中考数学压轴题复习 反比例函数的综合及答案解析

中考数学压轴题专题复习一一反比例函数的综合及答案解析

一、反比例函数

1.平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y=x（Q0）图象上，点B、D在x轴

上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点

（1）已知点A的坐标是（2,3）,求k的值及C点的坐标；

（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2,求点D到直线AC的距离.

【答案】（1）解：,••点A的坐标是（2,3）,平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比

kk

例函数y=x（"0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，.­.3=-,

点C与点A关于原点。对称，

k=6,C（-2,-3）,

即k的值是6,C点的坐标是（-2,-3）；

（2）解：过点A作AN±y轴于点N,过点D作DMLAC,如图，

...点A(2,3)，k=6,

AN=2,

•••△APO的面积为2,

OR4V

OP-2_2

即2,得OP=2,

点P(0,2),

设过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式的y=kx+b,

'2左+8=3Jit=0.5

b=2/曰b=2

i，得i，

二过点A(2,3),P(0,2)的直线解析式为y=0.5x+2,

当y=0时，0=0.5x+2,得x=-4,

二点D的坐标为(-4,0),

设过点A(2,3),B(-2,-3)的直线解析式为丫=17^+13,

2m+n=3m=1.5

则H物+〃=-3,得i力=0,

二过点A(2,3),C(-2,-3)的直线解析式为y=1.5x,

■12^3

.,.点D到直线AC的直线得距离为：W+(T)，=13.

【解析】【分析】(1)根据点A的坐标是(2,3),平行四边形ABCD的两个顶点A、C

k

在反比例函数y=x(30)图象上，点B、D在X轴上，且B、D两点关于原点对称，可以

求得k的值和点C的坐标；(2)根据AAPO的面积为2,可以求得OP的长，从而可以求

得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到

直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离.

2.如图，已知抛物线y=-X2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y=x(34XS12)的一部分,

记作J,且D(3,m)、E(12,m-3),将抛物线y=-X2+9水平向右移动a个单位,

(1)求双曲线的解析式；

(2)设抛物线y=-X2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧，则线段BD的长为

(3)点(6,n)为可与G2的交点坐标，求a的值.

(4)解：在移动过程中，若G］与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G］于

M、N两点，若MN<3,直接写出a的取值范围.

IU~~

k{3k

"m~3=一

【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m-3)代入y=x得匕，解得

所以双曲线的解析式为丫=*；

(2)2y/3

12

(3)解：把(6,n)代入y=x得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2),

抛物线G2的解析式为y=-(x-a)2+9,

把(6,2)代入y=-(x-a)2+9得-(6-a)2+9=2,解得a=6士7厅，

即a的值为6±由；

(4)抛物线G2的解析式为y=-(x-a)2+9,

把D(3,4)代入y=-(x-a)2+9得-(3-a)2+9=4,解得a=3-\】或2=3+\"；

把E(12,1)代入y=-(x-a)2+9得-(12-a)2+9=1,解得a=12-27值或a=12+2

W;

；G]与G2有两个交点，

3+\'<a<12-2造，

设直线DE的解析式为y=px+q,

1

,3P+q=4P3

把D(3,4),E(12,1)代入得'12P+q-1,解得q=5

直线DE的解析式为y=-JX+5,

••.G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,

12

M(a,-Ja+5)，N(a,7),

2

-：MN<J,

1122

3a+5-a<j,

整理得a2-13a+36>0,即(a-4)(a-9)>0,

/.a<4或a>9,

a的取值范围为9<a<12-2JL

【解析】【解答】解：(2)当y=0时，-X2+9=0,解得X『-3,X2=3,则B(-3,0),

而D(3,4)，

所以BE=J(3+3户+*=2-\[J3.

故答案为2v入；

【分析】。)把D(3,m)、E(12,m-3)代入y=x得关于k、m的方程组，然后解方

程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；(2)先解方程-X2+9=0得

到B(-3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长；(3)先利用

反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=-(x

-a)2+9得a的值；(4)分别把D点和E点坐标代入y=-(x-a)2+9得a的值，则利用

图象和G］与G2有两个交点可得到3+V'3<a<12-2回再利用待定系数法求出直线DE的

111221

解析式为y=-：x+5,则M(a,-Ja+5),N(a,a),于是利用MN<)得到-3a+5

122

-T<3,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围.

