浙江省杭州地区含周边重点中学2025届高三数学上学期期中试题

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2025届高三数学上学期期中试题

一、选择题：

1、已知全集U=R,M={x[—N={y|y<0},则M(QN)=()

A,(-1,0)B,(-1,0]c,(0,1)D,[0,1)

2、若函数/(%)=sina)x的最小正周期为万，则正数q的值是()

A,-B、1C、2D、4

2

3、已知都是实数，那么“log2a>log26”是“右'>6”的()

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分

也不必要条件

4、欧拉公式*=cosx+%sinx(z•为虚数单位)是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数

函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有特别

重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式可知，e2’表示的复数在复平面中位于

()

A、第一象限B、其次象限C、第三象限D、第四象限

6、若函数/(x)=sinx+cosx在[一。,仅|上是增函数，则正数。的最大值是()

7171Z

A、—B、—C、-71D、71

424

7、已知函数/(x)=ax+x-b的零点九。£(孔,H+1)(/2£Z),其中常a,b[两意

2019〃=2020,2020"=2019,贝!)整数〃的值是()

A、-2B、-1C、1D、2

8、若关于X的不等式—/+x+m+22|l—x|的解集中有2个整数，则实数加的取值范围

是（）

A>—2<m<lB>—2<m<lC>—l<m<lD、

—1<m<1

9、设。==e）-e，,贝|（）

A、a<b<cB、b<c<aC、c<b<aD、

b<a<c

13

10、设。是AABC的外心，满意CO=%CA+（。。氏«£尺），若IAB1=4,则AABC

24

面积的最大值是（）

A、4B、4A/3C、8D、16

二、填空题

11、已知向量a=(-L,2)力=(41),贝/a|=,若a/妨，则2=.

12、已知角a的终边经过点P(-1,V3),则tana=

sin（乃+a）con（a-

log,>0

13、已知函数/(%)=《，则

2",%<0

/(-log23)=,若/(%)=2,则实数x的值是.

14、如右图，四边形A5CO中，分别是以AD和

为底的等腰三角形，其中AD=L3C=4,NAD8=NCO3,则

cosZ.CDB=,AC=.

15、设4>1,曲线/(X)=优与曲线g(x)=log〃x有且仅有一个公共点，则实数〃的值是

16设向量a,b,c,e是单位向量且〃+。+。=0,则

3—e)•S_e)+3-e)•(c-e)+(。_£)•(〃_e)=.

17、若a为实数，对随意左£［一11］,当%£(0,4］时，不等式61n%+/一9芯+〃4区恒成立，

则。的最大值是.

三、解答题：

18、设夕：x|x-l区2,:x2-(3m-l)x-3m<0.

(1)解不等式：x\x-l\<2；

(2)若〃是q成立的必要不充分条件，求机的取值范围.

19、在AABC中，a,Z?,c分别为角A_B,C所对的边的长.acos5=4bcosA且cosA=1.

7

(1)求角B的值；

(2)若a=8,求AABC的面积.

20>已知函数/(%)=%+'—2.

x

(1)若不等式/(2兀)-左.2左20在［-1,1］上有解，求左的取值范围;

2k

(2)若方程/(|2、一1|)+-3左=0有三个不同的实数解，求实数上的取值范围.

12'-1|

21>已知平面对量a,b,且〃•/?=().

(1)若|a|=|A|=2,平面对量c满意|c+〃+Z?|二l,求|c|的最大值；

(2)若平面对量c满意|c-a|=3,\c-b\=lf1<|c|<^,求|0一〃一/?|的取值范围.

22、设.a,b邑R,已知函数/(%)=alnx,g(%)=%2+bx+b.

(1)设歹(x)=曳学,求尸(龙)在［a,2a］上的最大值M(a)；

a

(2)设G(x)=/(九)+g(x),若g(九)的极大值恒小于0,求证：a-^-b<e4.

2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

12345678910

DCABBABCDD

二、填空题(本大题共7小题*多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.^5,—12.~y/3,—

24

13.-,914.2n

34

-3

15.16.-17.7

2

18.解:

(I)当xWO,不等式显然成立.......................................................1分

当xNl时，不等式可化为/一%一2〈0=>-14、42,即1V«2.........................................2分

当x<l时，不等式可化为/一工+220恒成立...................................2分

综上，不等式的解集为{x\x<2}.............................................................................................2分

