2026年高考数学考前20天冲刺讲义（五）（原卷版）

目录

倒计时04天

➤排列组合与二项式定理（选填题）……………01

聚焦排列组合应用、二项式定理通项及系数求解等2大考向10个核心考点

倒计时03天

➤不等式（选填题）………………09

聚焦不等式性质与解法、基本不等式应用等2大考向6个核心考点

倒计时02天

➤复数（选填题）…………………15

聚焦复数概念、四则运算及几何意义等7大考向8个核心考点

倒计时01天

➤集合与常用逻辑用语（选填题）………………22

聚焦集合运算与关系、充要条件、量词等5大考向7个核心考点

倒计时04天功不唐捐，玉汝于成。

——《法华经》

排列组合与二项式定理（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①排列组合核心考点：两大计数原理、排列数组合数公式、常用方法（相邻捆绑、

不相邻插空、定序倍缩、分组分配、隔板法）。二项式定理核心：通项公式、特定项系数、二

项式系数性质（对称性、增减性、最大项、系数和）。②难度中档为主，强调分类清晰、不重

不漏，避免复杂枚举。

►高考前沿：聚焦有限制条件的分配问题（如名额分配、涂色问题）及二项式系数与系数最值；

突出逻辑推理与数学运算，注意“分组是否有标识”“是否允许为空”等易错点，强化赋值法

求系数和。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1分类计数原理（加法原理）

.

Nm1m2mn

终极考点2分步计数原理（乘法原理）

.

Nm1m2mn

终极考点3排列数公式

n！*

Am=n(n1)(nm1)=.(n，m∈N，且mn)．注:规定0!1.

n(nm)！

终极考点4组合数公式

m

mAn(n1)(nm1)n！*

C=n==(n∈N，mN，且mn).

nm！！

Am12mm(nm)

终极考点5排列数与组合数的关系

m！m.

AnmCn

终极考点6单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

m1

①某（特）元必在某位有An1种；

mm11m1m1m1

②某（特）元不在某位有AnAn1（补集思想）An1An1（着眼位置）An1Am1An1

（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

kmk

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

nk1k

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注：此类问题常用

捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组

hk

互不能挨近的所有排列数有AhAh1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

An

当时，无解；当时，有m1n种排法

nm1nm1nCm1.

An

n

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn.

终极考点7分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法

nnnnn(mn)!

数共有NCCCCC.

mnmnnmn2n2nn(n!)m

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配

方法数共有

CnCnCn...CnCn(mn)!

Nmnmnnmn2n2nn.

m!m!(n!)m

终极考点8二项式定理

n0n1n12n22rnrrnn

(ab)CnaCnabCnabCnabCnb;

二项展开式的通项公式

rnrr，，，

Tr1Cnab(r012n).

终极考点9二项式系数的性质

性质内容

对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mnm

CnCn

n＋1

当k＜时，二项式系数逐渐增大；

2

增减性

n＋1

当k＞时，二项式系数逐渐减小

2

nn

第＋1项

当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为2；

n2Cn

最大值

n－1n＋1

第＋1项和第＋1项

当n是奇数时，中间两项22的二项式系数相等，且同时取得最大值，

n1n1

最大值为2或2

CnCn

终极考点10二项式系数和

nn012knn

(a＋b)的展开式的各个二项式系数的和等于2，即Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝2.

135024

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn

＋…＝2n1.

真题精研--复盘经典把握规律

考向01排列组合综合

1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每

天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A．120B．60C．30D．20

2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中

恰有1种相同的选法共有（）

A．30种B．60种C．120种D．240种

3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法

作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名

学生，则不同的抽样结果共有（）．

45152040

A．C400C200种B．C400C200种

30304020

C．C400C200种D．C400C200种

4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课

中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．

5．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3

次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之

1

差的绝对值不大于的概率为______．

2

6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被

选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．

解题妙法

三步解题法：

1.识别问题类型：

!

排列（有序）：从个不同元素中选个排成一列，=

!

