人教版八年级上册期中数学试卷（解析版）

第一学期人教版八年级数学期中模拟卷一

（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（共30分）

1.如图，在A45c中，乙4=80。，乙43c与乙4的平分线交于点4,得乙4”乙415c

与乙%CD的平分线相交于点也，得乙色，…，乙135c与乙13。的平分线相交于点4,

得乙44,则乙44的度数为（）

C.15°D.20°

【答案】A

【分析】

根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知

Z4=；4=Jx80。，Z4=g/4=：x80。，…，依此类推可知4的度数

【详解】

解：••・N48C与NNCD的平分线交于点4，

Z4=180。-工N/CD-ZACB--NABC,

122

=180°-1（ZABC+ZA）-（180°-ZA-ZABC）-1NABC,

=-ZA=-xS0°=40°,

22

同理可得，幺=*4=品80。=20。，

二幺=A-X80°=5°.

故选：A.

【点睛】

本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查

了角平分线的定义.解答的关键是掌握外角和内角的关系.

2.一个三角形的三个外角之比为5:2:5,则这个三角形是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或

直角三角形

【答案】A

【分析】

根据三角形的外角和等于360。求出三个外角，再求出三个内角，即可得出答案.

【详解】

解：•••三角形的三个外角之比为5：2：5,

二三角形的三个外角的度数为：150。，60°,150°,

三角形对应的内角度数为30。，120。，30°,

此三角形是等腰三角形，

故选4

【点睛】

本题考查了三角形的外角和定理，解此题的关键是求出各个内角的度数.

3.如图G是2U3C的重心，直线过4点与5c平行.若直线CG分别与46、交于〃、

E两点，直线3G与4C交于尸点，则A4EO的面积：四边形NOG产的面积=()

£

A.1：2B.2：1C.2：3D.3：2

【答案】D

【分析】

根据重心的概念得出。，尸分别是三角形边的中点.若设ZU5C的面积是2,贝必BCD

的面积和A8C尸的面积都是1.又因为8G：GF=CG：GD,可求得ACG尸的面积.则

四边形/OG尸的面积也可求出.根据/“可以证明△/£>£三AftDC,贝必40£的面积是

1.则△4E®的面积：四边形NOG尸的面积可求.

【详解】

解：设三角形N2C的面积是2,

.••三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1,

■BG：GF=CG：GD=2,

三角形CGF的面积是§,

1?

二四边形ADGF的面积是2-1-j=—,

ZEAD=ZCBD,

BD=AD,ZADE=NBDC,

■：LADE=LBDCU&4)

.MADE的面积是1

2

・•・△/ED的面积：四边形40G尸的面积=1：-=3：2.

故选：D.

【点睛】

此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点

的距离是它到对边中点的距离的2倍.

4.如图，在VZ8C中，ZB/C和乙48c的平分线NE、/相交于点。，AE交BC于E,

BF交AC于F,过点。作。。八8。于。，下列四个结论：

(T)ZAOB=90°+ZC；

②当/C=60°时，AF+BE=AB；

③若OD=a,AB+BC+CA=2b,贝！|Sy.c=仍.

其中正确的是()

A.①②B.②③C.①②③D.①③

【答案】B

【分析】

由角平分线的定义结合三角形内角和可判定①，在上取一点“，使BH=BE,进而

可证AHBOmAEBO,则有N5O〃=N8OE=60。，再证得△四。三△"O,得至U4〃=/尸，进

而可判定②，作OGUC于G,0MU3于M,根据三角形的面积可判定③.

【详解】

解：rNB/C和448c的平分线ZE、&尸相交于点0,

・•.AOBA=|ZABC,ZOAB=|ABAC,

ZAOB=180°-AOBA-NOAB=180。—；(/ABC+ABAC)=180°-1(180°-ZC)=90°+1ZC

,故①错误；

VZC=60°,

ZABC+ABAC=120°f

1.NOBA+ZOAB=+ZSAC)=60°,

••.405=120。,

；,/BOE=/AOF=6。。,

如图，在上取一点“，使BH=BE,

・；BF是UBC的角平分线，

/.ZHBO=ZEBO,

,-OB=OB,

••△HBOz^EBO(SAS),

・•./BOH=/BOE=60°,

・•.AHOA=ZBOA-/BOH=60°,

・•.ZAOH=ZAOF,

AHAO=ZFAO,AO=AO,

••△HAO三AFAOCASA),

AH=AF,

■-AB=AH+BH=AF+BE,故②正确；

作OGL4C于G,OML4B于M,如图所示:

•.•Zft4c和的平分线NE、8尸相交于点0,

.•・点。在NC的平分线上，

OG=OD=OM=a,

..SyABC=-AB-0M+^BC-OD+^AC-0G=^AB+BC+AC）a=ab,故③正确；

故选B.

