2024年广东省广州市中考数学三模试卷（附答案解析）

2024年广东省广州市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一项正确）

1.（3分）赤道长约为40000000加，用科学记数法可以把数字40000000表示为（）

A.4X107B.40X106C.400X105D.40000X103

2.（3分）下列各数：-4,-2.5,0,I-1|,其中比-3小的数是（）

A.-2.5B.|-1|C.-4D.0

3.（3分）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

4.(3分)下列运算正确的是()

A.V9=±3B.7尸=-7

C.3ab-ab—2D.(-2x2)2—4x4

5.（3分）如图，在△NBC中，点。是边3c的中点，点尸在48边上，/E_LCF且/£平分/A4C,已知

DE=\,AC=4,则N3的长为（）

6.（3分）在边长为a的正方形中挖去一个边长为6的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一

个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）

A.(a+b)2—cr+lab+b~

B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.a2-b2=Ca+b)C-b)

第1页（共24页）

D.（a+2b）（a-2b）=a2-ab-2Z>2

7.（3分）口/BCD中，AB,8c的长分别等于一元二次方程x2-5x+6=0两根之和与两根之积，则对角线

/C长的取值范围是（）

A.AOIB.1<AC<6

C.AC>5^AC<nD.1<^C<11

8.（3分）如图，在Rt448C中，/4CB=90°,ZB=60°,BC=2,将△48C绕点C顺时针旋转得到

△HB'C,其中点与点/是对应点，点夕与点3是对应点.若点夕恰好落在边上，则点

A.3V3B.2V3C.2D.3

9.(3分)规定“△”为有序实数对的运算，如果(a,b)△(c,d)=iac+bd,ad+bc).如果对任意实

数a,6都有(a,b)△(x,y)=(a,b),则(x,y)为()

A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)

10.（3分）如图，在直角坐标系中，矩形/BCD的边48=4,BC=6,不改变矩形的形状和大小，当顶点

/在x轴正半轴上左右移动时，另一顶点。始终在y轴正半轴上随之上下移动.则下列说法:①当穿=|

时，对角线AD〃x轴；②在矩形运动过程中，C、。两点有最大距离8；③M为4D中点，当AODM

9

的面积是5时，△O/D是等腰三角形.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.（3分）因式分解：ax2-2ax+a—.

12.（3分）分式方程二7=1的解为__________.

x-1

第2页（共24页）

13.（3分）代数式彳三有意义时，x应满足的条件是_________.

V%—8

14.（3分）如图，在边长为4的正方形/BCD中，以点8为圆心，以N5为半径画弧，交对角线8。于点

E,则图中阴影部分的面积是（结果保留TT）.

15.（3分）如图，线段N5表示连通/、8两市之间的公路，两市相距150物?，分别从43处测得国家级

风景区中心C处的方位角如图所示，tana=1.6,tan0=1.4.则。处到公路48的距离为km.

北北

16.（3分）如图，中，/"6。。，3为火边上的中线，则而的最小值为---------------------

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（4分）解方程组守一厂6

（3%—5y=6

18.（4分）如图，点£、尸在线段3c上，AB//CD,NA=ND,BE=CF,证明：AE=DF.

19.（6分）已知H=（,_1）+°2―葬+'"0,b中0,且aW6）.

（1）化简〃；

（2）若数轴上点/、2表示的数分别为a,b,且/3=2,求〃的值.

第3页（共24页）

20.（6分）广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托.食堂为参加午托的960名

同学提供了/、B、C、。四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了240名进

行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计

图，部分信息如下:

ABCD套餐

（1）在抽取的240人中最喜欢N套餐的人数为,扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的

大小为;

（2）依据本次调查的结果，估计所有午托同学中最喜欢3套餐的人数；

（3）如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安

全监督员”，求甲被选到的概率.

21.（8分）史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚怀王对话，赞美东家之子“增之一分则太长，减之一分则太

短，著粉则太白，施朱而太赤…”.

（1）据考据，当时一分约为现在的0.3厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的1.03倍，

求其身高是多少厘米？

（2）楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共12匹制成裳，绢价每匹15钱，锦价每匹20钱，若锦的数量

不少于绢数量的2倍，请你为他设计一种购买方案，使所需总费用最低.

22.（10分）如图，点P是OO直径AB延长线上一点.

（1）尺规作图：在。。外作点使（只需作一种情况，不写作法，保留作图痕

迹）

（2）连接PM,OM,OM交于点、N.

①求证：PNA.ON；

②若/8=6,PB=2,求sin//PA/.

第4页（共24页）

23.(10分)如图，等边△0/8和等边△NFE'的一边都在x轴上，双曲线y=(">0)经过边03的中点

C和/£的中点D.已知等边△CM8的边长为4.

(1)求该双曲线所表示的函数解析式；

24.(12分)已知一次函数yi=4x-12的图象与x轴相交于点/,二次函数为=a/+bx+c的图象过点N

与8(-1,0).

(1)求c与。之间的等量关系式；

(2)若对于任意实数x,总有求二次函数的解析式；

(3)记(2)中抛物线与〉轴交点为C,点。为对称轴上一动点，当/2QC>45°时，求点0纵坐标

的取值范围.

25.(12分)如图，点/是圆中优弧。。上一动点，CB平分NACD,/G平分NLMC交3c于点G,AD

交BC于E.

1

(1)求证：乙4GC=900+，N。；

(2)若BE・BC=25,求5G的长；

CG一一

(3)记:=k,BG=a,/DAC=n°,求在点Z运动过程中，点G运动路径长(用含〃，a,左的式

AG

子表示).