��

��−�

�!��

组合（无序）：=

!!

��

常见模型：相邻�（�捆�绑法�−�）、不相邻（插空法）、定序（除以阶乘）、分组分配（先分组再

分配）、数字问题（特殊位置优先）、涂色问题（分类或递推）。

2.选择解题策略：

特殊元素/位置优先：优先处理有限制的元素或位置。

捆绑法：若干元素必须相邻，将它们视为一个整体，内部再排列。

插空法：若干元素互不相邻，先排无限制元素，再在空位中插入。

间接法（正难则反）：总情况减去不符合条件的情况。

平均分组：个元素平均分成组，每组个，方法数为。

��!

��⋅��−�⋯

3.计算并验证：����

注意区分“排列”还是“组合”；

是否有重复计数（如分组是否有序、元素是否相同）；

结果是否满足实际意义（如人数、对象是否可区分）。

口诀：特殊优先绑插空，正难则反用间接；分组注意去重复，排列组合要分清。

考向02二项式定理综合

4

7．（2024·北京·高考真题）在xx的展开式中，x3的系数为（）

A．6B．6C．12D．12

5

1

8．（2023·北京·高考真题）2x的展开式中x的系数为（）

x

A．80B．40C．40D．80

三、填空题

6

9．（2025·天津·高考真题）在x1的展开式中，x3项的系数为________．

6

2

．（天津高考真题）在x3的展开式中，常数项为．

102024··2______

3x

6

312

11．（2023·天津·高考真题）在2x的展开式中，x的系数为_________．

x

10

1

12．（2024·全国甲卷·高考真题）x的展开式中，各项系数中的最大值为______．

3

4234

13．（2025·北京·高考真题）已知(12x)a02a1x4a2x8a3x16a4x，则a0________；

a1a2a3a4________．

解题妙法

三步解题法：

1.写出通项公式：+展开式的通项+1=（=0,1,,）。

注意,可能为单�项式、多项式或分式，要�根�据−�题�目准确提取指数。

���������…�

2.根据条件列方程：

��

求指定项（如常数项、项）：令的指数等于目标值，解出，再代入求系数。

求系数和：令=1得各�项系数和；令=1得奇偶项系数差；奇次项/偶次项系数和可

���

用1+1/2等方法。

��−

整除与余数问题：将底数拆分为“模数+余数”形式，利用二项展开求余数。

��−

近似计算：取展开式前几项估算。

3.计算组合数与系数：

求出后，计算及的系数，注意符号。

涉及两个二项式相乘�时，可�−分�别�写通项，再合并同次幂。

�����

口诀：通项公式写清楚，指数条件定值；赋值法求系数和，拆底数解整除题。

�

终极预测--压轴实战稳拿高分

一、单选题

6

1．（2026·吉林长春·二模）1ax的展开式中x3的系数为160，则a（）

11

A．-2B．C．D．2

22

5

2．（2026·广东·模拟预测）在xyx2y的展开式中，x3y3的系数为（）．

A．120B．80C．40D．40

3．（2026·山西运城·二模）运城，因“盐运之城”而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称“盐运专城”．甲、

乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区（含运城盐湖和鹳雀楼）中各选3个景区去旅游，则甲选了运

城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有（）

A．200种B．225种C．300种D．400种

4．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择2天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，

则不同的选择方案有（）

A．7种B．8种C．9种D．10种

5．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，

若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）

A．12B．24C．36D．48

6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形

的6个顶点A，B，C，A1，B1，C1上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装

方法共有（）

A．3种B．6种C．12种D．48种

二、多选题

929

7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设12xa0a1xa2xa9x，则下列说法正确的是（）

