中考数学压轴题之二次函数及答案解析

备战中考数学压轴题之二次函数（备战中考题型整理，突破提升）及答案解析

一、二次函数

1.（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1,0）,B（3,

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2,m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H,点F是AE中点，连接

FH,求线段FH的长.

注：抛物线y=ax2+bx+c（a*0）的对称轴是x=-3L

£2a

【答案】（1）y=/-2x-3；（2）了.

【解析】

试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c,进而确定抛物线的解析式；（2）

连接BE,点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，

FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE,再根据三角形中

位线定理求线段HF的长.

试题解析：（1）•.,抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1,0）,B（3,0）,.,.把A,B两点坐标

[l-b+c=O』=-2

代入得：l9+3b+c=0,解得：lc=3,二抛物线的解析式是：y=x，x_3；（2）•.•点

E（2,m）在抛物线上，二把E点坐标代入抛物线解析式y=x-2x-3得：m=4-4-3=-3,

E（2,-3）,BE=J（3_2）Z+3Z=E.1•点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与

11国

x轴交点，即H为AB的中点，二FH是三角形ABE的中位线，FHNBENX/Q2./.

£

线段FH的长丁.

考点：L待定系数法求抛物线的解析式；2.勾股定理；3.三角形中位线定理.

2.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于0、

A两点.

y

（i）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使AAOB的面积等于6,求点B的坐

标；

（3）对于（2）中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使NPOB=90。？若存在，求出点P

的坐标，并求出APOB的面积；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2-3x„

（2）点B的坐标为：（4,4）o

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了0A的长，根据

△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解

析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否

符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线0B的解析式，由于OB_LOP,由此可求出P点的坐标特

点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标.求△POB的面积时，求出OB,0P的长度即

可求出△BOP的面积。

【详解】

解：（1）,函数的图象与x轴相交于0,,O=k+1,k=-1。

•••这个二次函数的解析式为y=x2-3xo

（2）如图，过点B做BDLx轴于点D,

令X2-3X=0,解得:x=0或3。=A0=3。

•••△AOB的面积等于6,-AO«BD=6o/.BD=4。

2

点B在函数y=x2-3x的图象上，

4=x2-3x,解得：x=4或x=-1（舍去）。

又；顶点坐标为：（1.5,-2.25）,且2.25<4,

x轴下方不存在B点。

•••点B的坐标为：（4,4）。

（3）存在。

,・,点B的坐标为：（4,4）,ZBOD=45°,B0="7^=40。

若NPOB=90°,则NPOD=45°»

设P点坐标为（x,x2-3x）o

2

/.|x|=|x-3x|o

若x=x2—3x，解得X="4"或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。

若X=—（X2—3X）,解得X=2'或X=0（舍去）。

当x=2时，x2-3x=-2o

「•点P的坐标为（2,-2）o

OP=A/22+22=2A/2°

•••ZPOB=90°,二△POB的面积为：-P0»B0=-x4^/2x272=8o

3.已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3,0）,B（1,0）,交y轴于点C,点P是该抛

物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDIIy

轴交直线AC于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）AAP。能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；

（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-/WC|最大？若存在请求出点M的坐标，若

不存在请说明理由.

9

【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)-；(3)点P(1,0)或(2,-1)；(4)M(2,

4

3).

【解析】

试题分析：(1)把点4B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得

解；

(2)求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设

出点P的坐标，然后表示出P。的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

(3)①NAP。是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为

在抛物线顶点时，NRAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

(4)根据抛物线的对称性可知再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点

M为直线CB与对称轴交点时，I/VM-MCI最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析

式，再求解即可.

试题解析：解：(1)•抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),

9+3b+c=0[Z?=—4

c，解得〈...・抛物线解析式为y=x2-4x+3；

l+b+c=Q[c=3

(2)令x=0,则y=3,，点C(0,3),则直线AC的解析式为y=-x+3,设点P(x,x2-

4x+3).PDWy轴，:.点、D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-

3939

(x--)2+—.；a=-i<0,.•.当x=—时，线段PD的长度有最大值一；

2424

(3)①NAPD是直角时，点P与点B重合，此时，点P(l,0),(2)-：y=x2-4x+3=(x

-2)2-i,.•.抛物线的顶点坐标为(2,-1).(3,0),.点P为在抛物线顶点

时，N%。=45。+45。=90。，此时，点P(2,-1).

