龙城某中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

龙城初级中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

一.选择题（每题3分，共30分）

1.下列图标中，是中心对称图形的是（）

A△B@

2.已知。<6,下列式子不一定成立的是（）

A.a-1<Z?-1B.->-2b

3.若分式得有意义，则x的取值范围是（）

x+6

A.xW6B.xWO

4.正十边形的一个外角的度数为（）

A.144°B.120°

5.下列运算正确的是（)

A.层・〃6=〃8B.(-2a)3=6〃

C.2(a+6)=2a+bD.2a+36=5ab

6.下列命题中，为假命题的是（）

A.两组邻边分别相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

7.如图，把线段N8经过平移得到线段C。，其中43的对应点分别为C,D.已知/（-1,0）,B

（-2,3）,C（2,1）,则点D的坐标为（)

D

4一1,0)01

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

8.如图，四边形4BCO是菱形，ZC=24,BD=10,DH_LAB于点H,则线段的长为（）

「八

AA.-1-4-0BR.—13r3rC.-1-2-0-D.13

132v132

9.胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造.根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员,

每天修建的公路比原计划增加了40%,结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下

面所列方程中正确的是（）

7000广70007000.7000「

A-nEJ•

八•+5=

X(1+40%)xX-(l-40%)x“

c7000L7000n70007000「

J_L>_J-J.-U

X(1+40%)xX(l-40%)x

10.如图1,在中，动点尸从/点运动到5点再到C点后停止，速度为2单位/s,其中3尸

长与运动时间t（单位：s）的关系如图2,则/C的长为（）

二.填空题（每题3分，共15分）

11.分解因式：/-1=.

12.若方程X2-X-1=0的一个根是“3贝I」代数式加2-加+5=.

13.已知一元二次方程炉+6/加=0有两个相等的实数根，则用的值为.

14.如图，已知Rt448C,ZACB=90°,ZB=60°,AB=8,将△NBC沿3c方向平移7个单位长

度得到△£>£尸，则图中四边形ACED的面积为.

15.如图，在△48C中，NC=90°,/C=4,8C=8,点尸是48边上的一个动点（异于/、3两点）,

过点尸分别作/c、8c边的垂线，垂足分别为M、N,则〃N的最小值是.

2Y+2Y+1

16.（5分）先化简，再求值：（力+1）■=9，其中x=4.

x^-1x-2x+l

17.（8分）解一元二次方程：

(1)4x2=12x；(2)x2+4x+3=0；

(3)x2-4x-6=0；(4)3x2-4x-2=0.

18.(7分)如图，在一块长92加、宽60根的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地

分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

代-------92-------------”

19.(8分)如图，在边长为1的正方形网格中，△48C的顶点均在格点上.

(1)画出△/BC绕C点顺时针旋转90°得到的△48C,直接写出4的坐标为

(2)若△N2B2C2和△NBC,关于原点O成中心对称，请画出△Z232C2；

(3)在(1)的旋转过程中，求C/扫过图形的面积.

20.(8分)应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已

知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%,用3300元购进的甲种书柜的数量比用

4500元购进的乙种书柜的数量少5台.

(1)求甲、乙两种书柜的进价；

(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请

您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

21.(9分)如图，在WBCO中，线段ZC的垂直平分线交/C于O,分别交8C,4D于E,F,连接

AE,CF.

(1)证明：四边形/ECF是菱形；

(2)在(1)的条件下，如果ZB=30°,AE=3,求四边形/ECF的面积.

22.(10分)已知：直线经过点/(-8,0)和点8(0,6),点C在线段上，将△480沿5c折

叠后，点。恰好落在48边上点。处.

(1)求直线48的表达式.

(2)求/C的长.

(3)点P为平面内一动点，且满足以4B,C,尸为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合

要求的所有尸点的坐标.

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.下列图标中，是中心对称图形的是（)

A.B©

【解答】解：/、不属于中心对称图形；

B、属于中心对称图形；

C、不属于中心对称图形；

。、不属于中心对称图形；

故选：B.