3.如图，已知一次函数y==x+b的图象与反比例函数y=x(x<0)的图象交于点A(-

1,2)和点B,点C在y轴上.

(1)当^ABC的周长最小时，求点c的坐标；

1k

(2)当£x+b<x时，请直接写出x的取值范围.

【答案】(1)解：作点A关于y轴的对称点A,连接AB交y轴于点C,此时点C即是所

・反比例函数y=x(x<0)的图象过点A(-1,2),

k=-1x2=-2,

，反比例函数解析式为y=-x(x<0)；

,一次函数y=£x+b的图象过点A(-1,2),

15

2=-2+b,解得：b=2,

15

一次函数解析式为y=£x+2・

1<5

v=—x+—

*2

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：

x=-4

{V，/=7

解得：'2,或1=T,

1

点A的坐标为（-1,2）、点B的坐标为（-4,7）.

•・,点A与点A关于y轴对称，

.,•点A，的坐标为（1,2）,

设直线A'B的解析式为y=mx+n,

3

m=元

+

2=mnr〃

{11

---4mnn=一

则有2，解得：/6

317

直线AZB的解析式为y=76x+16.

31717

令y=11x+，。中x=0,则y=",

17

二点C的坐标为（0,1G）

（2）解：观察函数图象，发现：

当x<-4或-l<x<0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

152

当2x+Z<-x时，x的取值范围为x<-4或-l<x<0

【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点/V,连接AB交y轴于点C,此时点C即

是所求.由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的

坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组

即可求出点A、B的坐标，再根据点A，与点A关于v轴对称，求出点A的坐标，设出直线

AB的解析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线NB的解析式，令直

线A-B解析式中x为0,求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结

合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集.

如图，已知直线丫=与双曲线（）交于（（两点

4.2*+1?y=xx>0AxT,yj,Bx2,y2）

（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0,0）,与y轴交于点

c.

(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标.

(2)若b=y/l,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标.

(3)结合(1),(2)中的结果，猜想并用等式表示XI,x2,x0之间的关系(不要求

证明).

k

【答案】(1)解：,直线y=ax+b与双曲线丫=r(x>0)交于A(1,3),/.k=lx3=3,

3

••y=x，

'­'B(3,yp在反比例函数的图象上，

3

■■-y2=^=i,

B(3,1),

...直线y=ax+b经过A、B两点，

a+b=3tz=-1

<V

...解得b=4；

直线为y=-x+4,

令y=0,则x=4,

P(4,0)

(2)解：如图，作AD_Ly轴于D,AEJ_x轴于E,BF_Lx轴于F,BG_Ly轴于G,AE、BG

交于H,则ADUBGIIx轴，AEIIBFIIy轴，

CDQPFBFPB

OC=OP,PE=AE=PA,

b=yji,AB=BP,

1乂

----也

+1=6,

PFBF1

—_~4E_—2J

6+再1

B(2,2yp

•••A,B两点都是反i例函数图象上的点,

6+巧1

一井1二■一丫1，

解得x『2,

1M

---------A

代入6,解得y『2,

A(2,2),B(4,1)

（3）解：根据（1）,（2）中的结果，猜想：X1，x2,x0之间的关系为\+X2=Xo

【解析】【分析】（1）先把A（1,3））,B（3,y2）代入y=x求得反比例函数的解析

式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析

式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD_L.y轴于D,AE_Lx轴于E,BF_Lx轴于F,BG±y

CLALPbBbPb

轴于G,AE、BG交于H,则ADIIBGIIx轴，AEUBFIIy轴，得出优="，Pt=At=PA,

1xiPFBF16+xi1

根据题意得出门一二,PE=A£=1,从而求得B（2,lyj,然后根据|<=*丫得

6+xi11Xi

出xjy『2,？力，求得\=2,代入门'/=6,解得力=2,即可求得A、B的坐

标；（3）合（1）,（2）中的结果，猜想XI+X2=Xo.

