2024-2025学年人教版八年级数学上册 轴对称的综合应用 专项训练

轴对称的综合应用

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

轴对称能运用轴对称的知识解决简单问题

二、核心纲要

1.利用轴对称变换解题

轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来，或将分散条件集

中起来，从而达到解题目的.那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢？下面给出几种常见考虑要用或作

轴对称的基本图形.

(1)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称

(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.

(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称

(4)路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路

径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.

下表给出几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法.

问题作法图形原理

•B

-----------------------APA+PB最小值为AB.两

连接AB

在1上找一点P使PA+P/点之间，线段最短.

B最小.

•B

A

•作A关于1的对称点B

------------------------1AP+BP=AB,两点之间,

A1,连接AB，与1的交—

在直线1上求一点P,使线段最短.

点即为点P

AP+BP最小

zS,

分别作点P关于两直

线的对称点P'、P”,连接PM+MN+PN=PP",两点

在直线11、12上分别P'P”,与两直线交点即之间，线段最短

求点M、、使4PMN周为M、N

长最小

续表

问题作法图形原理

4

分别作点P、Q关于

PQ+PM+MN+NQ=P'Q'

直线11、12的对称点

+PQ,两点之间，线段

在直线11、12上分别求、连接与直线

pQ',PQ',最短

点M、N,使四边形PMNQ的交点即为M、N纱

周长最小

S将A向右平移a个单

----------------------1位到A；作A关于1的对B

在直线1上求两点M、N称点A”,连接A“B,与1AM+MN+NB=a+A”B,

两点之间，线段最短

（M在左），使得MN=a，并使交点即为点N,将点NM；/N'

AM+MN+NB最小向左平移a个单位即为

M

S

_______________f连接BA并延长与直B|AP-BP|=AB,三角形任

线的交点即为点意两边之差小于第三边.

在直线1上求点P,使IAP-1Ppv----------------------------/

BP|最大

A.

----------------------1作点B关于直线1的

|AP-BP|=AB：三角形任

*H对称点B;作直线AB，与

意两边之差小于第三边

在直线1上求点P,使IAP-1的交点即为点P

BP|最大

小

八.|PA-PB|=0,垂直平分线

连接AB，作AB中垂

----------------------1上的点与线段两端点距

在直线1上求点P,使IIP线与1的交点即为点P.

离相等

A-PB|最小.

/

作点P关于直线OB

的对称点P',过P'向直线PD+CD的最小值为PC

点P在锐角/AOB内部,

OA作垂线与OB的交长度.点P到直线OA的

在OB边上求作一点D,

点为所求点D,垂足即、p.距离，垂线段最短.

在OA边上求作一点C,使

为点C.

PD+CD最小.

2.利用构造等边三角形

等边三角形有许多重要的性质，在解题中，若已知条件出现某一个角为60°,或角度的和、差、倍、分与60°

有联系时，一般地构造出等边三角形，汇聚分散的条件，探究解题思路，达到简捷解题目的.

本节重点讲解：两个应用（轴对称和等边三角形的应用）

三、全能突破

基础演练

1.如图13-3-1所示，直线L是一条河，P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P,Q两地供水，现

有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）.

A.B.C.D.

图13-3-1

2.如图13-3-2所示，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直

线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤

气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最

短.图中，点A'是点A关于直线b的对称点,AB分别交b、a于点C、D;点B'是点B关于直

线a的对称点BA分别交b、a于点E、F.则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次

是（）.

A.F和CB.F和EC.D和CD.D和E

3.如图13-3-3所示，已知NAOB的大小为a,P是NAOB内部的一个定点，且0P=2,点E、F分别是OA、0B上的动点,

若4PEF周长的最小值等于2,则a=（）.

