自动控制原理 课件 项目3 控制系统的时域分析法

项目三控制系统的时域分析法任务一典型响应及性能指标任务二一阶和二阶系统分析任务三系统稳定性和稳态误差分析任务四应用MATLAB进行时域分析任务一典型响应及性能指标任务一典型响应及性能指标对于一个控制系统,稳定性是系统正常工作的首要条件。在满足稳定性要求的前提下,系统还应具备较快的响应速度和较高的稳态控制精度,即具备较好的动态性能和稳态性能。为了便于分析和设计,同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较,需要假定一些基本的输入函数形式,称为典型输入信号。典型输入信号一般应具备以下两个条件。(1)具有一定的代表性,数学表达式简单,便于数学分析和处理。(2)易于在实验条件下获得。一、典型输入信号(一)单位阶跃信号阶跃信号是指瞬间突变,然后保持不变的信号,如图其数学表达式为其拉氏变换为任务一典型响应及性能指标(二)单位加速度信号加速度信号也称抛物线信号,是指由零值开始随时间t以等加速度增长的信号,如图其数学表达式为其拉氏变换为任务一典型响应及性能指标(三)单位斜坡信号斜坡信号是指由零值开始随时间t线性增长的信号,如图其数学表达式为其拉氏变换为任务一典型响应及性能指标(四)单位脉冲信号脉冲信号是一个持续时间很短的信号,如图其数学表达式为当H=1时,记为δε(t)。若令ε→0,则称其为单位理想脉冲函数。其拉氏变换为任务一典型响应及性能指标(五)正弦信号正弦信号是一种周期性变化的信号,如图其一般表达式为其拉氏变换为任务一典型响应及性能指标在典型输入信号的作用下,任何一个控制系统的时间响应都是由动态过程和稳态过程两部分组成的。(1)动态过程动态过程也称瞬态过程,是指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。(2)稳态过程稳态过程是指系统在典型输入信号作用下,当t趋于无穷时,系统的输出状态。稳定的系统才会有稳态过程。二、阶跃响应的性能指标(一)动态过程与稳态过程任务一典型响应及性能指标任务一典型响应及性能指标控制系统的典型阶跃响应曲线与动态性能指标,如图(二)动态性能指标(1)上升时间tr:响应曲线第一次达到稳态值所需的时间。上升时间越短,响应速度越快。(2)峰值时间tp:响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。(3)调节时间ts:响应曲线达到并保持在稳态值的±5%或±2%范围内所需的最短时间。(4)超调量σ%:指输出的最大值c(tp)超出稳态值c(∞)的百分比,即任务一典型响应及性能指标(三)稳态性能指标稳态性能指标表征系统的输出量最终复现输入量的程度,可用稳态误差ess

来描述。稳态误差是指系统的期望值与实际稳态值之间的差值。其定义为:当t→∞时,系统输入量r(t)与反馈量b(t)之间的差值,即稳态误差反映了系统跟踪输入信号或抑制扰动的能力,ess越小,说明系统稳态精度越高。任务二一阶和二阶系统分析任务二一阶和二阶系统分析一、一阶系统分析(一)一阶系统的数学模型及其响应凡以一阶微分方程作为数学模型的控制系统,称为一阶系统。在实际工程控制中,一阶系统常用来近似表征某些高阶系统的特性。1.一阶系统的数学模型一阶系统的动态结构图如图所示。一阶系统闭环传递函数的标准形式为2.一阶系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的响应称为单位阶跃响应。设输入信号r(t)=1(t),其拉氏变换为此式作用于一阶系统时,输出量的拉氏变换为可得一阶系统的单位阶跃响应为由此可知,一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零,按指数规律上升到1的曲线，如右图。任务二一阶和二阶系统分析3.一阶系统的单位斜坡响应系统在单位斜坡信号作用下的输出响应为单位斜坡响应。设输入信号为r(t)=t,其拉氏变换为此式作用于一阶系统时,输出量的拉氏变换为可得一阶系统的单位斜坡响应为一阶系统的单位斜坡响应曲线如右图。任务二一阶和二阶系统分析任务二一阶和二阶系统分析对于一阶系统来讲,单位阶跃响应主要取决于时间常数T,因此可以用T来衡量系统输出量的值。一阶系统的动态性能指标为(二)一阶系统的性能指标在单位阶跃信号的作用下,一阶系统输出的最终稳态值c(∞)=1,而输入期望值为1,因此稳态误差ess=0。【例】一阶系统的动态结构图如下图所示。其中K为放大系数,H为反馈系数。(1)设K=100,H=0.5,试求系统的调节时间ts(按±5%误差);(2)设K=100,如果要求ts=0.1s,则可求反馈系数H。任务二一阶和二阶系统分析解：(1)由动态结构图可知系统的闭环传递函数为(2)当K=100时,系统的闭环传递函数为因此T=0.02,调节时间ts=3T=0.06s(按±5%误差)。由于ts=3T=0.03/H=0.1s,故反馈系数H=0.3。任务二一阶和二阶系统分析任务二一阶和二阶系统分析二、二阶系统分析(一)二阶系统的数学模型及其单位阶跃响应以二阶微分方程作为数学模型的控制系统称为二阶系统。在工程实践中,很多高阶系统的特性在一定条件下也可以用二阶系统的特性来表征。1.二阶系统的数学模型二阶系统的动态结构图如右图所示。其闭环传递函数为任务二一阶和二阶系统分析2.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统在单位阶跃信号r(t

