教师资格认定考试初级中学数学模拟题20

教师资格认定考试初级中学数学模拟题20一、单项选择题1.

函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是______

A.0＜f'(2)＜f'(3)＜f(3)-f(2)B.0＜f'(3)＜f(3)-f(2)＜f'(2)C.0＜f'(3)＜f'(2)＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜f'(2)＜f'(3)正确答案：B[解析]f'(2)，f'(3)是x分别为2，3时f(x)对应图象上过这两点的切线斜率，，所以f(3)-f(2)是图象上x为2和3时对应两点连线的斜率，又由图象可知f'(x)＞0且随x的增大而减小，故选B。

2.

变换的几何意义为______A.关于y轴的反射变换B.关于x轴的反射变换C.关于原点的反射变换D.以上都不对正确答案：B[解析]在坐标系xOy内，向量经过变换后变为，两向量关于x轴对称，所以这个变换为关于x轴的反射变换，故选B。

3.

已知命题P：，2x＞0，那么命题为______

A．，2x＜0

B．，2x＞0

C．，2x≤0

D．，2x≥0正确答案：C[解析]是对命题P的否定，而全称命题的否定是特称命题，故命题p：，2x＞0的否定为：，2x≤0。

4.

样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为。若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数为，其中，则m，n的大小关系为______A.n＜mB.n＞mC.n=mD.不能确定正确答案：A[解析]若n＞m，取，则由，得，与矛盾，又当时m=n时，，不满足条件，故n＜m。

5.

方程表示的曲面是______A.旋转双曲面B.旋转椭球面C.旋转抛物面D.椭圆抛物面正确答案：A[解析]方程所表示的曲面是可以由双曲线绕z轴旋转而成的旋转双曲面。故选A。

6.

若，则A.30mB.-15mC.6mD.-6m正确答案：D[解析]由题意知，故选D。

7.

发现著名公式eiθ=cosθ+isinθ的数学家是______A.莱布尼茨B.约翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.欧拉正确答案：D[解析]欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，e是自然对数底数，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。

8.

《义务教育数学课程标准》(2011年版)提出，“数感”感悟的埘象是______A.数与数量、数量关系、口算B.数与数量、数量关系、笔算C.数与数量、数量关系、简便运算D.数与数量、数量关系、运算结果估计正确答案：D[解析]数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)1.

设矩阵的全部特征值为1，1和-8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D。正确答案：解：当λ=1时，由(E-A)x=0，得x1=-2x2+2x3，取自由变量(x2，x3)T=(-1，0)T或(x2，x3)T=(0，1)T，

得A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=(2，-1，0)T，ξ2=(2，0，1)T。

经正交化，得γ1=ξ1=(2，-1，0)T，，

再经标准化得，

当λ=-8时，由(-8E-A)x=0，

得

取x3=-2，得A的属于特征值λ=-8的一个特征向量为，经单位化得，所求正交矩阵为，

对角矩阵

2.

罗尔定理：设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续，(2)在开区间(a，b)内可导，(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。正确答案：证明：因为f(x)在闭区间[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上一定有最大值M和最小值m。

①若M=m，则f(x)在[a，b]上是常数，f(x)=M，x∈[a，b]。从而f'(x)=0，因此，任取ξ∈(a，b)，都有f'(ξ)=0。

②若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f(a)，不妨设f(a)≠M，因此函数f(x)在(a，b)内某一点ξ处取得最大值M，下面证f'(ξ)=0：

由于f(x)在ξ处取得最大值M，所以不论Δx为正或为负，总有f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0，

当Δx＞0时，，

同理，当Δx＜0时，，，

根据题意，f(x)在ξ处可导，所以f'(ξ)=f'+(ξ)=f'-(ξ)=0。

综上，得证。

几何意义：设f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A，B处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧AB上至少有一点C(ξ，f'(ξ))，曲线在点C处有水平切线。

3.

求过z轴且与平面的夹角为的平面方程。正确答案：解：平面过z轴，则点O(0，0，0)是平面上的一点，平面的法向量为。

设所求平面的法向量为n=ai+bj+ck，则n·k=0，可得c=0，可设平面方程为ax+by=0，所求平面与已知平面的夹角等于，则，

解得a=-3b或，

所以所求平面方程为x+3y=0或3x-y=0。

4.