5.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形,46。的边45-2,顶点4坐标为（1.b）,

点/坐标为（2,b+1）.

（1）点石的坐标是,点《的坐标是（用力表示）；

k

（2）若双曲线’一；过平行四边形452的顶点6和上，求该双曲线的表达式;

p二一6r〉0)

(3)若平行四边形，始a与双曲线A-,总有公共点，求。的取值范围.

【答案】⑴B(3,b)；C(4,b+1)

k

y——

(2)解：•.•双曲线x过点5⑶3和点。自〃▼

3b=2(b+1),解得。=2,

.•.万点的坐标为⑶2),上点的坐标为色

把

k

万点的坐标⑶2代入'一；，解得左=6,

_6

二双曲线表达式为'x

v=~(x>0)

(3)解：•••平行四边形乩?◎与双曲线》总有公共点，

_4

当点」4",力)在双曲线'x,得到。=4,

4

当点C(4,b+D在双曲线,一；，得到^二6,

二力的取值范围0WbW4.

【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵

坐标相同，横坐标相差2,得出B、C坐标即可；(2)根据B与D在反比例图象上，得到

C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解

析式；(3)抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双

曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围.

6.阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值。对于任意正实

数a、b,可作如下变形a+b=(3y*N⑸*=&万产'6历户-入国+为屈=

(1)根据上述内容，回答下列问题：在a+。(a、b均为正实数)中，若ab为

定值p，则。+也2/，当且仅当a、b满足时，a+b有最小值入人

(2)思考验证：如图1,AABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,CO为AB边上中

线，AD=2a,DB=2b,试根据图形验证a+b2入/否成立，并指出等号成立时的条件.

4

v--

(3)探索应用：如图2,已知A为反比例函数'x的图象上一点，A点的横坐标为1,

将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与X轴交于两点D、E,F(0,

-3)为y轴上一点，连接DF、EF,求四边形ADFE面积的最小值.

【答案】(1)a=b

(2)解：有已知得CO=a+b,CD=2\L,C02CD,即a+b>2.

当D与。重合时或a=b时，等式成立.

S四边形ATPE-5Ag■+SAFIX--DE*VAS+-pE*OF--J)E(jyAl+OF)

(3)解:

当DE最小时S四边形ADFE最小•

过A作AHJ_x轴，由(2)知：当DH=EH时，DE最小,

-X8X

所以最小值为此时埒PADFEM

DE8,S四边形ADHzZ(4+3)=28.

【解析】【分析】(1)根据题中的例子即可直接得出结论。

(2)根据直角三角形的性质得出CO=a+b,CD-7徭，再由(1)中的结论即可得出等号成

立时的条件。

(3)过点A作AH±x轴于点H,根据STOADFE=SAADE+SAFDE,可知当DH二EH时DE最

小，由此可证得结论。

7.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数1的图象经过点A(1,4),B(m,n).

k

(1)求反比例函数'~4的解析式；

nr-2m-3n+1

(2)若二次函数F=&-//的图象经过点B,求代数式4mn的值；

_k

(3)若反比例函数'-；的图象与二次函数尸=a(x-/尸的图象只有一个交点，且该交

点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围.

【答案】(1)解：将A(1,4)代入函数y=x得：k=4

k_4

反比例函数y=；的解析式是‘一；

(2)解：=B(m,n)在反比例函数y=：'上,

mn=4,

又二次函数y=(x-1)2的图象经过点B(m,n),

(ni1A-n,即n-l=m2-2m

n?-2m-3n+1mn(d-2m-3)-4(n-f-1)5

4mnInin4

_4

(3)解：由反比例函数的解析式为‘x,令、=乂,可得X2=4,解得X=±2.

_4

反比例函数'-；的图象与直线y=x交于点(2,2),(-2,-2).

如图，

当二次函数y=a(x—1)2的图象经过点(2,2)时，可得a=2；

2

当二次函数y=a(x—1)2的图象经过点(一2,—2)时，可得a=—.

••・二次函数y=a(x-1)2图象的顶点为(1,0),

2

由图象可知，符合题意的a的取值范围是0<a<2或a<—2.

