杭外考试试题全览及答案详情

杭外考试试题全览及答案详情考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。1.已知集合A={x|1<x<4},B={x|x^2-5x+4<0},则A∩B等于(A){x|1<x<4}(B){x|2<x<3}(C){x|1<x<2}(D){x|3<x<4}2.若复数z满足(z-1)/(i-1)是实数，且z的实部与虚部互为相反数，则z等于(A)1+i(B)1-i(C)-1+i(D)-1-i3.函数f(x)=sin(2x)+√3cos(2x)的图像关于直线x=π/6对称，则f(x)的最小正周期为(A)π/2(B)π(C)3π/2(D)2π4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a=3,b=√7,C=π/3，则cosB等于(A)1/2(B)√3/2(C)1/4(D)3/45.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x，则g(x)在区间[-1,3]上的最小值是(A)-2(B)-1(C)0(D)16.不等式|log_2(x-1)|>1的解集是(A)(0,2)∪(4,+∞)(B)(2,4)(C)(-∞,1)∪(3,+∞)(D)(-∞,1)∪(3,4)7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1)，则数列{a_n}的通项公式a_n等于(A)2^n-1(B)2^n-1/2(C)2^(n-1)-1/2(D)2^(n-1)-18.在直角坐标系xOy中，点A(1,2)，点B在直线l:x-y+1=0上运动，则|AB|的最小值为(A)1(B)√2(C)√5(D)√109.圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是(A)(2,-3)(B)(2,3)(C)(-2,-3)(D)(-2,3)10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x。则当x<0时，f(x)等于(A)x^2+2x(B)-x^2+2x(C)x^2-2x(D)-x^2-2x二、多项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分。11.下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(A)y=x^3(B)y=1/x(C)y=|sinx|(D)y=ln(x^2)12.在等差数列{a_n}中，若a_5=10,a_10=25，则下列结论正确的是(A)数列的公差d=3(B)数列的首项a_1=1(C)a_15=40(D)S_20=25013.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则(A)a=e(B)f(x)在x=1处取得极大值(C)f(x)在x=1处取得极小值(D)f(x)在x=1处既不取得极大值也不取得极小值14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若f(A)=cos^2(A/2)-sin^2(A/2)，则f(A)的值(A)可能小于0(B)可能等于0(C)可能大于1(D)一定在[-1,1]之间15.执行以下程序段后，变量S的值是i=1;S=0;WHILEi<=5DOS=S+i;i=i+2;ENDWHILE(A)3(B)8(C)15(D)27三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。16.若x=2+√3是方程x^2-ax+1=0的一个根，则实数a的值为______.17.在一个密闭的容器中装有氧气和氩气（可视为单原子分子），它们的总压强为1.01×10^5Pa，温度为27℃。若氧气的密度为1.43kg/m^3，则氩气的密度约为______kg/m^3（保留两位有效数字）.18.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和大于8的概率为______.19.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图像在x=π/4处取得一个最高点，且周期为π，则φ等于______.20.已知直线l过点(1,2)，且与直线x-2y+1=0垂直，则直线l的方程为______.四、解答题（本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21.（本小题满分8分）已知函数f(x)=√(x+1)-ax+1.(1)若f(x)在区间[-1,1]上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若a=1，解不等式f(x)<0.22.（本小题满分9分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=√3,b=2,sinA=√3/2.(1)求角B的大小；(2)求边c的长度及△ABC的面积.23.（本小题满分9分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1,(n+1)S_n=na_{n+1}(n≥1).(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)求数列{a_n}/n^2的前n项和T_n.24.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)证明不等式x^3-3x^2+2x≥x-1对所有实数x都成立.25.（本小题满分10分）过点P(1,0)的直线l与圆C:x^2+y^2-4x+3=0相交于A、B两点，且|PA|=|PB|.(1)求直线l的方程；(2)求△APB的面积.26.（本小题满分9分）定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2sin(πx/2)，且f(0)=1.(1)求f(2023)的值；(2)讨论函数f(x)在区间[0,2π]上的单调性.试卷答案一、单项选择题1.B2.C3.B4.D5.A6.C7.A8.B9.B10.A二、多项选择题11.AB12.ACD13.AC14.AD15.B三、填空题16.417.1.4018.5/3619.-π/420.2x+y-4=0四、解答题21.解析：(1)f'(x)=1/(2√(x+1))-a.由题意，f'(x)≥0在[-1,1]上恒成立，即1/(2√(x+1))≥a对所有x∈[-1,1]成立。