)=1(t

)作用下,输出的拉氏变换为对于二阶系统来讲,其特征方程为解之得系统的特征根(闭环极点)为(1)ξ<0(负阻尼)(2)ξ=0(无阻尼)(3)0<ξ<1(欠阻尼)(4)ξ=1(临界阻尼)(5)ξ>1(过阻尼)(二)二阶系统的性能指标下面主要针对欠阻尼二阶系统的动态过程进行分析,其单位阶跃响应曲线参见书中图3-6。若欠阻尼二阶系统一对共轭复根之间的关系如图由图可得任务二一阶和二阶系统分析则欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应可写为1.上升时间tr2.峰值时间tp3.超调量σ%4.调节时间ts当输入为单位斜坡信号时,即R(s)=1/s2,得5.稳态误差ess当输入为单位阶跃信号时,即R(s)=1s,得任务二一阶和二阶系统分析【例】已知系统的闭环传递函数分别求当参数K=4、K=2时,系统的单位阶跃响应和性能指标σ%和ts。解：(1)当K=4时,闭环传递函数为Φ(s)。可得解之得ωn=2,ξ=0.75<1,系统为欠阻尼状态。超调量为调节时间为任务二一阶和二阶系统分析(2)当K=2时,闭环传递函数为Φ(s)。可得ωn=2,ξ=1.06>1,系统为过阻尼状态。单位阶跃响应:超调量为调节时间为系统的时域响应曲线如右图。任务二一阶和二阶系统分析任务三系统稳定性和稳态误差分析任务三系统稳定性和稳态误差分析设一线性定常系统原处于某一平衡状态,若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态,当此扰动撤消后,系统仍能回到原有的平衡状态,则称该系统是稳定的。反之,系统是不稳定的。基于稳定性研究的问题是去除扰动作用后系统的运动情况,它与系统的输入信号无关,只取决于系统本身的特征,因而可用系统的脉冲响应函数来描述。由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1,所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。一、系统稳定性分析(一)稳定的数学条件及定义系统稳定的充分必要条件为:系统所有特征根的实部小于零,即其特征方程的根都在s平面的左半平面。任务三系统稳定性和稳态误差分析劳斯稳定判据是指,根据闭环特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成所谓的劳斯表,然后根据表中第一列系数正、负符号的变化情况来判别系统的稳定性。(二)劳斯稳定判据设系统的闭环特征方程为根据特征方程的各项系数排列成的劳斯表如右表。任务三系统稳定性和稳态误差分析上表中劳斯稳定判据为：若特征方程的各项系数都大于零(必要条件),且劳斯表中第一列元素均为正值,则所有的特征根均位于s左半平面,相应的系统是稳定的;否则,系统是不稳定的,且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。【例】设系统的特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0,试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。解：该系统劳斯表如表所示。任务三系统稳定性和稳态误差分析由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次,说明系统有两个正实部根,系统不稳定。任务三系统稳定性和稳态误差分析【例】设系统的闭环传递函数为要使系统稳定,试确定放大倍数K的取值范围。解：系统的特征方程为s3+14s2+40s+40K=0,其劳斯表如右表所示。系统稳定的条件是则系统稳定的条件是：0<K<14任务三系统稳定性和稳态误差分析如果无论怎样调整系统的参数,也无法使其稳定,则称这类系统为结构性不稳定系统，如图所示。(三)结构不稳定问题其闭环传递函数为特征方程为根据劳斯稳定判据,由于特征方程中s一次项的系数为零,故无论K取何值,该方程总是有根不在s左半平面,即系统总是不稳定的。解决这个问题的办法一般有两种。1.改变积分环节的性质2.加入比例微分环节任务三系统稳定性和稳态误差分析在工程上系统误差一般定义为期望值与实际值的差值,即e(t