2.已知。<6,下列式子不一定成立的是（)

A.a-1-1B.-2a>-2bC.2a+l<2b+lD.ma>mb

【解答】解：/选项，不等式两边都减1,不等号的方向不变，故该选项不符合题意;

8选项，不等式两边都乘-2,不等号的方向改变，故该选项不符合题意；

C选项，'：a<b,

2a<26,

2a+l<26+l,故该选项不符合题意；

。选项，当用<0时，不等式不成立，故该选项符合题意；

故选：D.

3.若分式，有意义，则x的取值范围是（)

x+6

A.xW6B.xWOC.xW--D.xW-6

6

【解答】解：要使分式有意义，必须x+6W0,

x+6

解得，xW-6,

故选：D.

4.正十边形的一个外角的度数为（）

A.144°B.120°C.60°D.36°

【解答】解：由于正十边形的每一个内角都相等,

因此正十边形的每一个外角也相等，

由于外角和是360。，

所以每一个外角为综

=36°,

故选：D.

5.下列运算正确的是（)

A.。2.06=08B.(-2a)3=6/

C.2(a+b)=2a+bD.2a+3b=5ab

［角军答］解：A.Q2・Q6=Q8,故本选项符合题意;

5.（-2a）3=-8a3,故本选项不合题意;

C.2(a+6)=2a+26,故本选项不合题意；

D.2a和36不是同类项，不能合并，故本选项不合题意.

故选：A.

6.下列命题中，为假命题的是()

A.两组邻边分别相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如CB=CD,但45WC3的四边

形，故选项”中的命题是假命题，故选项/符合题意；

对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；

四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项D不符合题意；

故选：A.

7.如图，把线段经过平移得到线段CD,其中48的对应点分别为C,D.已知/(-1,0),B

(-2,3),C(2,1),则点。的坐标为()

D

4一1,0)01

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

【解答】解：(-1,0)的对应点C的坐标为(2,1),

二平移规律为横坐标加3,纵坐标加1,

■:点B(-2,3)的对应点为D,

：.D的坐标为(1,4).

故选：A.

8.如图，四边形48co是菱形，/C=24,BD=10,DHLAB于点、H,则线段D”的长为()

A14013.r;「120八13

A.----BR.---A/3C.-----D.----

132v132

【解答】解：：四边形/BCD是菱形，NC=24,BD=IO,

•'•S菱形A8C0=-^XACXBD=120,/O=12,OD=5,ACLBD,

・・・AD=AB=^/52+122=13,

9：DH_LAB,

：.AOXBD=DHXAB,

・•・12X10=13X0”,

：.DH=^-

13

故选：C.

9.胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造.根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，

每天修建的公路比原计划增加了40%,结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下

面所列方程中正确的是()

A7000—700070007000「

.x，u-(l+40%)B.-

XX(l-40%)x“

「7000广700070007000「

D.■(l-40%)xU

'x"-(l+40%)xX

【解答】解：若设原计划每天修建x米，则实际每天修建(1+40%)x米,

依题意得：卫效7000

x(1+40%)x

故选：C.

10.如图1,在RtA^C中，动点P从/点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s,其中BP

长与运动时间r(单位：s)的关系如图2,则/C的长为()

D.573

【解答】解：由图象可知：f=0时，点尸与点Z重合,

：.AB=15,

・,•点尸从点Z运动到点所需的时间为154-2=7.5(s)；

・••点P从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4(s),

A5C=2X4=8；

在RtZUBC中，由勾股定理可得/C=17；

故选C.

二.填空题(共5小题)

11.分解因式：层-1=(a+1)(〃-1).

【解答】解：a2-1=(Q+1)(a-1).

故答案为：(〃+1)(a-1).

12.若方程f-%-1=0的一个根是m,则代数式m2-m+5=6

【解答】解：把工=加代入炉-%-1=0,得

m2-m-1=0,

m2-m—1,

・••代数式加之-m+5=1+5=6.

故答案为：6.

13.已知一元二次方程/+6x+加=0有两个相等的实数根，则m的值为9.

【解答】解：・・,一元二次方程炉+6什加=0有两个相等的实数根，

A=62-4m=0,

・••加=9.

故答案为：9.

14.如图，已知,N5=60°,AB=8,将沿5C方向平移7个单位长

度得到则图中四边形ACED的面积为20、万.