当x∈[-1,1]时，√(x+1)∈[0,√2]，1/(2√(x+1))∈[1/(2√2),+∞)。故a≤1/(2√2)。(2)当a=1时，f(x)=√(x+1)-x+1。令f(x)<0，即√(x+1)<x-1。平方得x+1<x^2-2x+1，即x^2-3x>0，解得x>3或x<0。又√(x+1)有意义需x≥-1，故不等式的解集为(-1,0)∪(3,+∞)。答案：(1)a≤1/(2√2)；(2)(-1,0)∪(3,+∞)。22.解析：(1)由sinA=√3/2且0<A<π，得A=π/3。由正弦定理a/sinA=b/sinB，得√3/(√3/2)=2/sinB，解得sinB=1。又0<B<π，故B=π/2。(2)由(1)知B=π/2，故C=π-A-B=π-π/3-π/2=π/6。由正弦定理a/sinA=c/sinC，得√3/(√3/2)=c/(1/2)，解得c=2。△ABC的面积S=1/2*ac*sinB=1/2*√3*2*(√3/2)=3/2。答案：(1)π/2；(2)c=2,面积=3/2。23.解析：(1)由(n+1)S_n=na_{n+1}得(n+1)S_n-nS_{n-1}=na_{n+1}-(n-1)a_n，即a_{n+1}=a_n。又a_1=1，故a_n=1对一切n∈N*成立。(2)T_n=∑_{i=1}^n(a_i/i^2)=∑_{i=1}^n(1/i^2)=1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2。利用公式∑_{i=1}^n1/i^2≈π^2/6-γ+1/(2n)-1/(2n^2)+O(1/n^3)（其中γ为欧拉-马歇罗尼常数），当n较大时，T_n≈π^2/6-γ。更精确地，T_n=π^2/6-γ+O(1/n)。答案：(1)a_n=1；(2)T_n=π^2/6-γ+O(1/n)。24.解析：(1)f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x)+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0，得x=1±√3/3。当x∈(-∞,1-√3/3)时，f'(x)>0；当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时，f'(x)<0；当x∈(1+√3/3,+∞)时，f'(x)>0。故f(x)在x=1-√3/3处取得极大值，在x=1+√3/3处取得极小值。(2)要证x^3-3x^2+2x≥x-1，即证x^3-3x^2+x+1≥0。令g(x)=x^3-3x^2+x+1，g'(x)=3x^2-6x+1。由(1)知g'(x)在x=1-√3/3处取得极大值(大于0)，在x=1+√3/3处取得极小值(小于0)。又g(1-√3/3)=0，故g(x)在(-∞,1+√3/3)上递增。当x∈(-∞,1+√3/3)时，g(x)≥g(1-√3/3)=0。又当x∈(1+√3/3,+∞)时，g'(x)>0，故g(x)在(1+√3/3,+∞)上递增，且g(x)也大于0。综上，对所有实数x，g(x)≥0，即原不等式成立。答案：(1)极大值点x=1-√3/3，极小值点x=1+√3/3；(2)证毕。25.解析：(1)圆C:(x-2)^2+y^2=1，圆心C(2,0)，半径r=1。若直线l的斜率不存在，则l为垂直于x轴的直线x=1，此时|PA|=|PB|=1，满足条件。若直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k(x-1)。由|PA|=|PB|，知点P(1,0)是线段AB的中点。设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=2,y1+y2=0。将直线方程代入圆方程，得(x-1)^2+k^2(x-1)^2=1，即(1+k^2)(x-1)^2=1。解得x=1±√(1+k^2)/√(1+k^2)=1±1。故x1=2,x2=0。对应的y1=k(2-1)=k,y2=k(0-1)=-k。此时A(2,k),B(0,-k)。直线l过A(2,k)和P(1,0)，斜率k=(k-0)/(2-1)=k。这与k为直线l的斜率一致，但需要验证直线是否经过B(0,-k)。将B(0,-k)代入直线方程y=k(x-1)，得-k=k(0-1)，即-k=-k，恒成立。故直线l总过B(0,-k)。综上，直线l的方程为x=1或y=0。(2)当直线l方程为x=1时，A(1,√3),B(1,-√3)，|AB|=2√3。△APB的高为1（垂直于x=1），面积S=1/2*2√3*1=√3。当直线l方程为y=0时，A(2,1),B(0,1)，|AB|=2。△APB的高为1（垂直于y=0），面积S=1/2*2*1=1。故△APB的面积为√3或1。答案：(1)x=1或y=0；(2)√3或1。26.解析：(1)f(1)=f(0)+2sin(π*0/2)=f(0)+0=1。f(2)=f(1)+2sin(π*1/2)=1+2=3。f(3)=f(2)+2sin(π*2/2)=3+2=5。f(4)=f(3)+2sin(π*3/2)=5-2=3。f(5)=f(4)+2sin(π*4/2)=3+0=3。f(6)=f(5)+2sin(π*5/2)=3+2=5。f(7)=f(6)+2sin(π*6/2)=5-2=3。观察到f(x)以6为周期。2023=336*6+1，故f(2023)=f(1)=1。(2)当x∈[0,π/2)时，f(x+π/2)=f(x)+2sin(π(x+π/2)/2)=f(x)+2sin(πx+π/2)=f(x)+2cos(πx)。f'(x)=f'(x+π/2)-2cos(πx)=-2cos(πx+π/2)-2cos(πx)=2sin(πx)+2sin(πx)=4sin(πx)≥0。故f(x)在[0,π/2)上单调递增。当x∈[π/2,3π/2)时，f(x+π/2)=f(x)+2sin(π(x+π/2)/2)=f(x)+2sin(πx+π/2)=f(x)+2cos(πx)。f'(x)=f'(x+π/2)-2cos(πx)=-2cos(πx+π/2)-2cos(πx)=-(-2sin(πx))-2cos(πx)=2sin(πx)-2cos(πx)=2√2sin(πx-π/4)。令f'(x)=0，得sin(πx-π/4)=0，即πx-π/4=kπ，x=1/4+k。在[π/2,3π/2)上，x=1/4+1=5/4,1/4+2=9/4。检查导数符号：在(π/2,5/4)，sin(πx-π/4)<0；在(5/4,9/4)，sin(πx-π/4)>0；在(9/4,3π/2)，sin(πx-π/4)<0。故f(x)在(π/2,5/4)上单调递减，在(5/4,9/