综上所述：点P(l,0)或(2,-1)时，△4P0能构成直角三角形；

(4)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB,由三角形的三边关系，IMA­

MCI<BC,.,.当M、B、C三点共线时，最大，为BC的长度，设直线BC的解析

k+b=Gk=-3

式为*kx+b(E0),则,c,解得：'c,••・直线BC的解析式为y=-

b=3[b=3

3x+3.「抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,.,.当x=2时，y=-3x2+3=-3,:.点M

(2,-3),即，抛物线对称轴上存在点/W(2,-3),使-/WC|最大.

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最

值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，(2)整理出PD的表达式是解题的关

键，(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断，(4)根据抛物线的对称性和三角形的三

边关系判断出点M的位置是解题的关键.

4.如图，抛物线y=ax2+bx+3(g0)的对称轴为直线x=-l,抛物线交x轴于A、C两

点，与直线y=x-1交于A、B两点，直线与抛物线的对称轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若AABP的面积最大，求此时点P的坐标.

(3)在平面直角坐标系中，以点B、E、C、。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出

符合条件点。的坐标.

3

【答案】⑴y=-x2-2x+3；(2)点P(—士，?)；⑶符合条件的点D的坐标为D1Q3),

24

D2(-6,-3),D3(-2,-7).

【解析】

【分析】

⑴令y=o,求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x=-1,求出点c的坐标，再根据

待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m,-m2-2m+3),利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PFIIy

轴交直线AB于点F,利用SAABP=SAPBF+SAPFA,用含m的式子表示出△ABP的面积，利用

二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

⑶求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、

C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即

可求出交点坐标.

【详解】

解：⑴令y=0,可得：x-1=0,解得：x=l,

二点A(l,0),

•••抛物线y=ax2+bx+3(a*0)的对称轴为直线x=-1,

.-1x2-1=-3,即点C(-3,0),

a+匕+3=0a=—1

,解得：〈)

9a-3b+3=0\b=-2

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

(2)1,点P在直线AB上方的抛物线上运动,

二设点P(m,-m2-2m+3),

..,抛物线与直线y=x-1交于A、B两点,

-x~-2x+3%1=-4%=1

解得:

y=x-l/=一5%=°

.,.点B(-4,-5),

如图，过点P作PFIIy轴交直线AB于点F,

则点F(m,m-1),

PF=-m2-2m+3-m+l=-m2-3m+4,

:SAABP—SAPBF+SAPFA

=—(-m2-3m+4)(m+4)+—(-m2-3m+4)(l-m)

5

228

3

.,.当m=-----时，P最大,

2

⑶当x=-1时，y=-1-1=-2,

.二点E(-1,-2),

如图，直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x-l,直线CE的解析式为y

=-x-3,

・「以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

「•直线D1D3的解析式为y=5x+3,直线D1D2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y=

-x-9,

y=5%+3

联立＜得Di(O,3)，

y=%+3

同理可得D2(-6,-3),Ds(-2,-7),

综上所述，符合条件的点D的坐标为Di(O,3),D2(-6,-3),D3(-2,-7).

本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂

直于坐标轴的边是关键；对于第⑶小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解.

5.如图，在平面直角坐标系中，NACB=90。，0C=20B,tan/ABC=2,点B的坐标为(1,

0).抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直X轴于点D,交线段AB于点

E,使，+PE=—1DE.

2

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使4ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点

M的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)①P(-1,6),②存在，M(-1,3+如)或(-

13

1,3-)或(-1，-1)或(-1,一).

2

【解析】

【分析】

(1)先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

(2)①先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PD_Lx轴，设P(x,、2-3x+4),则E(X,-

2x+2),根据PE=—DE,列方程可得P的坐标；

2

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：△ABM为

直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.