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性

质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

5.如图，是V/5C的边8c上的中线，/2=7,/。=5,则NC的取值范围为（）

B

D

A.5</C<15B.3</C<15C.3<NC<17D.5</C<17

【答案】C

【分析】

延长/。至点E,使DE=4D=5,连接CE,证明V4BD0VECD,可得CE=4B=7,

然后运用三角形三边关系可得结果.

【详解】

如图，延长/£1至点E,使DE=/D=5,连接CE.

•••4D为V48C的8c边上的中线,

：.BD=CD,

AD=ED,

在AABD和VECD中，<ZADB=ZEDC,

BD=CD,

.•.V4BDAECD(SAS),

CE=AB=1.

在V/CE中，AE-EC<AC<AE+CE,

即5+5-7</C<5+5+7,

3<T1C<17,

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角

形是解题的关键.

6.如图，AD1AB,AE±AC,AD=AB,AE=AC,则下列各式正确的是()

n

A.AABDACEB.MADF^IAEGC.YBMF-CMG

D.△ZDC丝△48E

【答案】D

【分析】

通过AEVAC,得至+=+得到

NDAC=NB4E,即可得解；

【详解】

ADAB,AEVAC,

：.ADAB=ZEAC=90°,

；./DAB+ABAC=ZEAC+ABAC,

即ZDAC=/BAE,

AD=AB

在YADC和AABE中，＜NDAC=ZBAE,

AC=AE

.-.\JADC^MABEKAS).

故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角形的全等判定，准确分析判断是解题的关键.

7.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【分析】

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

这个图形叫做轴对称图形进行分析即可.

【详解】

解：/、不是轴对称图形，符合题意;

B,是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

。、是轴对称图形，不合题意.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.

8.如图，在A4BC中，NBAC、N8C/的平分线交于点尸，若乙8=40。,

BC=AP+AC,则NB/C的大小是()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】

在C8上取CE=/C,连接8P,则8P是乙48c的角平分线，得到

ZPBC=ZPBA=-ZABC=20°,证明A/C尸三AECP,AP=EP,乙CAP"CEP,1艮据

2

BC=AP+AC,BC=BE+CE,得至lj8E=EP=/尸贝IJZE8P=NBPE=20。，再由三角形外角的性

质求得乙CAP=4CEP=LEBP+4BPE=40。,再根据角平分线的定义求解即可.

【详解】

解：如图所示，在C8上取CE=/C,连接2P,则族是乙42C的角平分线，

ZPBC=ZPBA=ZABC=2Q°,

2

・••PC是乙4cB的角平分线，

.-.AACP=AECP,

在和ZkECP中

AC=EC

<ZACP=ZECP,

EC=EC

••△ACPWAECP（弘S）,

；.AP=EP,乙CAP=^CEP,

-BC=AP+AC,BC=BE+CE,

；.BE=EP=AP

."BP=〃PE=20。,

：.£.CAP=£.CEP=Z.EBP+Z-BPE=^°,

•；AP平分

尸=80。，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角

形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20。，则顶角的度数为（）

A.70°B.55°C.110°D.70°或110°

【答案】D

【分析】

此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是钝角，等腰三角形的顶角是锐角，分别画出图

形进行求解即可.

【详解】

如图1

NACB=ZD+ZDAC=90°+20°=110°；

如图2

NABD=20°,故顶角//=90°-ZABD=90°-20°=70°.

故选D

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必

要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中.