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如图13-3-4所示，已知△ABC为等边三角形.高AH=10cm,P为AH上一动点,D为AB的中点厕PD+PB的最小值为

_____cm.

5.加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图13-3-5所示）,A到MN的距离大于B到MN的距离,AB=7m,,—

个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于

图13-3-5

6.如图13-3-6所示，凸六边形ABCDEF的六个角都是120。,边长AB=2cm,BC=8cm,CD=ll

cm,DE=6cm,你能求出这个六边形的周长吗？

图13-3-6

7.如图13-3-7所示,在△ABC中,4B=AC,AA=100°,BD平分NABC,求证:BC=BD+A

D.

图13-3-7

8.在正△ABC内取一点D,使DA=DB,iSAABC外取一点E,使乙DBE=NDBC,,且BE=BA,求/BED的度数.

能力提升

9.如图13-3-8所示点P为ZAOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点.P2，连接Pi户,

P2交OA于点M,交OB于点N,若.P1P2=6,贝必PMN周长为（）.

A.4B.5

C.6D.7

图13-3-8

10.如图13-3-9所示，在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场

牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，再回到B处，你能为他设计一条最短的路线

吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马.）（保留作图痕迹，需要证明）

图13-3-9

D

1L如图13-3-10所示，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外）,

作/DMN=60。,射线MN与NDBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关

系？

AMB

图13-3-10

12.如图13-3-11所示，在△ABC中,NBAC=120。,P为△ABC内一点.

求证:PA+PB+POAB+AC.

13.如图13-3-12所示，已知线段AB的同侧有两点C、D满足NACB=/ADB=60

=90°NDBC.求证:AC=AD.

图13-3-12

14.如图13313所示，在△ABC中,AB=AC,D是4ABC外一点且/人8口=60。,/人©口=60。,求证3口+口©=

C

图13-3-13

15.如图13314所示，已知P是^ABC边BC上一点，且PC=2PB,gZABC=45°,ZAPC=60°,^<

ZACB的大小.

图13-3-14

16.如图13-3-15所示，在四边形ABCD^^C=CD^BCA-ZACD^O^ScilEAD+CD^AB.

图13-3-15

17.如图13-3-16所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC顶角NA=20。,在边AB上取点D,使AD二BC,求NB

DC.A

BC

图13-3-16

18.如图13-3-17所示，在△ABC4I,ZBAC=ZBCA=44°,MABC内一点，使得NMCA=3()o,NMAC=16。,求NBM

C的度数.

图13-3-17

19如图13-3-18所示，在四边形ABCD中,NBAD=120o,NB=ND=90。,在BC、CD上分别找一

点M、N,使△AMN周长最小时，则NAMN+NANM的度数为（）.

A.13O°B.1200

C.1100D.1000

图13-3-18

AABC中，BA=BC,Z.BAC=a,,M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋

转2a得到线段PQ.

⑴若a=60。。且点P与点M重合(如图13319(a)所示).线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形，并写

出NCDB的度数.

图13-3-19

⑵在图13319(b)中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想/CDB的大小(用含a

的代数式表示)，并加以证明.

(3)对于适当大小的a,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B、M重合)时,能使得线段CQ的延长线

与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出a的范围.

巅峰突破

21.如图13320所示，已知ABC中,/B=9(F,AB=3,BC=4,D、E、F分别是三边AB、B

C、CA上的点，贝!]DE+EF+FD的最小值为().

A-B.-

55

图13-3-20

C.5D.6

22如图13-3-21所示,P为公ABC内部一点，使得Z-PBC=30°f^PBA=8。,且乙PAB=Z.PAC=22。,求NAPC的度

数.

图13-3-21

基础演练

1.D;2.A;3.A;4.10;5.7

6.如图，分别作线段AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.：六边形ABCDEF的六个角都是120。,

六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.

.♦.△APF、ABGC.ADHEX△GHP者B是等边三角形.

GC=BC=8cm,DH=DE=6cm.

・•・GH=8+11+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-15-6=4cm.

所以六边形的周长为2+8+1l+6+4+15=46cm.

7.在BC上截取BE=BA,延长BD至1]F使BF=BC,连接DE、CF.

又•:ZABD=ZEBD,BD=BD,BE=BA,

/.△ABD^AEBD.

ZDEB=ZA=100°,.\ZDEC=80°.