【详解】

解：(1)B(1,0),OB=1,

OC=2OB=2,C(-2,0),

RtAABC中，tanNABC=2,

AC-AC-

..------=2,..-------=2,..AC=6，

BC3

A(-2,6)，

-4—2Z?+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：<

-l+b+c=0

[b=-3

解得：,

c=4

二抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；

(2)①，；A(-2,6),B(1,0),

AB的解析式为：y=-2x+2,

设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),

1

PE=—DE,

2

-x2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2),

2

x=-l或1(舍)，

.P(-1,6)；

②M在直线PD±,且P(-1,6),

设M(T,y),

B(1,0),A(-2,6)

AM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+62=45,

分三种情况：

i)当NAMB=90°时,<AM2+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3±VTi,

M(-1,3+711)或(-1,3-而)；

ii)当NABM=90°时，有AB2+BM2=AI\/|2,

=45+4+y2=l+(y-6)2,y=-1,

M(-1,-1),

iii)当NBAM=90°时，WAM2+AB2=BM2,

,13

1+(y-6)2+45=4+y2,/.y=—,

综上所述，点M的坐标为：二M（-1,3+711）或（-1,3-而）或（-1,-1）或

【点睛】

此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理

的运用，直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨

论思想的应用.

6.童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销该店决定降价销售，

经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件，已知该款童装每件成本30元，设降价后

该款童装每件售价%元，每星期的销售量为y件.

⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装

降价多少元？

（2）当每件售价定为多少元时，一星期的销售利润最大，最大利润是多少？

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销

售利润最大，最大利润4000元.

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价X（元/件）之间的关系列方程即可得到结论.

（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题.

【详解】

解：（1）根据题意得，（60-x）x]_0+100=3xl00,

解得：x=40,

60-40=20%,

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w,

根据题意得，w=（x-30）[（60-x）xl0+100]=-10x2+1000x-21000

=-10（x-50）2+4000,

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题,

利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型.

7.抛物线y=ax?+bx-3(axO)与直线y=kx+c(kwO)相交于A(-1,0)、B(2,-3)

两点，且抛物线与y轴交于点c.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求出C、D两点的坐标

(3)在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的

坐标.

【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)C(0,-3),D(0,-1);(3)P(1+72--2).

【解析】

【分析】

(1)把A(-1,0)、B(2,-3)两点坐标代入y=ax2+bx-3可得抛物线解析式.

(2)当x=0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x=0可求D点坐标.

(3)由题意可知P点纵坐标为-2,代入抛物线解析式可求P点横坐标.

【详解】

解：(1)把A(-1,0)、B(2,-3)两点坐标代入

a-b-3=0

y=ax2+bx-3可得<

4a+2b—3=—3

<2=1

解得「C

b=-2

.y=x2-2x-3

(2)把x=0代入y=x2-2x-3中可得y=-3.'.C(0,-3)

设丫=1«+13,把A(-1,0)、B(2,-3)两点坐标代入

-k+b=O

<2k+b=-3

解得L'k=-11

b=-l

y=-x-1

D(0,-1)

(3)由C(0,-3),D(0,-1)可知CD的垂直平分线经过(0,-2)

二P点纵坐标为-2,

:x2-2x-3=-2

解得：x=li^/2，,/x>0/.x=l+A/2.

.P(1+72，-2)

【点睛】

本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x=0代入二次函数解析式

和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P

的横坐标.

8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),交y轴于C(0,

2);

(1)求二次函数的解析式；

(2)连接AC,在直线AC上方的抛物线上是否存在点N,使ANAC的面积最大，若存在，

求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由.

(3)若点M在X轴上，是否存在点M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若

存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.

(4)若P为抛物线上一点，过P作PQ_LBC于Q,在y轴左侧的抛物线是否存在点P使

△CPQSABCO(点C与点B对应)，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】(1)二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；(2)最大值为1,止匕时N(-1,2)；

3

(3)M的坐标为(-1,0)或汽土布,0)或,0)；(4)点P的坐标为：(-1,

八7,710、

2)或(—,).

39

【解析】

【分析】

(1)利用交点式求二次函数的解析式；

(2)求直线AC的解析式，作辅助线ND,根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线

AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的

面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

(3)分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图

形，求M的坐标即可；

(4)存在两种情况：①如图4,点a与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件;

3

②如图5,图3中的M(-另，0)时，MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,贝U

为直线的抛物线的交点.