10.如图，。是正V/8C内一点，OA=3,。8=4,OC=5,将线段3。以点8为旋转

中心逆时针旋转60。得到线段80',下列结论：①△80N可以由VBOC绕点3逆时针旋

转60°得到；②点。与。'的距离为4；③44。3=150°；④S四边形“BO=6+3人；⑤

S」℃+SAHOB=6+28•其中正确的结论是（）

/\/\AllJity|

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【答案】A

【分析】

证明△^。图三△BOC,又408。'=60。，所以4台。'/可以由AgOC绕点2逆时针旋转60。

得到，故结论①正确；由AOBO'是等边三角形，可知结论②正确；在△/。。'中，三边

长为3,4,5,这是一组勾股数，故A/O。'是直角三角形；进而求得乙408=150。，故

结论③）正确；S四边形HOBO'=Sv40<7+SvOBO,=6+46'故结论④错误；将A/OB绕点N逆时

针旋转60。，使得与/C重合，点。旋转至0"点.利用旋转变换构造等边三角形与

直角三角形，将SMOC+SA«OE转化为Svcroc+Sv«oo,，计算可得结论⑤正确.

【详解】

解：如图，

由题意可知，41+42=43+42=60。，

.,.zl=z3,

又•：OB=O'B,AB=BC,

■.^BO'A=^BOC,

又"OBO'=60°,

■■^BO'A可以由A80C绕点B逆时针旋转60。得到,

故结论①正确；

如图，连接。。'，

■：OB=O'B,且4。8。'=60°,

是等边三角形,

：.OO'=OB=4.

故结论②正确；

■：hBO'A^^BOC,

.•.O'A=5.

在A/。。'中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数,

・•・△/。。'是直角三角形，AAOO'=90°,

:&0B=/-AOO'+/.BOO'=90°+60°=150°,

故结论③正确;

Sm^A0B0'=SMAOO'+SWBO'=1x3x4+1x4x=6+473,故结论④错误;

如图，将A/03绕点/逆时针旋转60。，使得48与4C重合，点。旋转至。",

易知△N。。"是边长为3的等边三角形，小。。。〃是边长为3、4、5的直角三角形，则

22

4+1X3XV3-1.5=6+^,故结论

^MAOC+S^AOB=S四边物OCO"=*^VO*OC+^V.-fOO"=]'3X

24

⑤正确.

综上所述，正确的结论为：①②③⑤,

故选：A.

【点睛】

本题考查了旋转变换中等边三角形、直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理，判定

勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点，在判定结论⑤时，

将—03向不同方向旋转，体现了结论①至结论④解题思路的拓展应用.

二、填空题（共24分）

11.已知VNBC中，AB=AC,现将VN5C折叠，使点A、5两点重合，折痕所在的直

线与直线NC的夹角为20。，贝！JB8的度数为

【答案】55。或35。

【分析】

首先根据题意画出图形，当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1,由翻折的性质可知:

EF1AB,从而可求得乙4,然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得乙8；

当等腰三角形的顶角是钝角时，如图2,由翻折的性质可知：EFL4B,从而可求得

3AE,然后由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得48.

【详解】

当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1：

由翻折的性质可知：EFLAB,

••.乙4+乙4尸£=90。，

.­•Z^=90°-20°=70°.

■：AB=AC,

，乙B=LC.

:々B=；x(180°-ZJ)=55°；

当等腰三角形的顶角是钝角时，如图2：

由翻折的性质可知：EFLAB,

.^D+/LDAE=90°.

・・・。4万=90。-20°=70°,

-AB=AC,

，乙B=(C.

•:乙B+(C=(DAE,

:.乙B=34DAE=35°,

故答案为：55°或35°.

【点睛】

本题主要考查了翻折的性质、等腰三角形的性质；这里要分类讨论：分别就等腰三角形

的顶角是锐角和钝角两种情况进行讨论.

12.在A43C中，射线NG平分Za4C交5c于点G,点。在3c边上运动(不与点G

重合)，过点。作OEIRC交N5于点E,的角平分线所在直线交于点〃，交

射线4G于点尸，则与乙4FD之间的数量关系是

【答案】乙4FD=90°-

【分析】

利用角平分线的定义可得N8/尸乙HDB=三七EDB,由于。£||/C,贝叱£。3=

△C,可得AHDB=yZC；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得乙4//F=

Z.B+^HDB,在A4HF中,利用三角形的内角和定理列出关系式后整理即可得出结

论.