(II)由⑴知，令p的解集为4即力二口|xV2},逆解集为从由题意知5=4...........2分

方程%?-(36-1)工-3m=0的两根为・1和3加

当-1=3加时，即加=一；,8=0,6q4显然成立...............................1分

当・1>3加时，即机<一!，8={工|3加<不<一1},81才显然成立..................1分

当・1<3〃?时，即/w>-g,B=卜|一1<x<3加｝，要使3q4成立

...........2分

12

则37n42,即—m<—

33

2

综上机...........................................1分

3

19.解：

(I),/a-cosB=4b'cosA,sinAcosB=4sinScosA......................................2分

B|Jtan5=-tan/1,XcosA=—,:.lmA=4A/3................................................................2分

47

/.tanB=出..................................................................1分

YtanB>0B为锐角...........................................................................................................1分

5=-1分

3

(II)\ABC^A=L则sin4=生^..............................................2分

77

sinC=s\n(A+8)=sinAcosB+cos/sinB=...............................................................2分

根据正弦定理‘一=，一nc=5........................................................................................2分

sinCsinA

=-«csinfi=--5-8—=105/3.....................................................................................2分

JXIOC222V

20.解:

112

(I)原式=2'+——2-kT>0^>k<--——+1.....................................................2分

2'(2')22'

=—G[-,2],贝IJ左4/-27+1........................................................................................2分

2*2

2

令g«)=r—2，+1,8(。£[0/],,「左£耳«)有解，.・.左与8(/)1^.................................................2分

・・・E............................................................................................................................1分

1Dk

(II)原式可化为0-1|+-----------2+—--------3%=0..............................................................2分

|2X-1||2X-1|

令f，2'-l|(f>0),原式可化为f+1-2+?-3左=0tjI

口『-(3%+2),+24+1=0.........................................3分__________/

若原方程有三个不同的实数解，等价于方程sy>

「一(3左+2»+2左+1=0的两根分另IJ位于(0,1)和(1,+00)之间

令g«)=/-(3左+2)f+2A'+1......................................1分

k>~^,.-k>0

g(0)>0_

只需分

g⑴<0=.................................................................................2

%>0

21.解：

(I)法一(酌情给分)，几何法

(二一7)|=1的儿何意义如图

鬲的最大值为|。例+1=26+1.....................7分

法二，建系......................................1分

设]=苏=(2,0)石=OB=(0,2),c=OC=(x,y),

贝!J|c+〃+E|=1=>(x+2)2+(y+2)2=1..............3分

E1="77"的最大值等价于(0,0)到(-2,-2)的距离加半径

所以[曰=2应+1...........................................................................................................3分

(II)法一，坐标法：设。=(凡0)花=(0,b),c=(x,y).........................................................1分

(x—a)2+炉=9

依题意得卜+a—by=i....................................................................................................3分

l<x2+y2<5

1W1—(y-b)~+9-(x-d)~W5......................2分

5<(x-a)2+(y-b)2<9\c-a-b\=yl(x-a)2+(y-b)2G[>/5,3]..........................2分

法二，几何法(酌情给分)

TTI

设=c—a—b

如图片+W2=12+3\W1<C2<5

贝I」加=10-ce[5,9]

.•.而以6,3],即二一)一坂口正,3]

22.解:

(I)解法一：由题知。>0,且尸(x)=L(l+lnx).......................................................1分

a

当0<x<L时，尸，(x)<0；当x>1时，尸。)>0,

ee

从而F(x)的单调递增区间是d,+8),递减区间是(0」)...........................1分

ee

(1)^2a<-,BPa<—=F(a)=lna；.........................................................................1分

e2e

(2)当时，尸(x)a=E(2a)=21n2a；........................................................................1分

(3)当=max{尸(2a),尸(a)},XF(2a)-F(a)=In4a2-Ina=In4a；

若!vac1时，F(2a)>F(a),^(x)^=F(2a)=2In2a；..............................................2分

4e

若时，尸(24)42〃)，所以尸(初皿=F(a)=lna;

2e4

Ina0<a<—

综上尸(X)a=<:..............................................................1分

2In2aa>—

4

解法二：由题知a>0,尸(x)=」(l+lnx),当0<x<1时，尸(x)<0；

当x>L时，尸(x)>0，从而尸(x)的单调递增区间是d,+oo)，递减区间是(0」)…2分

eee

从而，F(x)max=max{尸(2a),尸(a)}».......................................................2分

于是尸(2Q)-尸(a)=1114/-Ina=In4a；

当•>,时,F(2a)>F(a)，所以尸(x)1ml=尸(2a)=2In2a；........................2分

4

当0<。V1时,尸(2a)<F(a)，所以F(x)mm=F(a)=Ina；

1

ao<<

In4-

综上所得如)皿=