高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)1.4.1充分条件与必要条件导学案(原卷版+解析)

1.4.1充分条件与必要条件导学案【学习目标】1、了解命题的概念，会判断命题的真假；2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；3、会判断充分条件和必要条件（重点）．【自主学习】一．命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．二．充分条件与必要条件的概念命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p

qp

q条件关系p是q的

条件q是p的

条件p不是q的

条件q不是p的

条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．三．充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件；q是p的必要条件B⊆Aq是p的充分条件；p是q的必要条件【当堂达标基础练】1.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。若a=b，则ac=bc。（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。2.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。（5）若ac=bc，则a=b（6）若xy为无理数，则x，y为无理数【当堂达标提升练】一、单选题1．“a<b”是“a2<b2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件二、多选题3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（

）A． B．C． D．4．下列命题中是真命题的为（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“或”是“”的充要条件D．“集合”是“”的充分不必要条件5．下列命题是真命题的有（

）A．一次函数的图像一定经过点B．已知，则是的充要条件C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.D．若能被整除，那么都能被整除.三、填空题6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.四、解答题7．集合．(1)若，求；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．8．已知集合，．(1)当时，求，；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【当堂达标素养练】1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________.2．设集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.3.已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．6.设集合.（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.

1.4.1充分条件与必要条件导学案【学习目标】1、了解命题的概念，会判断命题的真假；2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；3、会判断充分条件和必要条件（重点）．【自主学习】一．命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．pq二．充分条件与必要条件的概念命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p

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q条件关系p是q的

条件q是p的

条件p不是q的

条件q不是p的

条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．⇒⇏充分必要充分必要解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．三．充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件；q是p的必要条件B⊆Aq是p的充分条件；p是q的必要条件【当堂达标基础练】1.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。若a=b，则ac=bc。（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。【解析】（1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。（3）这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。（4）由于(-1)2=1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。（5）由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件。（6）为无理数但是有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。2.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。（5）若ac=bc，则a=b（6）若xy为无理数，则x，y为无理数【解析】（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件。（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件。（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p⇏q，所以q不是p的必要条件。（4）显然p⇒q，所以q是p的必要条件。（5）由于，但，p⇏q，所以q不是p的必要条件。（6）由于为无理数，但不全是无理数，p⇏q，所以q不是p的必要条件。【当堂达标提升练】一、单选题1．“a<b”是“a2<b2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若，，则满足，不满足；由可得，不能推出，所以“a<b”是“a2<b2”的既不充分也不必要条件.2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】B【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件．二、多选题3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】取，，得，故A不是“，”的必要条件；由，，得，故B是“，”的必要条件；取，，得，故C不是“，”的必要条件；由，，得，故D是“，”的必要条件．4．下列命题中是真命题的为（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“或”是“”的充要条件D．“集合”是“”的充分不必要条件【答案】BD【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；对于B选项，不能得到，反之能够得到，故正确；对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.5．下列命题是真命题的有（

）A．一次函数的图像一定经过点B．已知，则是的充要条件C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.D．若能被整除，那么都能被整除.【答案】AC【详解】选项A，，令，则，与无关，故一次函数的图像一定经过点，正确；选项B，若，则，故是的充分不必要条件，错误；选项C，若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是直角三角形，正确；选项D，当时，能被整除，但不能被整除，错误.三、填空题6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.【答案】[0，1]【分析】由是的必要条件，则，即，从而可得答案.【详解】设集合由是的必要条件，则，即所以，解得故答案为：[0，1]四、解答题7．集合．(1)若，求；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)，；(2)(1)解：当时，，又，所以，；(2)解：因为是的必要条件，所以，即，所以有，解得，所以实数m的取值范围为.8．已知集合，．(1)当时，求，；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)，；(2)(1)．当时，所以，；(2)是的充分不必要条件∴A是B的真子集，故即所以实数m的取值范围是.【当堂达标素养练】1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：（1）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________.【答案】

此时，但，故；（2），若，则必有，所以；令，则，，此时，但，故；综上所述，；（3）若，则，则且，则且，则，故；若，则且，则且，则，则，故；综上所述，；（4）若，则，则或，则或，则，故；若，则或，则或，则，则，故；综上所述，；2．设集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可(1)由题意得：当时，故(2)由“”是“”的必要不充分条件可得：当时，得解得：；当时，，解得.综上，的取值范围为：3.已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)；(2)(1)当时，集合，因为，所以；(2)若选择①，则由A∪B＝B，得．当时，即，解得，此时，符合题意；当时，即，解得，所以，解得：；所以实数的取值范围是．若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；所以实数的取值范围是．4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AB，而集合，，因此，或，解得或，即有，所以实数a的取值范围为.5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【详解】选条件①，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，又，，则或，解得或，因此，，所以实数a的取值范围为.选条件②，因为“”是“”是必要不充分条件，则有，又，，则或，无解，所以不存在满足题意的实数a.选条件③，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，又，，所以或，无解，所以不存在满足题意的实数.6.设集合.（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.【详解】（1）设集合中的元素，，所以，因为，所以，，所