【详解】

解：•••/G平分NA4C,

；ZHAF=vABAC.

♦:DH平分AEDB,

：.UiDB=\z-EDB.

■■■DEWAC,

:•乙EDB—Z-C.

：；DB=kc.

・"HF为4HDB的外角，

.-.^AHF=^B+/LHDB.

在中，由三角形的内角和定理可得：

乙BAF+AAHF+ZAFD=180°.

■■.^BAC+AB+ZJJDB+^FD=1S0°.

.•.yZ^C+zS+yZC+ZJFD=18O°.

•••在ZU8C中，乙8/C+N8+NC=180。，

1乙BAC+|zC=90°-1z5.

.•-90°-1Z5+Z5+A4FZ)=180O.

■■.^B+AAFD=90°.

；.UFD=90°—g4B.

故答案为：乙4FD=9O°—g4B.

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理及其推论，角平分线的定义，平行线的性质.充分

利用三角形的内角和等于180。是解题的关键.

13.如图，在AS4BC中，ZABC=90。，AB=4,BC=3,点。是半径为2的。N上一

动点，点V是CZ＞的中点，则的最大值是

【分析】

如图，取/C的中点N,连接MN,BN,利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中

位线定理求出BN,MN,再利用三角形的三边关系即可解决问题.

【详解】

解：如图，取NC的中点N,连接MMBN,

•••在R/AN3C中，zJ3C=90°,4B=4,BC=3,

/.AC—J32+4?=5

15

-AN=NC=~AC=~,

22

15

^BN=-AC=-

22

•・•点M是CD的中点，

：.DM=MC,

，MN="D=I

：.BM<BN+NM9

57

，BM<—l~l=—,

一22

7

即8加■的最大值是Q.

【点睛】

本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

14.如图，V/8C中，。在/C边上，BD=CD,£在8c边上，AE=AB,过点£作

EF1BC,交/C于尸.若45=4,CE=6,则EF的长为.

【答案】2币

【分析】

在NC上截取4G=ED,连接EG,作GML3C于证明△4BD之△E/G（S4S）,

再根据全等三角形对应边相等的性质解得=EG=4,W=CM=3,在RtACMG中,

利用勾股定理解得GM=g,最后由平行线分线段成比例解题即可.

【详解】

解：在/C上截取4G=3。，连接EG,作GM,8c于〃，

F

必

BEMC

•・•AE=AB,BD=CD,

：・/C=NDBC,ZABE=/ABE,

又・••NAEB=NC+/EAC,ZABE=ZCBD+ZDBA,

；"ABD=NEAC,

在△/皿和4G中，

AB=AE

</BAE=NEAG,

BD=AG

.••△45。0△EZG(SZS),

所以40=EG=4,

'：AG=BD=DC,

AD=CG=GE=4

QGM1EC

:.EM=CM=3

在RtACMG中，GM=N甲-3。=近，

■：EF1BC,GMIBC,

.-.MG//EF,

：.GM=*F,：.EF=23,

故答案为：2币.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，是重要考点，掌

握相关知识是解题关键.

15.如图，在VZ8C中，AB=AC=2,ZB=ZC,BD=CE,尸是NC边上的中点，贝！I

AD-EF1.（填“>”“=”或“v”）

【答案】<

【分析】

连接/E,先证明△ND3空得出=根据三角形三边关系可得结果.

【详解】

如图，连接/E,

AB=AC,

在△ND8和V4EC中，,=/C,

BD=CE,

.-.VADB^VAEC(SAS),

AD=AE,

在V4E77中，AE-EF<AF,

•••AD—EF<AF,

・.•/是NC边上的中点，

.-.AF=-AC=1,

2

■.AD-EF<\,

故答案为：<.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟知全等三角形的判定定理与

性质是解题的关键.

16.等腰三角形的底边5c长为6,面积是21,腰N3的垂直平分线E厂分别交

AB,4c于点E、F,若点。为底边5c的中点，点M为线段E尸上一动点，则ABOM

的周长的最小值为一.