【解析】【分析】(1)只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。

(2)根据B(m,n)在反比例函数图像上得出mn=4,将点B的坐标代入y=(x-1)2得到

n-l=m2-2m,再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解

决问题。

(3)可先求出直线y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，

先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质

(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题。

8.如图，一次函数尸二如'.力的图象与反比例函数'一；的图象交于第一象限C,D两

点，坐标轴交于A、B两点，连结OC,0D(。是坐标原点).

(1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；

(2)求^DOC的面积.

(3)双曲线上是否存在一点P,使得APOC和^POD的面积相等？若存在，给出证明并求

出点P的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)解：将C(l,4)代入反比例函数解析式可得：k=4,则反比例函数解析式为:

4

v=-

将D(4,m)代入反比例函数解析式可得：m=l

(2)解：根据点C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=-x+5

则点A的坐标为(0,5),点B的坐标为(5,0)

S=5x54-2-5x14-2-5x14-2=7.5

△DOC

(3)解:双曲线上存在点P(2,2),使得SAPOC=SAPOD,理由如下：

点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1),

OD=OC=\/；,

二当点P在NCOD的平分线上时，ZCOP=ZPOD,又OP=OP,

」.AP08△POD,

•・s=s.

△POC△POD

点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1),

可得NCOB=ZDOA,

4

1:这个点是NCOD的平分线与双曲线的y5交点，

ZBOP=ZPOA,

二P点横纵坐标坐标相等，

即xy=4,X2=4,

x=±2,

,/x>0,

x=2,y=2,

故P点坐标为(2,2),使得△POC和4POD的面积相等

利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(-2,-2).

答：存在，P(2,2)或P(-2,-2)

【解析】【分析】(1)观察图像，根据点C的坐标可求出函数解析式及m的值。

(2)利用待定系数法，由点D、C的坐标求出直线CD的函数解析式，再求出直线CD与两

坐标轴的交点A、B的坐标，然后利用SAD℃=SAAOB-SABOC-SAAOD,利用三角形的面积公式

计算可解答。

4

(3)双曲线上存在点P,使得SAPOC=SAP°D,这个点就是NCOD的平分线与双曲线的y=x

交点，易证△P08△POD,则与POC=SAPOD，可得出点P点横纵坐标坐标相等，利用反比

例函数解析式，建立关于X的方程，就可得出点P的坐标，利用对称性，可得出点P的另

一个坐标，即可得出答案。

9.如图，已知矩形OABC中，0A=3,AB=4,双曲线y=x(k>0)与矩形两边AB、BC分别

(2)点P是线段0C上的一个动点，是否存在点P,使NAPE=90。？若存在，求出此时点P

的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：AB=4,BD=2AD,

AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,

4

「•AD=3，

又=0A=3,

4

D(13,3),

k

,点D在双曲线y=x上，

/.k=Jx3=4；

,/四边形OABC为矩形，

AB=OC=4,

.•.点E的横坐标为4.

4

把x=4代入y—中，得y=l,

/.E（4,1）；

（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m,0）,0P=m,CP=4-m.

ZAPE=90°,

ZAPO+ZEPC=90°,

又「ZAPO+ZOAP=90°,

/.ZEPC=ZOAP,

又「ZAOP=ZPCE=90°,

/.△AOP〜△PCE,

OAOF

：.7c~a,

3th

4一m1,

解得：或m=3,

.,・存在要求的点P,坐标为（1,0）或（3,0）.

【解析】【分析】（1）由矩形0ABe中，AB=4,BD=2AD,可得3AD=4,即可求得AD的

长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在

要求的点P坐标为（m,0）,0P=m,CP=4-m,由NAPE=90。，易证得△AOP-△PCE,然

后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）如图1,7是抛物线对称轴上一点，连接刚，Pb,试求出当网+必的值最小时点

F的坐标；

（3）如图2,《是线段况上的一点，过点G作叩工X轴，与抛物线交于方点，若直线

加把分成面积之比为的两部分，请求出4点的坐标.