△CP2Q-△BCO,P2CM

【详解】

(1),二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),

设二次函数的解析式为：y=a(x+2)(x-1),

把C(0,2)代入得：2=a(0+2)(0-1),

a=-l,

/.y=-(x+2)(x-1)=-x2-x+2,

二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

(2)如图1,过N作NDlly轴，交AC于D,设N(n,-n2-n+2),

-2k+b=0

把A(-2,0)、C(0,2)代入得：＜

b=2

直线AC的解析式为：y=x+2,

D(n,n+2),

ND=(-n2-n+2)-(n+2)=-n2-2n,

222

.SAANc=yx2x[-n-2n]=-n-2n=-(n+1)+l,

.,.当n=：时，△ANC的面积有最大值为1,此时N(-1,2),

(3)存在，分三种情况：

①如图2,当BC=CMi时，Mi(-1,0)；

②如图2,由勾股定理得：BC=^22+12=751

以B为圆心，以BC为半径画圆，交X轴于M2、M3,贝UBC=BM2=BM3=6,

此时，M2（1-75-0）,M3（1+百，0）；

③如图3,作BC的中垂线，交x轴于M4,连接CM4,贝!]CM4=BM4,

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2,

_.3

解得：x=—,

2

M4在X轴的负半轴上，

..3

M4（-—，0），

2

综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1,0）或

3

（1士近，0）或（-不，0）；

（4）存在两种情况：

①如图4,过C作X轴的平行线交抛物线于Pi,过Pi作PiQ_LBC,

此时，△CPiQsABCO,

，点Pi与点C关于抛物线的对称轴对称,

•Pi(-1,2)，

3

②如图5,由(3)知：当M(-不，0)时，MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,

过P2作P2Q±BC,此时，△CPzQs△BCO,

%

4

易得直线CM的解析式为：y=-jx+2,

y=-x2-x+2

解得：P2(----''

39

综上所述，点P的坐标为：(-1,2)或(工，一12).

39

【点睛】

本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数

解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错

的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，

不要丢解.

9.如图1,在矩形ABCD中，0B=6,AD=3,在RtAPEF中，NPE尸=90。，EF=3,PF=

6,△PEF(点F和点A重合)的边EF和矩形的边AB在同一直线上.现将R3PEF从A以

每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时

间为t秒，解答下列问题：

(1)如图1,连接PD,填空：PE=,ZPFD=度，四边形PEA。的面积

是;

(2)如图2,当PF经过点。时，求△PEF运动时间t的值；

(3)在运动的过程中，设APEF与AAB。重叠部分面积为S,请直接写出S与t的函数关

系式及相应的t的取值范围.

【答案】(1)30。，上28；(2)73;(3)见解析.

2

【解析】

分析：(1)根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE的长，再根

据梯形的面积公式求解.

(2)当PF经过点D时，PEIIDA,由EF=3,PF=6,可得NEPD=NADF=30。，用三角函数计

算可得AF=t=6；

(3)根据题意，分三种情况：①当0就＜君时，②石虫＜3时，③34仁6时，根据三

角形、梯形的面积的求法，求出S与t的函数关系式即可.

详解：(1).在RtZkPEF中,ZPEF=90°,EF=3,PF=6

EF1

sinNP=---——

PF2

：.ZP=30°

,.­PEIIAD

/.ZPAD=30°,

根据勾股定理可得PE=3百，

所以S四边用PEAD=5X(3^3+3)x3=9；

(2)当PF经过点D时，PEIIDA,由EF=3,PF=6,得NEPF=NADF=30°,

在RtAADF中，由AD=3,得AF=6,所以t=6；

(3)分三种情况讨论：

①当0镇〈君时，PF交AD于Q,AF=t,A*6t，：•S=gtx上也与t；

②当64t<3时，PF交BD于K,作KHJ_AB于H,；AF=t,=BF=3j^-t，SAABD=%^,

一2

l9-J3t

■：ZFBK=ZFKB,/.FB=FK=3J3-t,KH=KFxsin600=—S=SAABD-SAFBK

2

_aj9百

424

③当34仁3班时，PE与BD交O,PF交BD于K,AF=t,二AE=t-3,BF=3j^-t,

…六r〜.9-67+3G623-27336—36

BE=3J3-t+3,OE=BExtan300=---------------—，..rS=--t2+..........—t+............—.

31224

点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数

值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思

想，要熟练掌握，比较困难.