【答案】10

【分析】

如图，连接40,由题意点2关于直线所的对称点为点力,推出4D的长为

的最小值，进而即可求解.

【详解】

解：如图，连接ND,AM,

A

・・・△/8C是等腰三角形，点。是BC边的中点，

：.ADLBC,

・・・SAABC=y・BC・AD=yx6xZD=21,

：.AD=7,

,・,斯是线段的垂直平分线，

•••点B关于直线EF的对称点为点A,

：.BM+MD=AM^MD,即当/,M,。三点共线时，2M+M)的值最小，

■■AD的长为BM+MD的最小值，

•・.△3DM的周长最短为43+2Z)=4D+g2C=10,

故答案为：10.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关

键.

17.如图，在VN5C中，BA=BC,BH平分乙4BC,点尸，。分别是8〃和42上的

任意一点，连接。，设△/CD的面积为〃，PA+PD=m.

A

(1)当点P,“重合时，S“APD=•

(2)连接CD交BH于点E,则〃7CD(填“>”，“<”，

“=”，“2"或"”)；

【答案】；>

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质即可得解；

(2)连接尸C,根据垂直平分线的性质证明=△P"C,得到尸/=PC,得至U

m=PC+PD,再根据。、P、C的位置判断即可；

【详解】

(1)VBA=BC,BH平分乙4BC,

：.BH±AC,AH=CH,

当点尸,H重合时,S^pD=—S&ACD,

•••△ZCD的面积为，,

由（1）可得：^PHC=APHA=90°,

-：PH=PH,AH=CH,

■■/\PHA=^PHC,

；.PA=PC,

：.m=PA+PD=PC+PD,

当D、P、C三点共线时，PC+PD=DC,

当。、P、C三点不共线时，PC+PD>DC,

.■.m>CD；

故答案是：>.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、三线合一的性质、三角形三边关系、全等三角形的

判定与性质，准确计算是解题的关键.

18.如图1,是我们平时使用的等臂圆规，即C4=C2.若把“个相同规格的等臂圆规

的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：

。，。…根据上述规律请

N4G4=160N4c24=80°,ZA3C3A4^40°,/444=20°,

你写出ZAn+lAnCn=.（用含〃的代数式表示）

QAO

【答案】90。-7

【分析】

张角度数变化如下：/4。4=160°,乙你多4=80°,/4G4=40°,

/4。44=20°,…由此可以得到张角的度数变化规律为N4+C4=黑，再由三角形

内角和定理求解即可得到答案.

【详解】

解析：由张角度数变化可知顶角Z4,IQ4,="，

〃十+1nnryn-i

4+C=4,c„,

.•.Z4,+14,c„=zc„4,+14

...ZAn+lAnCn=fl80°-竺］+2=90。-丝.

n+1nnI2〃T)2〃T

故答案为：90。-萼.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，图形的变化规律，解题的关键

在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

三、解答题(共46分)

19.(本题8分)如图，将△/C3沿/C边翻折至△ZCD.

(1)求证：NBCD=2NBAC+2NB；

(2)延长D4至尸，延长3C交/。于E.求证：NBAF-NDCE=2NB；

(3)在(2)的条件下，延长CE至尸，连阳，连接。尸，并延长DP至G,作N8PG

的平分线交C4延长线于。，若NADG=2NADC,ZCQP=54°,ZECD=46°,求

ZFAB的度数.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)94°.

【分析】

(1)由翻折性质得到N8=NO,ABAC=ADAC,再三角形外角性质解题；

(2)由三角形外角性质解得44匹=c+7，NBAF=2a+y,再求角的差；

(3)延长DC至T,由角平分线的性质及三角形外角性质解得/0PC=g(3a+7),

Z2CP=1(180°-Z),再结合三角形内角和180。，得至|JN0CP+NQPC=126°,继而代

入计算解题

【详解】

解：（1）延长NC至K

■：MABC翻折至△/CD,

.•.设Z8=/D=a,NBAC=NDAC=0,

:"BCK=a+/3=4DCK,

:"BCD=2（a+夕）=2ZBAC+2NB.

A

（2）设乙DCE=y,则NNE5=a+7,

NBAF=1a+Y,

ZBAF-NDCE=2a=2/8.