)

=

r(t

)-c(t

)通常情况下,系统的输入量和输出量分别是不同的物理量,控制系统的典型结构图,如图所示。二、系统稳态误差分析(一)误差与稳态误差任务三系统稳定性和稳态误差分析当考虑给定信号R(s)作用时,设扰动信号D(s)=0。(二)给定信号作用下系统稳态误差的计算由上图可得误差函数的拉氏变换为根据终值定理得任务三系统稳定性和稳态误差分析1.阶跃输入下的稳态误差0型系统和Ⅰ型系统的阶跃响应曲线,如图所示。阶跃输入信号输入下的稳态误差为其中任务三系统稳定性和稳态误差分析2.斜坡输入下的稳态误差0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统的斜坡响应曲线如图所示。斜坡输入信号输入下的稳态误差为其中任务三系统稳定性和稳态误差分析当考虑扰动信号D(s)作用时,设R(s)=0,系统结构图如下图。(三)扰动信号作用下系统稳态误差的计算扰动信号引起的误差用ed(t)来表示,其拉氏变换为根据终值定理，系统在扰动作用下的稳态误差为任务三系统稳定性和稳态误差分析【例】设系统结构图如下图所示,又设r(t

)=2t,d(t

)=0.5·1(t

),求系统的稳态误差。解：系统的开环传递函数为任务三系统稳定性和稳态误差分析该系统为Ⅰ型系统,K=20。因此,当R(s)=2/s2时,系统稳态误差为当D(s)=0.5/s时,系统在扰动作用下的稳态误差为系统总的稳态误差为任务三系统稳定性和稳态误差分析只有一个反馈回路,存在稳态误差的调速系统称为单闭环有静差调速系统,其原理图如图所示。该系统由转速调节器、晶闸管整流器、直流电动机和测速发电机组成。三、单闭环有静差调速系统示例对应的动态结构图如下图所示。任务三系统稳定性和稳态误差分析根据系统的动态结构图,可知前向通道传递函数为任务三系统稳定性和稳态误差分析开环传递函数为根据系统的动态结构图,可知反馈通道传递函数为闭环传递函数为任务三系统稳定性和稳态误差分析设系统的参数为Ta=0.03s,Tm=0.02s,Ks=40,Ra=0.5Ω,Ce=0.132V/rpm,

Ksf=0.07,Ts=0.00167s。将参数代入闭环传递函数表达式,可得(1)动态性能分析对照二阶系统闭环传递函数表达式,有调节时间为任务三系统稳定性和稳态误差分析系统的动态结构图可简化,简化后系统的动态结构图如图所示。(2)稳态性能分析在给定信号作用时,设IL(s)=0，稳态误差为将各参数值代入,得取Kp=0.11,则essr=0.3。任务三系统稳定性和稳态误差分析在扰动信号IL(s)作用时,根据扰动作用下的误差传递函数,可以求得稳态误差为将各参数代入上式,其中取Kp=0.11可得系统总的稳态误差为任务四应用MATLAB进行时域分析如果给定系统的传递函数为G(s)=num/den,则其时域响应可以由以下函数得到：单位阶跃响应：step(num,den)或y=step(num,den,t)单位脉冲响应：impulse(num,den)或y=impulse(num,den,t)一般输入响应：y=lsim(num,den,u,t)一、系统输出响应【例】系统结构图如图所示,试用MATLAB画出系统单位阶跃响应曲线。任务四应用MATLAB处理控制系统数学模型解：键入如下程序代码sys1=tf([100],[10]);sys2=tf([0.1],[1]);sys=feedback(sys1,sys2);step(sys)单位阶跃响应曲线如右