10.如图，抛物线丁=奴2+陵+2交x轴于A（—1,0）,3（4,0）两点，交》轴于点C,与过

点C且平行于X轴的直线交于另一点（X-6）2+（万防2=8，点P是抛物线上一动点.

（1）求抛物线解析式及点D的坐标；

（2）点E在X轴上，若以A，E,D,P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的

坐标；

（3）过点尸作直线CD的垂线，垂足为。，若将4cp。沿CP翻折，点。的对应点为

Q,.是否存在点尸，使。'恰好落在x轴上？若存在，求出此时点p的坐标；若不存在，

一

2）；P3（士巫,-2）;（3）满足条件的点尸有两个，其坐标分别为:

2

【解析】

【分析】

1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标

（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时,AEIIPD,②当AE为对角线时，根据平行四边形对

顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标

13

⑶结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为，-万/+耳。+2）,分情况讨

论，①当P点在v轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质

进行求解即可

【详解】

解：（1）丫抛物线产加+桁+2经过4（—1,0）,3（4,0）两点,

a-b+2-Q13

，解得：a=——，b=-,

16〃+45+2=022

i3

二抛物线解析式为：y=——f+—x+2；

22

i3

当y=2时，一于2+^+2=2,解得：士=3,%=0（舍），即：点。坐标为

（3,2）.

（2）;A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：

①当AE为一边时，AEWPD,此时点P与点C重合（如图1）,二《（0,2）,

②当AE为对角线时，P点、。点到直线AE（即x轴）的距离相等，

尸点的纵坐标为-2（如图2）,

1,3

把y=—2代入抛物线的解析式，得：—一/+―x+2=—2,

22

3+历3-741

解得:-------，X,=--------，

22

二P点的坐标为—2），J-

综上所述：《（0,2）；鸟（1±严,_2）；鸟（土等2）.

（3）存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方，设直线尸。交x轴于尸,

1,3

点尸的坐标为（〃，——a+—tz+2）,

22

①当尸点在y轴右侧时（如图3）,

CQ=xp=a,

1,31,3

p=2a

Q=yc-yP-(--+-a+2)=-a---a,

又•；ZCQ'O+ZFQ'P=180°-ZCQ'P=180°-ZPQC=90°,

ZCQ'O+ZOCQ'=90°:.ZFQ'P=ZOCQ',

又NCOQ=ZQ'FP=90°,/.VCOQ':VQ'FP,

Q'C_Q'P

"~00~~0^'

QC=CQ=a,CO=2,Q'P=PQ^-a2--a,:.a_3a3a,

222-Q'F

Q1F=a—3,

■-00=0八QN=a_(a-3)=3,CQ=CQ'^^CO-+OQ'2=722+32=V13-

即。=垣，二点2的坐标为(JII，-9［而),

②当夕点在y轴左侧时（如图4）,

I3

此时(i<0,—ciH—a+2<0,CQ—x——a,

22Pp

i313

PQ—2一(—crH—G+2)=_a~—a,

2222

又：NCQO+NFQP=ZCQ'P=ZPQC=90°,ZCQ'O+NOCQ'=90°,

ZFQ'P=ZOCQ',又NCOQ'=NQNP=90。

Q'CQ'P

NCOQ':NQ'FP,

~00~~0^

i3

Q'C=CQ^-a,CO=2,Q'P^PQ^-a2--a,

22

13〃

—a2—a〜

~a_22，QF=3-a,

T-Q'F

OQ'=Q'F-OF=3-a-(-a)=3,

CQ=CQ'=^CO2+OQ'2=V22+32=V13，

此时a=—"3，点P的坐标为(—J百，土巫).

2

综上所述，满足条件的点P有两个，其坐标分别为：(JB，-9+屈),(-无,

2

-9-V13)

-2-.

【点睛】

此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P

的坐标及APAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在X轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得

=?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-f+2x+3；（2）存在，点P（l,2）,周长为：JIU+3&；（3）存

在，点M坐标为（1,4）

【解析】

【分析】

（1）由于条件给出抛物线与X轴的交点4（-1,0）、5（3,0）,故可设交点式

y=aCx+D（x-3）,把点C代入即求得a的值，减小计算量.

（2）由于点A、B关于对称轴：直线1=!对称，故有则

C=AC

^PAC+PC+PA=AC+PC+PB,所以当C、P、B在同一直线上时，

C"AC=AC+C5最小.利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把

X=1代入即求得点P纵坐标.