（3）延长DC至T,由（1）知/BCK=NACP,

NDCE=NBCT,/ACT=ZACP,

・•・尸。平分/CPG,

・•・。是VC。尸两个外角平分线交点，

•・•/GPC是△尸DC的外角

:.Z.GPC=3a+y,

.•.NQPC=；(3a+7)①

•/ZTCD=2NQCP+7=180°,

...NQCP=；(180。-7)②

在△QCP中

180°-ZQCP-ZQPC=54°

...ZQCP+ZQPC=126°③

把①、②代入③得

1(3a+/)+1(180°-/)=126°,

=24°,

­.­/=46°,

2cr+/=94°,

.-.ZFAB=94°

答：NE48的度数是94。.

【点睛】

本题考查三角形的外角性质、角平分线性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点,

掌握相关知识是解题关键.

20.（本题8分）小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报

说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在

还余38元.”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了.”

（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；

（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本

的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24

元的书，请问：笔记本的单价为多少元？

【答案】（1）见解析；（2）6元

【分析】

（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书买了y本，根据总价=单价x数量，

结合购买两种书30本共花费（700-38）元，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解

之即可得出x,y的值，结合x,>的值为整数，即可得出小明搞错了；

（2）设单价为20元的书买了a本，则单价为24元的书买了（30-a）本，笔记本的单

价为6元，根据总价=单价x数量，即可得出关于a,6的二元一次方程，化简后可得出

0=14+s士，结合0<6<10,且a,6均为整数，可得出6=2或6,将6值代入a=

4

14+甲中可求出。值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定6值.

4

【详解】

解：（1）设20元的书买了x本，24元的书买了V本，由题意，得

（x+y=30刀/曰J%=14.5

[20x+24y=700-38；解得=15.5，

•••X,y的值为整数，故X,V的值不符合题意（只需求出一个即可）

••・小明搞错了；

（2）设20元的书买了。本，则24元的书买了（30-。）本，笔记本的单价为6元,

由题意，得：20。+24（30）+6=700-38,

b+582+Z）

化简得:a=-----=14+----

44

"=2或6.

当b=2,。=15,即20元的书买了15本，24元的书买了15本，不合题意舍去

当6=6,a=16,即20元的书买了16本，则24元的书买了14本

■■.b=6.

答：笔记本的价格为6元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准

等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

21.体题10分）在V4BC中，点尸为8c边中点，直线〃绕顶点A旋转，8加_1直线。

于点CNL直线。于点N,连接。收，PN.

（1）如图1,若点3,P在直线。的异侧，延长MP交CN于点、E.求证：

PM=PE.

（2）若直线“绕点A旋转到图2的位置时，点8,尸在直线。的同侧，其它条件不变,

此时工8必+工皈户=7,BM=1,CN=3,求肱V的长度.

(3)若过P点作PG1直线。于点G.试探究线段PG、8M和CN的关系.

备用图

【答案】。见解析；2)MN=7；8)线段尸G、3M和CN的位置关系为BM7/PG//CN,

数量关系为2PG=CN-BM或2PG=BM-CN或2PG=CN+BM

【分析】

(1)根据平行线的性质证得NMBP=NECP再根据BP=CP,NBPM=ZCPE即可得

到4BPM经△CPE,得至I]PM=PE.

(2)延长M尸与NC的延长线相交于点E.证明之△C7>E(/&4),推出BM=CE,

求出VM7VE的面积即可解决问题.

(3)位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线。与线段3P交于一点时,

当直线。与线段CP交于一点时，当直线。与线段CB的延长线交于一点时，当直线。与

线段8C的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式分别证

明即可解决问题.

【详解】

(1)证明：如图1,

C

图1

QM1直线。于点M,CN,直线。于点N,

ZBMA=ZCNM=90°,

BM//CN,

ZMBP=/ECP,

又・.・P为5C边中点，

/.BP=CP,

在48尸M和中，

/BPM=NCPE

<BP=CP,

ZMBP=/ECP

s.^BPM^Z^CPE(ASA),

/.PM=PE.