A．a01B．a28a1

391391

C．aaaD．aaa

24821392

n

1

8．（2026·江苏南京·二模）已知ax(a0)的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有

x

项的系数和为1，则正确的命题是（）

A．n12B．a1

C．展开式中所有二项式系数的和为4096D．展开式中第11项为24x10

．（山西临汾二模）若202622026，则下列结论正确的是（）

92026··fx12xa0a1xa2xa2026x

2026

A．展开式中第1014项的二项式系数最大B．a0a1a2a20263

C．a0a12a22026a20264053D．f8被16除的余数是15

三、填空题

4

10．（2026·河北·模拟预测）1x23x2x2的展开式中x8的系数为______．

10

21

11．（2026·河南信阳·模拟预测）已知ax的展开式中常数项为180，则实数a的值为__________.

x

202622027

12．（2026·河南濮阳·二模）若(15x)(1x)a0a1xa2xa2027x，则

a2a4a6a2026___________．

13．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5

名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最

后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种.

14．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色

对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______

15．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向

上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法.

倒计时03天静以修身，俭以养德。

——诸葛亮《诫子书》

不等式及基本不等式（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①核心考点：一元二次不等式的解法、分式不等式、绝对值不等式、指对不等式，

基本不等式求最值（一正二定三相等）。②难度中低档，常以“比较大小”“恒成立求参”“最

值问题”形式考查，注意基本不等式配凑技巧与等号成立条件。

►高考前沿：聚焦基本不等式与函数、三角、向量结合的最值及线性规划中含参问题；突出数

学运算与逻辑推理，强化“1”的代换、拆项配凑等变形技巧，注意选填中的特值检验与数形

结合。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1基本不等式

ab

1.aR，bR，abab2ab（积定和最小）

2

ab2

2.aR，bR，ab（和定积最大）

4

22

3.aR，bR，ab2ab

终极考点2基本不等式链

2aba2b2

ab

11

22

ab

emenemenmn

拓展.m>n时，e2

2mn

终极考点3权方和不等式的二维形式

a2b2(ab)2ab

若a,b,x,y0则当且仅当时取等.

xyxyxy

(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)

终极考点4糖水不等式定理

bmb

若ab0,m0,则一定有

ama

通俗的理解:就是a克的不饱和糖水里含有b克糖,往糖水里面加入m克糖,则糖水更

甜;

终极考点5糖水不等式的倒数形式:

aam

设ab0,m0,则有:

bbm

终极考点6对数型糖水不等式

（）设且则有

1nN,n1,logn1nlogn2(n1)

（）设则有

2ab1,m0,logablogam(bm)

（）上式的倒数形式：设则有

3ab1,m0,logbalogbm(am)

真题精研--复盘经典把握规律

考向01解不等式综合

x4

1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式2的解集是（）

x1

A．{x∣2x1}B．{x∣x2}

C．{x∣2x1}D．{x∣x1}

x1

2．（2025·上海·高考真题）不等式0的解集为_________．

x3

3．（2024·上海·高考真题）已知xR,则不等式x22x30的解集为______．

解题妙法

三步解题法：

1.明确不等式类型：

一元一次、二次不等式：化为标准形式2++><0，解对应方程根，结合二次函

数图象写解集。

�����

分式不等式：移项通分化为><0，等价于><0（注意分母不为零）。

��

绝对值不等式：<�<�<；>�<���或>；多个绝对值用零点分

段法。

��⇔−�����⇔�−���

指对数不等式：利用单调性，注意定义域及底数范围（>1单调递增，0<<1单调递

减）。

��

根式不等式：两边平方（注意非负条件）。

2.代数变形与等价转化：

移项、通分、因式分解、换元（如令=2>0转化为二次不等式）。

注意不等号方向变化：乘除负数要变号；取�倒数需考虑正负；平方需保证两边非负。

�

3.求交集并集，写解集：

多个不等式组时取交集；分类讨论后取并集。

结果用区间或集合表示，注意端点是否取等（分母为零、根号内非负、对数真数>0等）。

口诀：二次看图象，分式化乘积，绝对值分段，指对调单调；定义域先行，等价转换要细心。

考向02基本不等式及其应用

11

4．（2025·上海·高考真题）设a,b0,a1，则b的最小值为_________．

ba

5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足a4b1，则ab的最大值为_______________．