（3）由53=5?。可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA

距离相等.又因为M在X轴上方，故有Q以/由点A、P坐标求直线AP解析式，即

得到直线CM解析式.把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标.

【详解】

解：（1）抛物线与x轴交于点A（-1,0）、5（3,0）

二可设交点式y=a（x+D（x-3）

把点C（0,3）代入得：-3a=3

:.a--1

_y=—（x+1）（xT）=-%2+2x+3

，抛物线解析式为y=-x2+2%+3

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P,使得AB4C的周长最小.

如图1,连接PB、BC

•••点P在抛物线对称轴直线用=1上，点A、B关于对称轴对称

PA^PB

1=

CApAC=AC+PC+PAAC+PC+PB

•.•当C、P、B在同一直线上时，PC+PB=CB最小

A(-1,0)、5(3,0)、C(0,3)

22

AC=Vl+3=Vio,BC=A/32+32=372

C^AC^AC+CB=+3后最小

设直线BC解析式为y=fcr+3

把点B代入得：3左+3=0,解得：k=-1

.二直线BC：y=-x+3

二.%>=-1+3=2

二点P(l,2)使AB4C的周长最小，最小值为JI5+30.

(3)存在满足条件的点M,使得53=5"数.

•^APAM—^APACSAPAM=SAPAC

当以PA为底时，两三角形等高

.•.点C和点M到直线PA距离相等

丫M在x轴上方

:.CM//PA

A(-1,0),P(l,2),设直线AP解析式为丁=夕%+4

—p+<7=0P=1

解得：＜

p+d=2d=l

直线AP：y=x+l

二直线CM解析式为：y=x+3

»=x+3

<

y=—+2x+3

Xi—0XQ—1

解得：｛。(即点C),<2

〔X=31%=4

.•.点M坐标为(1,4)

考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定

理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法.其中第（3）题条件给出点M在x轴

上方，无需分类讨论，解法较常规而简单.

12.如图，己知二次函数图象的顶点坐标为A（l,4）,与坐标轴交于B、C、D三点，且B

点的坐标为（—1,0）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于X轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点/W的左侧，过

M、N作X轴的垂线交X轴于点G、H两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的

最大值；

（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使APNC的面积

【解析】

【分析】

（1）二次函数表达式为：y=a（x-l）2+4,将点B的坐标代入上式，即可求解;

（2）矩形MA/HG的周长

C=2MN+2GM-2(2x—2)+2(—%?+2x+3)=—2x2+8x+2,即可求角军；

lo

(3)S.PNr=-=-xPKxCD=-xPHxsm45x3y/2,解得:PH=^=HG,即

8224

可求解.

【详解】

(1)二次函数表达式为：y=a(x-l)2+4,

将点B的坐标代入上式得：0=4a+4,解得：a=-l,

故函数表达式为：y=—炉+2工+3…①；

(2)设点/W的坐标为(x,—无2+2x+3),贝!］点N(2—无，一尤2+2x+3),

则MN=%一2+%=2x—2,GM=—x2+2x+3，

矩形MNHG的周长C=2ACV+2GM=2(2尤一2)+2(-f+2x+3)=-2x2+8x+2,

b

■--2<0,故当x=——=2,C有最大值，最大值为10,

2a

此时x=2,点N(0,3)与点D重合；

_9

(3)A/WC的面积是矩形面积的一，

16

9927

则S「=——xTW><GM=—x2x3=—,

"A/W16168

连接。C,在C。得上下方等距离处作C。的平行线m、n,

过点P作y轴的平行线交C。、直线”于点H、G,即/W=GH,

过点于点K,

将。（3,0）、。（0,3）坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CO的表达式为：y=—x+3,

OC=OD,：./OCD=ZODC=45。=/PHK,CD=342>

设点P（X,-X2+2X+3）,则点H（x,-x+3）,

,71i

S\PNC-——=—xPKxCD=—xPHxsin45°x30,

APNC822

9

解得：PH=—=HG,

4

9

则=—x9+2x+3+尤一3二—，

4

93

直线〃的表达式为：y=—冗+3———X—...（2）,

44

联立①②并解得：》=3±3吟

~2

-3+66

4J

-3+6后、

【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结