(2)解：如图2,延长MP与NC的延长线相交于点片,

Q3M_L直线。于点M,CN_L直线。于点N,

/BMN=ZCNM=90°,

/BMN+ZCNM=180°,

BM//CN,

/.Z.MBP=/ECP,

又・・•尸为BC中点,

...BP=CP,

又・.•ABPM=ZCPE,

・•.在丛BPM和&CPE中，

ZBPM=/CPE

<BP=CP,

ZMBP=ZECP

:./\BPM^Z\CPE(ASA),

PM=PE，BM=CE,S4BPM=S^CPE，

.=CN=3,

:.NE=CN+CE=CN+BM=49

•-c_i_c-7

,一BMP丁八CNP-'，

-S丛PNE=S^CPE+SACNP=S^BMP+SACNP=7,

*^AMVE=2s2PNE=14，

，-xJWx4=14,

2

:.MN=7.

(3)位置关系：BM//PG//CN,

数量关系：分四种情况讨论

直线。于点CN,直线。于点N,PG1直线。于点G,

：.BMHPGHCN,

①如图3,当直线。与线段交于一点时,

A

々4

c

/“图3

由（1）可知W=PE,

•c_c__Lq

••°APMN——PEN-2AMNE，

郎;《MN.PG=gNE.MN,

NE=2PG,

•••△BPM会/\CPE,

/.BM=CE,

,：NE=CN-CE,

2PG=CN-BM.

②当直线。与线段。尸交于一点时，

如图，延长"。交CN的延长线于点

QBMl直线。于点/，CN,直线。于点N,

/BMN=ZCNM=90°,

JBM//CN，

AMBP=ZECP,

又・・・。为边中点，

:.BP=CP,

在△瓦狎和中，

ZBPM=ZCPE

<BP=CP,

4MBp=4ECP

:.Z\BPM^^CPE(ASA),

/.PM=PE.

­c_c——

,,uAPMN-0^PEN-4MNE，

於LX=MN-PG=LNE・MN,

222

NE=2PG,

♦••△BPM名ACPE,

/.BM=CE,

・：NE=CE-CN,

2PG=BM-CN.

③如图4,当直线。与线段CB的延长线交于一点时.

由(2)得：YBPMQYCPE(ASA),

PM=PE,S&BPM-S&CPE,

—c—7c

S梯形5cMVf一°AMNE-乙24MNP，

即:（8M+CN）.TW=2XJTW.PG

.-.2PG=CN+BM.

④当直线。与线段C8的延长线交于一点时,

如图，延长M尸交NC的延长线于点E.

QAW，直线。于点“，CN，直线。于点N,

NBMN=ZCNM=90°,

ZBMN+ZCNM=180°,

BM//CN,

AMBP=NECP,

又为8c中点，

BP=CP,

又；ZBPM=NCPE,

.•.在丛BPM和&CPE中,

/BPM=ZCPE

<BP=CP

ZMBP=ZECP

:ABPM名ACPE(ASA),

：.PM=PE,S△BPM~S&CPE，

S梯形5CW=S^MNE=2s4MNP，

即:(2M+CN)-TW=2X；TW.PG,

2PG=CN+BM.

综上所述，线段尸G、四和CN的位置关系为的W7/PG//CN,数量关系为

2PG=CN-BM或2PG=BM-CN或2PG=CN+BM.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以及

三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形熟练运用全

等三角形的判定与性质.

22.(本题10分)如图，已知射线/"7/2N,C是射线8N上的一个动点(不与点8重

合)，D、£分别在射线上且满足/。平分/切C,/£平分NC4",过£作

EF//BA交AM于点、F.

(1)若/8=60。，求/D/E的度数；

2

(2)在(1)的条件下，点C在3N上运动，^ZAEF=-ZBDA,求此时NC/尸的大

小？

(3)若48=矶0。＜。＜90。)，当VR4c为直角三角形时，请直接写出乙4跖的度数.

【答案】(1)60°；(2)96°；(3)135°*a或135°-4

【分析】

(1)先推出乙8/〃=120。，根据角平分线的定义，可得乙CAM=24CAE,

进而即可求解；

22

(2)^BAD=x,由N4斯二§/瓦切，得/60。=](180°-x-60°),求解x的值，进而

即可求解；

(3)分两种情况：①当VA4C为直角三角形，乙&40=90。时，②