1a

6．（2021·天津·高考真题）若a0,b0，则b的最小值为____________．

ab2

7．（2025·北京·高考真题）已知a0,b0，则（）

111

A．a2b22abB．

abab

112

C．ababD．

abab

x

8．（2024·北京·高考真题）已知x1,y1，x2,y2是函数y2的图象上两个不同的点，则（）

yyxxyyxx

A．log1212B．log1212

222222

yyyy

C．log12xxD．log12xx

22122212

x2y2

9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则MF1MF2

94

的最大值为（）

A．13B．12C．9D．6

10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足x2y2xy1，则（）

A．xy1B．xy2

C．x2y22D．x2y21

11．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

11

A．a2b2B．2ab

22

C．log2alog2b2D．ab2

解题妙法

三步解题法：

1.识别适用条件：

基本不等式：+2（>0,>0），当且仅当=取等。

2222

变形：�+�，≥+���+。���

222

������

三元形式��：≤++33≥（,,>0）。

2.构造定值：

���≥������

和为定值求积最大：+为常数，则在=时最大。

积为定值求和最小：为常数，则+在=时最小。

������

12211

配凑技巧：拆项（如�+�）、添项（如�+�=��1++1）、乘“1”法（+=+

11

����−�−�−����⋅

1等）。

��

“1”的代换：已知+=1，求+的最小值，乘以+后展开用基本不等

��

式。��𝑏����𝑏

3.验证取等条件：

求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。

若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。

口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。

终极预测--压轴实战稳拿高分

一、单选题

x3

1．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：2x31，q：0，则p是q的（）.

x2

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2

2x

2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式1的解集是（）

x

A．,14,B．1,4C．1,22,4D．0,14,

3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数a，b满足ab2ab，则a2b的最小值为（）

A．3B．4C．6D．9

4．（2026·广东广州·二模）已知ab0，且ab1，则下列不等式不一定成立的是（）

11

A．eeaB．C．ab2D．sinacosb

abb

5．（2026·广东江门·二模）已知a1，b1，且abab3，则4ab的最小值为（）

A．11B．12C．13D．14

6．（2026·河北衡水·二模）已知平面向量ax,1，b3,y，c1,1，若a，b在c上的投影向量相等，

11

且x0，y0，则的最小值为（）

4x1y

11

A．B．C．2D．1

32

2a1a7

7．（2026·湖南长沙·一模）已知数列annN是公比大于0的等比数列，则的最小值为（）

a4

2

A．3B．22C．2D．

2

8．（2026·山东德州·二模）已知a,b为正实数，c为实数，则“ab”的充要条件可以是（）

A．acbcB．acbc

11

C．abD．alnablnb

ab

二、多选题

9．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（）

11

A．x2B．sinx2

xsinx

421

C．x23D．lnxlnx

x212

10．（2026·河北沧州·二模）若a0，b0，ab4，则（）

411

A．a0B．1

bab

C．ab22D．12a23b248

11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数m,n满足3m2n1，则（）

23

n1221

A．142B．mnC．mn6D．mn

48221613

12．（2026·山西太原·二模）已知三个不同的实数x,y,z满足xyz，且xyz62,xyyzzx30，

则（）

A．x2y2z2132

B．82x52

C．52y2

D．x22z22的最小值是28

13．（2026·安徽滁州·一模）若x，y，z(0,)，且x24y23z24，则（）

A．当z1时，x2y1B．xy3yz2

315y16

C．当xyz取得最大值时，yD．当取得最小值时，xy

5xyz4

三、填空题

3x5

14．（25-26高三上·河北·月考）不等式2的解集为______.

x3

15．（2026·安徽安庆·三模）一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中a,b5,13），

则a2b2最小值为____.