数学教师在对信息技术资源进行开发与利用时需要关注哪些方面?正确答案：信息技术资源的开发与利用需要关注以下三个方面：

(1)将信息技术作为教师从事数学教学实践与研究的辅助性工具。为此，教师可以通过网络查阅资料、下载富有参考价值的实例和课件，并加以改进，使之适用于自身课堂教学；可以根据需要开发音像资料，构建生动活泼的教学情境；还可以设计与制作有关的计算机软件、教学课件，用于课堂教学活动研究等。

(2)将信息技术作为学生从事数学学习活动的辅助性工具。为此，可以引导学生积极有效地将计算器、计算机用于数学学习活动之中。例如，在探究活动中借助计算器(机)处理复杂数据和图形，发现其中存在的数学规律；使用有效的数学软件绘制图形、呈现抽象对象的直观背景，加深对相关数学内容的理解；通过互联网搜寻解决问题所需要的信息资料，帮助自己找到解决问题的基本策略和方法等。

(3)将计算器等技术作为评价学生数学学习的辅助性工具。为此，应当积极开展基于计算器环境的评价方式与评价工具研究，如哪些试题或评价任务适宜在计算器环境下使用，哪些不适宜，等等。

5.

什么是空间观念?举例说明在教学中应该怎样培养学生的空间想象能力?正确答案：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

(1)让学生学好有关反映空间观念的课程内容和有关空间形式的数学基础知识，如三角形、平行四边形的概念、性质，等等；

(2)从学生的认知规律入手，通过实物或模型的观察、解剖、分析、制作等实践活动，形成空间观念，如平行四边形的判定，先做一个模型得到结论再利用定义和已学习过的知识去证明；

(3)培养学生的看图能力，教给学生正确的画图规律和方法，是培养学生的观察力和空间想象能力的主要途径之一，如对称图形的画法、全等图形的画法；

(4)通过平面图形折叠的教学培养学生的空间想象能力；

(5)通道变式学强化空间观念；

(6)通过对多面体和旋转体的侧面展开、组合、切割等来提高学生的空间想象能力；

(7)加强对几何体截面的教学，提高空间想象能力。

三、解答题(本大题共1小题，10分)设。1.

将f(x)的极大值M用a表示出来；正确答案：解：由题知，f'(x)=x2-a2，f"(x)=2x，令f'(x)=x2-a2=0，得x1=a，x2=-a，则f"(a)=2a，f"(-a)=-2a。

①当a＞0时，f"(-a)=-2a＜0，

则；

②当a＜0时，f"(a)=2a＜0，

则。

2.

将上小题中的M看作a的函数，求M取极小值时a的值。正确答案：解：当a＞0时，，

令，

则，

所以a=1时，M取极小值。

当a＜0时，，

M单调递减，故此时M无极值。

综上所述，可知当M取极小值时，a=1。

四、论述题(本大题共1小题，15分)1.

圆是解析几何中既简单又重要的基本曲线。请结合你的经验简要谈一下求圆的方程和与圆有关的轨迹方程的基本策略。正确答案：(1)对于圆的方程的确定，基本策略是：①根据题意分析出所求圆的方程属于哪种形式(标准式、一般式或其他形式)；②利用待定系数法建立关于待定系数的方程(组)；③解出待定系数，确定所求方程。

(2)对于与圆有关的轨迹方程问题，基本策略是：①分析动点运动的规律．将其坐标化；②列方程(组)求解；③应注意合理选择方法(定义法、参数法、向量法等)，并检验所得方程是否满足题意。

五、案例分析题(本大题共1小题，20分)下面是关于“图形变换”教学片段的描述，阅读并回答问题。

片段一：教师利用电脑和投影演示一个三角形分别经过平移、旋转和轴对称变换后得到其对应图形的变换过程，学生观察图形，回忆三种图形变换的基本特征，并归纳出三种变换的共性。

片段二：观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的?

学生观察图形，将基本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程。教师演示课件，突出基本图形经过不同的图形变换后得到组合图案的过程。

片段三：教师指导学生选择简单的基本图形，进行不同的图形变换，组合出美丽的图案。在本次活动中，教师重点关注：(1)学生选取的基本图形不要过于复杂；(2)指导学生依据对应图形全等这一图形变换的共性剪出多少个基本图形，然后再依据各种变换的基本特征拼出组合图案。

问题：1.

分析片段一中教师引入课程的方式；正确答案：片段一中教师采用的是“操作实验，建立表象”的导入方式。教师将平移、旋转和轴对称变换的全过程通过电脑逐一演示，帮助学生回顾图形变换的基本特征，为进一步从图形变换的角度辨析组合图案奠定知识基础。

2.