AZBAC=30°,

'：AB=S,

：.BC^—AB=4,

2

二"。=VAB2-BC2=4,底

•：将△ABC沿8c方向平移7个单位长度得到

：.AD=BE=1,AD//BE,

:.CE=3,

二图中四边形/CEO的面积=/X(7+3)义4正=20娟，

故答案为：20a.

15.如图，在△ZBC中，NC=90°,/C=4,8C=8,点尸是边上的一个动点(异于/、8两点),

过点尸分别作NC、8c边的垂线，垂足分别为/、N,则的最小值是乎*.

一5一

在△/BC中，N/C3=90。,AC=4,8c=8,

AB=VAC2+BC2=V42+82=475，

,：PMA.AC,PN±BC,

：.ZPMC=NPNC=ZACB=9Q°,

二四边形PMCN是矩形，

：.MN=PC,

当尸CL45时，PC的值最小，即MN的值最小，

.p^.AC'BC4X8875

AB4V55

.•.MN最小值是

5

故答案为：平.

5

三.解答题(共55分)

2Y+2T+1

16.先化简，再求值：(。—+1)+’----，其中'=4.

xJ-1x-2x+l

【解答】解：原式=(等_+4±).(x-l)2

2

X-1X-1x+1

2

_x+2x+l._(xz12i

X2-1x+1

=(x+1)2.(x-l)2

(x+1)(x-1)x+1

=x-1,

当x=4时，原式=4-1=3.

17.解方程：(1)4x2=12x；

(2)/+4%+3=0；

(3)x2-4x-6=0；

(4)3x2-4x-2=0.

【解答】解：(1)4x2=12x,

4x2-12x=0,

4x(x-3)=0,

4x=0或x-3=0,

所以xi=0,垃=3；

(2)/+4工+3=0,

(x+3)(x+1)=0,

x+3=0或x+1=0,

所以羽=-3,X2=-1.

(3)x2-4x-6=0,

X2-41+4=10,

(x-2)』10,

x-2=±77O)

所以XI=2+J73，X2=2-A/10；

(4)3x2-4x-2=0,

Q=3,b=-4,c=-2,

A=b2-4ac=(-4)2-4X3X(-2)=40>0,

L4±V40_2±V10

X，

63

_2+V10_2-A/W

Xr1----------,Xr2-----------；

33

18.如图，在一块长92根、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面

积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

60

I

【解答】解：设水渠的宽度为XM,由题意得：

(92-2x)(60-x)=885X6.

解得xi=105(不含题意，舍去)，X2=l.

.".x=1.

答：水渠的宽度为1礼

19.如图，在边长为1的正方形网格中，△/3C的顶点均在格点上.

(1)画出△48C绕C点顺时针旋转90°得到的△48C,直接写出4的坐标为(2,0)

(2)若和△4BC,关于原点O成中心对称，请画出△/252C2；

(3)在(1)的旋转过程中，求C/扫过图形的面积.

r

【解答】解：（1）如图，△43C为所作，点出的坐标为（2,0）；

故答案为：（2,0）；

（2）略；

（3）因为CA=+g2=3-^2,

所以CA扫过图形的面积=90*7Tx（3点）4=得兀.

3602

20.应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每

个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%,用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元

购进的乙种书柜的数量少5台.

（1）求甲、乙两种书柜的进价；

（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请

您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为Llx元，

根据题意得，膂_+5=a_,

1.lxx

解得x=300,

经检验，x=300是原方程的根，

300X1.1=330（元）.

故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；

（2）设购进甲种书柜打个，则购进乙种书柜（60-切）个，购进两种书柜的总成本为了元，根据题意

得，

fy=330m+300（60-m）

160-m42m

解得y=30加+18000（加220）,

.左=30>0,

二了随x的增大而增大，

当加=20时，y=18600（元）.

故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元.

21.如图，在口48。>中，线段/C的垂直平分线交ZC于O,分别交3C,4D于E,F,连接ZE,CF.

（1）证明：四边形/ECF是菱形；

（2）在（1）的条件下，如果/B=30°,AE=3,求四边形/ECF的面积.

【解答】(1)证明：•••四边形/3CO是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZOAF=ZOCE,

'：EF是线段AC的垂直平分线，

：.OA^OC,EFA.AC,

，Z0AF=Z0CE

在尸和