倒计时02天海到无边天作岸，山登绝顶我为峰。

——林则徐

复数（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①核心考点：复数的四则运算、共轭复数、模、复数相等、几何意义（复平面内

点与向量）、实部虚部概念。②难度为基础题，通常位于试卷前两道，考查直接计算或概念辨

析，注意i的幂运算周期性。

►高考前沿：聚焦复数几何意义与模的最值（如|z|=1求|z-a|范围）及复数与方程根的关系；

突出数学运算与直观想象，强化对共轭复数、模长公式的熟练应用，避免符号错误。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1虚数单位：i，规定i21

终极考点2虚数单位的周期T4

终极考点3复数的代数形式：Z=abia,bR，a叫实部，b叫虚部

终极考点4复数的分类

实数：b0

a0

0：

b0

zabi虚数：

b0

b0

纯虚数：

a0

复数相等：若则ac,bd

终极考点5Z1abi,Z2cdi,Z1Z2,

终极考点6共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互

为共轭复数；zabi,zabia,bR，

推广：zzabiabia2bi2a2b2

结论：zza2b2

终极考点7复数的几何意义：复数zabia,bR一一对应复平面内的点Z(a,b)

终极考点8复数的模：Zabia,bR，则z|abi|a2b2；

已知，且22，

z1abi(a,bR)z2cdi(c,dR)(cd0)

zza2b2

则11(c2d20)，zzzza2b2c2d2

221212

z2z2cd

真题精研--复盘经典把握规律

考向01复数的四则运算

1

1．（2025·全国二卷·高考真题）已知z1i，则（）

z1

A．iB．iC．1D．1

z

2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若1i，则z（）

z1

A．1iB．1iC．1iD．1i

z

3．（2024·北京·高考真题）已知1i，则z（）．

i

A．1iB．1iC．1iD．1i

4．（2024·天津·高考真题）i是虚数单位，复数5i52i______．

解题妙法

三步解题法：

1.牢记运算法则：

加减法：++=+

乘法：++=++

�𝑏±�𝑏�±��±��

+++

除法：�=𝑏�𝑏=��−+�������

+2+22+22+2

�𝑏�𝑏�−𝑏������−��

2.利用共轭简�化𝑏：除法�时�分子分�母�同乘�分�母�的共轭；的幂周期性：4=1, 4+1=, 4+2=

1, 4+3=。���

�����−

3.结果�化简：最终结果必须写成+（,）的形式，便于后续求模或共轭。

�−�

口诀：加减乘除按法则，分母实数用共轭；的幂次周期四，结果化标准。

�𝑏��∈ℝ

�

考向02复数的实部与虚部

5．（2025·全国一卷·高考真题）(15i)i的虚部为（）

A．1B．0C．1D．6

解题妙法

三步解题法：

1.化代数形式：将复数化为=+（,）的标准形式，其中为实部，为虚部（注

意2=1）。

��𝑏��∈ℝ��

2.识别条件：

�−

实数=0；纯虚数=0且0。

两复数相等实部、虚部分别相等。

⇔�⇔��≠

3.列方程（组）求解：根据条件（如某点为实数、纯虚数、或与另一复数相等），列出关于参数

⇔

的方程，解出参数值。

口诀：复数化标准，实部虚部分清；纯虚实数看虚实，相等列方程。

考向03复数相等

6．（2023·全国甲卷·高考真题）设aR,ai1ai2，则a（）

A．-1B．0C．1D．2

解题妙法

三步解题法：

1.化为标准形式：将等式两边的复数分别化为+和+。

=

2.实部虚部分别相等：由+=+得��。��𝑏

=

��

解方程组：解出参数（如�𝑏或�实数𝑏），注意隐含条件（如分母不为零、模的非负性等）。

3.,��

技巧：若复数相等涉及模或共轭，先化简再比较实部虚部。

���

考向04复数的几何意义

7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，13i3i对应的点位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解题妙法

建立对应：复数=+与复平面内的点,一一对应，也与向量对应。

���������

考向05复数模长

8．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足iz22i，则|z|（）

A．2B．22C．4D．8

9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知z1i，则z（）

A．0B．1