数列通项公式方法大全很经典

1,数列通项公式得十种求法:(1)公式法(构造公式法)例1已知数列满足,,求数列得通项公式。解:两边除以,得,则,故数列就是以为首项,以为公差得等差数列,由等差数列得通项公式,得,所以数列得通项公式为。评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,说明数列就是等差数列,再直接利用等差数列得通项公式求出,进而求出数列得通项公式。(2)累加法例2已知数列满足,求数列得通项公式。解:由得则所以数列得通项公式为。评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列得通项公式。变式:已知数列满足,求数列得通项公式。(3)累乘法例3已知数列满足,求数列得通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列得通项公式为评注:本题解题得关键就是把递推关系转化为,进而求出,即得数列得通项公式。变式:已知数列满足,求得通项公式。(4)待定系数法例4已知数列满足,求数列得通项公式。解:设 ④将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得 ⑤由及⑤式得,则,则数列就是以为首项,以2为公比得等比数列,则,故。评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,从而可知数列就是等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。变式:=1\*GB3①已知数列满足,求数列得通项公式。=2\*GB3②已知数列满足,求数列得通项公式。(5)对数变换法例5已知数列满足,,求数列得通项公式。解:因为,所以。在式两边取常用对数得 ⑩设 eq\o\ac(○,11)将⑩式代入eq\o\ac(○,11)式,得,两边消去并整理,得,则,故代入eq\o\ac(○,11)式,得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式,得,则,所以数列就是以为首项,以5为公比得等比数列,则,因此则。评注:本题解题得关键就是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列就是等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。(6)数学归纳法例6已知数列满足,求数列得通项公式。解:由及,得由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。评注:本题解题得关键就是通过首项与递推关系式先求出数列得前n项,进而猜出数列得通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。(7)换元法例7已知数列满足,求数列得通项公式。解:令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,所以就是以为首项,以为公比得等比数列,因此,则,即,得。评注:本题解题得关键就是通过将得换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。(8)不动点法例8已知数列满足,求数列得通项公式。解:令,得,则就是函数得两个不动点。因为。所以数列就是以为首项,以为公比得等比数列,故,则。评注:本题解题得关键就是先求出函数得不动点,即方程得两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列得通项公式,最后求出数列得通项公式。例9已知数列满足,求数列得通项公式。解:令,得,则就是函数得不动点。因为,所以。评注:本题解题得关键就是通过将得换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。课后习题:1.数列得一个通项公式就是()A、B、C、D、2.已知等差数列得通项公式为,则它得公差为()A、2B、3C、D、3.在等比数列中,则()A、B、C、D、4.若等比数列得前项与为,且,,则5.已知数列通项公式,则该数列得最小得一个数就是6.在数列{an}中,且,则数列得前99项与等于.7.已知就是等差数列,其中,公差。(1)求数列得通项公式;(2)数列从哪一项开始小于0？(3)求数列前项与得最大值,并求出对应得值.8.已知数列得前项与为,(1)求、、得值;(2)求通项公式。9.等差数列中,前三项分别为,前项与为,且。(1)、求与得值;(2)、求=;数列等差数列与等比数列得有关知识比较一览表等差数列等比数列递推关系①②③①②③通项①②①②求与公式①②③①求积公式②③(,)主要性质①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则、②对任意c>0,c1,为等比数列、③、④若、分别为两等差数列,则为等差数列、⑤数列为等差数列、⑥若为正项等差自然数列,则为等差数列、⑦为等差数列、⑧,n>2m,m、n、⑨、⑩若则、①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则、②对任意c>0,c1,若an恒大于0,则为等差数列、③、④若、为两等比数列,则为等比数列、⑤若an恒大于0,则数列为等比数列、⑥若为正项等差自然数列,则为等比数列、⑦为等比数列、⑧,n>2m,m、n,、⑨、⑩若则、重要性质①若p、q,且,则、②若且,则p、q、①=、②若|q|<1,则、求数列{an}通项公式得方法1.=+型累加法:=(－)+(－)+…+(－)+=++…++例1、已知数列{}满足=1,=+(n∈N+),求、[解]=－+－+…+－+=++…++1==－1∴=－1(n∈N+)2.=p+q型(p、q为常数)方法:(1)+=,再根据等比数列得相关知识求、(2)－=再用累加法求、(3)=+,先用累加法求再求、例3、已知{}得首项=a(a为常数),=2+1(n∈N+,n≥2),求、[解]设－λ=2(－λ),则λ=－1∴+1=2(+1)∴{}为公比为2得等比数列、∴+1=(a+1)·∴=(a+1)·－13.型累乘法:=·…·例2、已知数列{}满足(n∈N+),=1,求、[解]=·…·=(n－1)·(n－2)…1·1=(n－1)！∴=(n－1)！(n∈N+)4.=p+型(p为常数)方法:变形得=+,则{}可用累加法求出,由此求、例4、已知{}满足=2,=2+、求、[解]=+1∴{}为等差数列、=∴=n·5.=p＋q型(p、q为常数)特征根法:(1)时,=·+·(2)时,=(+·n)·例5、数列{}中,=2,=3,且2=+(n∈N+,n≥2),求、[解]=2－∴∴∴=(+·n)·=+·n∴∴∴6.“已知,求”型方法:=－(注意就是否符合)例6、设为{}得前n项与,=(－1),求(n∈N+)[解]∵=(－1)(n∈N+)∴当n=1时,=(－1)∴=3当n≥2时,=－=(－1)－(－1)∴=3∴=(n∈N+)求数列{an}得前n项与得方法(1)倒序相加法(2)公式法此种方法主要针对类似等差数列中,具有这样特点得数列.此种方法就是针对于有公式可套得数列,如等差、等比数列,关键就是观察数列得特点,找出对应得公式.例:等差数列求与①把项得次序反过来,则:②①+②得:公式:①等差数列:②等比数列:;③1+2+3+……+n=;(3)错位相减法(4)分组化归法此种方法主要用于数列得求与,其中为等差数列,就是公比为q得等比数列,只需用便可转化为等比数列得求与,但要注意讨论q=1与q≠1两种情况.此方法主要用于无法整体求与得数列,可将其通项写成等比、等差等我们熟悉得数列分别进行求与,再综合求出所有项得与.例:试化简下列与式:解:①若x=1,则Sn=1+2+3+…+n=②若x≠1,则两式相减得:+…+∴例:求数列1,,,……,+……+得与、解:∵∴(5)奇偶求与法(6)裂项相消法此种方法就是针对于奇、偶数项,要考虑符号得数列,要求Sn,就必须分奇偶来讨论,最后进行综合.此方法主要针对这样得求与,其中{an}就是等差数列.例:求与解:当n=2k(kN+)时,当,综合得:例:{an}为首项为a1,公差为d得等差数列,求解:∵∴(7)分类讨论(8)归纳—猜想—证明此方法就是针对数列{}得其中几项符号与另外得项不同,而求各项绝对值得与得问题,主要就是要分段求、此种方法就是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之与得数列,先用不完全归纳法猜出得表达式,然后用数学归纳法证明之、例:已知等比数列{}中,=64,q=,设=log2,求数列{||}得前n项与、