思考片段二的设计意图；正确答案：通过让学生在组合图案中辨析出基本图形经过哪些图形变换，再现组合图案的设计过程，使学生认识到图形变换的根本，感受图形变换的奇妙、美丽、生动与灵活，调动学生的热情。

3.

片段三的学生培养目标是什么?正确答案：培养目标：让学生主动参与、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，让学生进一步感受数学源于生活，引导学生善于用数学的眼光审视生活。

六、教学设计题(本大题共1小题，30分)1.

方程是代数学的核心内容，从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。因此，学好一元一次方程可以为整个方程知识体系的学习奠定良好的基础。以下是某教师设计的“一元一次方程”一课的教学目标：

①通过对多个实际问题的分析，体验到从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解一元一次方程的概念，领悟一元一次方程的意义和作用。

②在根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养获取信息、分析问题、处理问题的能力；经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想及意义。

③经历观察思考，发展合作交流的意识及能力。

问题：

(1)根据教学目标写出教学重难点；

(2)根据教学目标设计这节课的具体教学过程(只写引入与概念形成环节)；

(3)设置层次性的问题帮助学生巩固知识。正确答案：(1)教学重点：了解一元一次方程的有关概念，会根据已知条件设未知数，列出一元一次方程。

教学难点：找出问题中的相等关系，列出一元一次方程。

(2)教学过程如下：

一、习旧引新，激发兴趣

师：蓝鲸是世界上最大的动物，有一只蓝鲸重124吨，比一头大象体重的25倍少1吨，这头大象重几吨?(小组合作解决实际问题)

你知道什么是方程吗?请举一些方程的例子。

下列式子是方程的有______(填序号)。

①3+2=5；②x+4=5；③1+x；④3＞x；⑤2=y+x；⑥x2-1=0。

过渡：方程是应用广泛的数学工具，我们通过学习这章中利用方程解决丰富多彩的实际问题，进一步感受方程的作用。

二、情境探究，建立模型

1．教师出示教科书第79页的问题

问题：章前图中的汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如下所示，翠湖在青山、秀水之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖有多远?

【探究问题1】你从题目中能获得哪些信息?

教师可以在学生回答的基础上做小结：(1)青山与翠湖的距离为50千米，翠湖与秀水的距离为70千米，青山与秀水的距离为120千米；(2)汽车从王家庄行驶到青山需3小时、到秀水需5小时，从青山到秀水需2小时；(3)汽车在途中行驶的速度不变；(4)要求的问题是王家庄到翠湖的距离。

【探究问题2】你会用算术方法求出王家庄到翠湖的路程吗?

(当学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义)

教师可以在学生回答的基础上做小结：(1)问题涉及的三个基本物理量及其关系；(2)从已知的信息中可以求出汽车的速度；(3)从路程的角度可以列出不同的算式：。

【探究问题3】能否用列方程的方法来解决这个问题呢?

教师引导学生设未知数，并用含未知数的代数式表示有关的量。

(1)如果设王家庄到翠湖的路程为x千米(直接设元)，那么，由汽车在行驶过程中速度保持不变可列出如下方程：

。

(2)如果设王家庄到青山的路程为x千米(间接设元)，那么，由汽车在行驶过程中速度保持不变可列出如下方程：

【思考】能否设汽车的速度或某段路的行驶时间为未知数来列出方程呢?

在教师引导的基础上得出如下两个方程：

(1)设速度为x千米/时，则可列方程2x=50+70。

(2)设青山到翠湖行驶的时间为x小时，则可列方程。

【小结】对于上面的实际问题，既可以用算术方法解答，也可以列方程式解答。用算术方法解题的计算过程中，我们只能用题目中的已知数；而用方程方法时，根据问题中的等量关系列出方程式，其中既使用了已知数，又使用了未知数。对于一个实际问题我们通常可以列出方程来解决。通过以后的学习，大家会逐步认识到：从算式到方程式是数学的一个革命。

2．例题分析

例1：根据下列问题，设未知数并列出方程：

(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少厘米?

(2)一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时?

(3)某校女生占全校学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生?

【师生互动】(1)先由同学们独立思考，再引导学生讨论：怎样设未知数?题目中的等量关系是什么?怎样列出方程?

(2)再引导学生讨论交流：能否列出其他形式的方程?它们的等量关系又是什么?

【小结】列方程解决实际问题的两个步骤：①用字母表示问题中的未