对值与数轴

【典例1】

若有理数。、6在数轴的对应位置如图所示，则下列正确的是（）

••・------>

ha0

A.|Z?|>-aB.|o|>-bC.b>aD.|a|>|6|

【解答】W：'：b<a<0,

••\b\\u\~~~cif

故选：A.

【典例2】

如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为P,N,Q.若点M,N表示的有理数互为相反数，则图中

表示绝对值最大的数的点是（）

~MpNQ_

A.点。B.点、NC.点AfD.点P

【解答】解：由数轴知，M<P<N<Q,

'：M=-N,

六。的绝对值最大，

故选：A.

【典例3】

有理数a",c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b+c=0,则a",c三个数中绝对值最大的数是（）

abcx

A.aB.bC.cD.无法确定

【解答】解：'：b+c=O,

，原点在b,c中间位置，

距离原点最远，

：.a,b,c三个数中绝对值最大的数是a.

故选：A.

题型05绝对值与相反数

【典例1】

如果IXI那么（）

工或

A.—B.2C.D.2

224

【解答】解：・.・J|八

故选：C.

【典例2】

若⑷=|可，则。和6的关系为（）

A.。和6相等B.a和b互为相反数

C.。和6相等或互为相反数D.以上答案都不对

【解答】解：•••同=|例，

和b的关系为：相等或互为相反数.

故选：C.

【典例3】

已知2%-3的绝对值与x+6的绝对值相等，则尤的相反数为（）

A.9B.1C.1或-9D.9或-1

【解答】解：•••白-3|=|尤+6|,

；.2x-3=x+6,或2x-3=-（x+6）,

'.x=9或尤=-1,

的相反数是-9或1.

故选：c.

题型06绝对值的化简

【典例1】

如果l<x<2,化简仇-l|+|x-2|=.

【解答】解：..T<x<2,

Ax-1>0,%-2<0,

**.\x-l|+|x一2\=x~1+2-x—1.

故答案为：1.

【典例2】

如果4V1,化简：\2-a\-\a-\\=.

【解答】解：

：.2-a>0,

|2-a\=2-a,

V«<1,

：.a-l<0,

|tz-11--a+1,

原式=2-a-(-6z+l)—2-a+a-1=1,

故答案为1.

强化训练

1.」绝对值是（）

4

【解答】解：|1|=1,

44

故选：B.

2.在-5,0,-2,4这四个数中，最大的数是（）

A.4B.-5C.0D.-2

【解答】解：根据有理数大小比较的法则，可得

-5<-2<0<4,

所以在-5、-2、0、4这四个数中，最大的数是4.

故选：A.

3.计算［-2|的值是（)

A.-2B.-工C._1D.2

2

【解答】解：|-2|的值是2.

故选：D.

4.下列有理数大小关系判断正确的是（）

B

A.-(-A)>-|40>|-10|

9

C.|-3|<|+3|D.-1>-0.01

卜!1点所以一()

【解答】解：4、-(--):-1.-A>-I-A

9910

B、0<|-10|=10；

C、|-3|=3=|+3|=3；

D、-1<-0.01.

所以选A.

5.若=则”的取值范围是（)

A.a<.2B.C.a>2D.〃三2

【解答】解：・・・|。-2|=2-处

.\a-2W0,

故选：B.

6.若-5|+|fe+6|=0,贝!J-早+〃-1的值是()

A.-11B.10C.-2D.2

【解答】解：因为|。-5|+/+6|=0,

所以〃-5=0,b+6=0,即。=5,b=-6,

所以-b+a-1=-（-6）+5-1=10.

故选：B.

7.若-1|与|Z?-2|互为相反数，贝!J的值为（）

A.3B.-3C.0D.3或一3

【解答】解：・・・|〃-1|与步-2|互为相反数,

：.\a-l|+|fe-2|=0,

又步-2|20,

：.a-1=0,b-2=0,

解得a=l,b=2,

。+。=1+2=3.

故选：A.

8.已知实数〃在数轴上的位置如图所示，则化简|。-1|+|。|的结果为（）

a

-101

A.1B.-1C.1-2aD.2a-1

【解答】解：•.•由数轴上。点的位置可知，0<a<l,

/.4Z-1<0,

，原式=1-a+a=l.

故选：A.

9.请举出一个反例说明等式不成立：.

【解答】解：举出一个反例说明等式不成立：例如，。=-2,则同=-〃（答案不唯一）.

故答案为：〃=-2,则⑷=-。（答案不唯一）.

10.11-4的绝对值是.

【解答】解：H-4的绝对值是|豆-4|=4-1T,

故答案为：4-n.

11.若|〃-1|与|人-2|互为相反数，则a+b的值为.

【解答】解：由题意得：\a-1|+|。-2|=0.

9：\a-1|^0,|。-2|20,

.\a-1=0,b-2=0.

.\a=l9b=2.

/.〃+。=1+2=3・

故答案为：3.

12.设yi=|2+x|,y2=2-|x|,当yi=y2时，x的取值范围是.

【解答】解：若"=”,即|2+%|=2-仇|,

化简可得枕+2|+仅|=2,

根据绝对值的意义，即X表示的点到原点与-2表示的点的距离之和为2,

观察数轴，分析可得必有-2WxW0,

故答案为-2WxW0.

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-5-4-3-2-1012345

13.补全数轴，并在数轴上表示下列各数，并用把它们连接起来.

1.5,0,4