【答案】（1）解：将的坐标分别代入y=W+bx+c.

r-1+b+c=6

得'c=5

b=一4

解这个方程组，得'c=5,

所以，抛物线的解析式为尸=-F-4x+5

（2）解：如图1,由于点从、C关于，轴对称，所以连接加，直线加与.『轴的交点即为

所求的点/,

由.『二-r-4x+5,令尸=6,得-£-4x+5=G,

解得到二-5,X2=1,

•:C点的坐标为（-5,0）,

又B05）,

♦:易得直线质的解析式为：F=*+1

■：当川二—2时，尸=3,

••点、F坐标（2,3）

（3）解：设4点的坐标为自0，

所以比所在的直线方程为y.X+5.那么，出与直线友的交点坐标为万包a+5）,

的与抛物线尸=一/fx，5的交点坐标为月鱼-W-4a45）.

由题意，得

33

二卡(一W-4a+)))

①-EH二，即5-Q+5=-(a+5

3

解这个方程，得2或a-5（舍去）.

92

八EH二二E&5)~(a+5)二-(a+5)

②3,即3

解这个方程，得）<5或a二-$（舍去），

3

综上所述，4点的坐标为2,力或3,0)

【解析】【分析】(1)将点月、石的坐标代入可得出力、C的值，继而得出这个抛物线的

解析式;(2)由于点］、C关于了轴对称，所以连接瓦，直线班与y轴的交点即为所求

的点/,利用待定系数法确定直线6d的解析式，然后求得该直线与，轴的交点坐标即可；

(3)如图2,磔交加于石，设根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特

征，设/点的坐标为包0,E(a,a+5),H(a,--4a+5),

32

EH=_EGEH=-EQ

然后分类讨论：分别利用2或3,列关于a的方程，然后分别解关于r的

方程，从而得到4点坐标

11.已知如图，二次函数V=a/,bx十二的图象经过A(3,3),与X轴正半轴交于B

点，与y轴交于c点，△ABC的外接圆恰好经过原点0.

(1)求B点的坐标及二次函数的解析式；

(2)抛物线上一点Q(m,m+3),(m为整数)，点M为△ABC的外接圆上一动点，求

线段QM长度的范围；

(3)将AAOC绕平面内一点P旋转180。至△A'O'C(点。，与。为对应点)，使得该三角形

的对应点中的两个点落在尸=a/+bx'匚的图象上，求出旋转中心P的坐标.

【答案】(1)解：如图，过点A作ADLy轴于点D,AE^x轴于点E,

ZADC=ZAEB=90°

二次函数y+bx/£与y轴交于点C,

点C坐标为（0,2）

,点A坐标（3,3）

DA=AE=3

,/ZDAC+ZCAE=90°

ZEAB+ZCAE=90°

/.ZDAC=ZEAB

△AC醛△ABE

EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

点B的坐标为（4,0）

将A（3,3）B（4,0）代入二次函数V一+6*+£中

r3=9a+3b+2

得：lO=16&+4b+2

17

b=­

解得：6

5.17

v--T+-x+2

二次函数的解析式为：,66

5,17

心―-,m+3=--nr十-m

(2)解：将点Q(m,m+3)代入二次函数解析式得：©6

6

J

m『l；m2='(舍)

m=l

•・•点Q坐标为(1,4)

由勾股定理得：BC=2\/^

*T

设圆的圆心为N

,圆经过点O且NCOB=90°

BC是圆N的直径，

圆N的半径为/,N的坐标为(2,1)

由勾股定理得，QN=vZ

半径r=、5,则-+邓

(3)解：当点A的对称点点。的对称点。'在抛物线上时，如图

设点的横坐标为m,则点*的横坐标为m-3

W-3=VA)

13

Bl--

解得：5

211

J'的坐标为(飞15)

1328

：.旋转中心P的坐标为分刀

当点A的对称点，4',点C的对称点C'在抛物线上时，如图

设点的横坐标为m,则点”的横坐标为m-3

ycr-1=VA'

5,175s17

--jr+-m+2~1=—(m~3r+—(m-3)+2

得：4666

解得：逗二3

二的坐标为(0,5)

35

：.旋转中心P的坐标为——

132835

综上所述，旋转中心P