AB=AC,BD平分/ABC,

ZABD=ZEBD=20°.ZDCE=40°.

VBC=BF,ZEBD=20°,

ZF=乙FCB=|(180°-4EBD)=80°.

NF=NDEC.ZDCF=80°-ZDCE=40°.

ZDCE=ZDCF,ZF=ZDEC,

又：DC=DC,

ADCE^△DCF".DF=DE=AD.

，BC=BF=BD+DF=BD+AD.

8.如下图所示，连接DC,

•/DA=DB,AC=BC,CD=CD

AADC^ABDC..'.ZBCD=30°.

/DBE=/DBC,BE=AB=BC,BD=BD

ABDE^ABDC..*.ZBED=ZBCD=30°.

能力提升

9.C

10.作点A关于ON的对称点E,作点B关于OM的对称点F,连接EF交ON、OM于点C、D,连接AC、DB,则沿

AC-CD-DB路线走是最短的路线如下图所示：

证明：在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR、BR、RT、ET、AT,

A、E关于ON对称,AC=EC,

同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,

AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF.

AT+TR+BR=ET+TR+FR,

•/ET+TR+FR>EF,

，AC+CD+DB<AT+TR+BR,

即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线.

11.猜测DM=MN.

理由:过点M作MG〃BD交AD于点G,

则AG=AM.；.GD=MB.

又：/ADM+/DMA=120°,/DMA+NNMB=120°.

；./ADM=NNMB.

VZDGM=ZMBN=120°.

，ADGM^AMBN..*.DM=MN.

12.如下图所示把4APC绕A逆时针旋转60。得到△AP'C.

.•.ZCAC=ZPAP'=60o,AC=AC',AP=AP,,PC=P,C,

...△APP为等边三角形.二PP'=AP.

■：A.BAC=120°,.-.ABAC=120°+60°=180°.

；.B、A、C三点共线,BC<BP+PP'+P'C.

即AB+AC<AP+BP+CP.

13.以AB为轴作△ABC的对称△ABC,如下图所示:

.•.AC=AC,ZC=ZC=60°,ZABC=ZABC.

1

V^ABD=90°-jzDBC,

.•.2ZABD+ZDBC=180°.

ZABD+ZDBC+ZABD=180°.

gpZABC+ZABD=180°.

ZABC+ZABD=180°,Z.DxB、C三点共线.

又：/D=60。，

^DAC=180°-ZC-=60°=ND=zC.

△ADC'是等边三角形.，AD=AC'=AC.

14.如下图所示，延长BD到F,使BF=BA,连接AF、CF.

•//ABD=60。,AABF为等边三角形.

，AF=AB=AC=BF,/AFB=60°.

ZACF=ZAFC.

又：ZACD=60°,.\ZAFB=ZACD=60°.

ZDFC=ZDCF,.\DC=DF,

，BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AB.

15.如下图所示，作C关于AP的对称点C,连接AC；BC；PC；DC',.,.PC'=PC=2PB,ZAPC'=ZAPC=

60°.

可证△BCP为直角三角形.

延长PB到点D,使BD=BP,则PD=PC',又NC'PB=60。,

则ACPD是等边三角形.

由三线合一性质有C'BXBP,ZC,BP=90°,

ZABC=45°,.\ZC'BA=45°=ZABC.

/.BA平分/CBC.

过点A作AE±BC,AF±PC',AG±BM.

/.AE=AF=AG.CA平分NMC'P.

1

r

•••乙ACP=~^MCP=75°=^ACB.

2

16.以AC为对称轴将△DAC翻折到△D'AC的位置，连接BD'.

贝！］CD=CD二BC,NACD二NACDl

VZBCD'=ZBCA-ZACD'=ZBCA-ZACD=60°,

AADBC为等边三角形.

・•・AD+CD=AD+DBNAB,等号成立时AC平分/BAD.

17.如下图所示，以AD为边在△ABC外作等边三角形^ADE,连接EC.

VZCAE=60°+20°=ZACB,AE=AD=CB,AC=CA>J

:.AACB^ACAE.气：A