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2024年广东省广州市中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一项正确）

1.（3分）赤道长约为40000000加，用科学记数法可以把数字40000000表示为（）

A.4X107B.40X106C.400X105D.40000X103

【解答】解：40000000用科学记数法可表示为4X1（）7,

故选：A.

2.（3分）下列各数：-4,-2.5,0,I-1|,其中比-3小的数是（）

A.-2.5B.|-1|C.-4D.0

【解答】解：-1|=1,

A-4<-3<-2,5<0<|-1|,

...比-3小的数是-4,

故选：C.

【解答】解：/、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意;

8、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

D,主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

故选：B.

4.（3分）下列运算正确的是（）

A.V9=±3B./（-7A=-7

C.3ab-ab=2D.（-2x2）2=4x4

【解答】解：4：M=3,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意;

£•••代"=7,.♦.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

C..二成-成二？％...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

D.•；（-2/）2=4x9.•.此选项的计算正确，故此选项符合题意；

故选：D.

第7页（共24页）

5.（3分）如图，在△45。中，点。是边5C的中点，点/在边上，/E_LCF且4E1平分NA4C,已知

DE=1,AC=4,则45的长为(

C.7D.8

【解答】解：•・[£平分NA4C,

・•・AFAE=ACAE,

U：AELCF,

：.ZAEF=ZAEC=90°,

在和△4EC中，

\LFAE=/-CAE

AE=AE,

Z-AEF=^AEC

；・LAFE咨LACE(ASA).

：.FE=EC.AF=AC=4,

・・•点。是边5c的中点，

：・DE为ACFB的中位线,

1

：.DE=]BF,

：.BF=2DE=2X1=2,

：.AB=AF+BF=6.

故选：B.

6.（3分）在边长为。的正方形中挖去一个边长为6的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一

个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）

A.(a+b)2=a^+lab+b1

第8页（共24页）

B.(a-b)2—a2-2ab+b2

C.a2-b~=(a+b)(a-b)

D.(a+2b)(a-26)=a2-ab-2b2

【解答】解：根据图甲可得阴影面积为广-庐，

根据图乙可得阴影面积为(a+6)(a-6),

可以验证等式次-庐=Q+b)Ca-b),

故选：C.

7.(3分)口/BCO中，AB,8C的长分别等于一元二次方程5x+6=0两根之和与两根之积，则对角线

/C长的取值范围是()

A.AOIB.1<AC<6

C.AC>5^AC<nD.1<^C<11

【解答】解：••ZB,BC的长分别等于一元二次方程x2-5x+6=0两根之和与两根之积，

.".AB=5,BC=6,

对角线/C长的取值范围是

故选：D.

8.(3分)如图，在RtZ\48C中，N4CB=9Q°,ZB=60°,BC=2,将△48C绕点C顺时针旋转得到

△⑷B'C,其中点H与点N是对应点，点中与点8是对应点.若点夕恰好落在边上，则点

/到直线HC的距离等于()

A.3V3B.2V3C.2D.3

【解答】解：过点工作4c于点D

由旋转得，BC=B'C,ZA'CA=ZBCB',

为等腰三角形，

第9页(共24页)

VZB=6Q°,

...△BC®为等边三角形，

/.ZBCB'=ZA'CA=60°.

在RtZk/BC中，/C=BC・tan60°=2xV3=2A/3,

在RtZUDC中，AD=AC'sm60°=2gx字=3,

•••点/到直线N'C的距离等于3.

故选：D.

9.(3分)规定"△”为有序实数对的运算，如果(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果对任意实

数q,b都有(a,b)△(x,y)=(a,b),则(％,y)为()

A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)

【解答】解：由定义，知

(a,b)△(x,y)=^ax+by,ay+bx)=(Q,b),

贝！Jax+by=a,①

ay+bx=b,②

由①+②，得

(a+b)x+(Q+6)y=a+b,

・・・Q,b是任意实数，

.\x+y=\,③

由①-②，得

(Q-6)x-(。-6)y=a-b,

：.x-y^l,(4)

由③④解得，

x=l,)=0,

(x,y)为(1,0)；

故选：B.

10.(3分)如图，在直角坐标系中，矩形的边45=4,BC=6,不改变矩形的形状和大小，当顶点

/在x轴正半轴上左右移动时，另一顶点。始终在y轴正半轴上随之上下移动.则下列说法:①当箸=|

时，对角线AD〃x轴；②在矩形运动过程中，C、。两点有最大距离8；③”为4D中点，当△ODM

9

的面积是5时，△CUD是等腰三角形.其中正确的是()

第10页(共24页)

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【解答】解：①连接3。，过点2作轴于E,如图1所示：

:四边形/BCD为矩形，AB=4,BC=6,

：.CD=AB=4,AD=BC=6,/DAB=90°,

••_O_D2

•—，

OA3

・••设OD=2Q,0A=3a,

在RtZXCM。中，由勾股定理得：。。2+。42=/。2,

即(2a)2+(3a)2=36,

，"1=邛F，。2=-耳身(不合题意，舍去)，

・八八——12月—8月

：3£口轴，

/.ZBEA=ZAOD=90°,BE//OD,

：.ZABE+ZBAE=90°,ZDAO+ZBAE=90°,

：./ABE=ZDAO,

：.△4BEs4DA0,

：.BE；OA=AB：AD,

8V13

即nnBE：13-=4：6,

.12B

••BE-,

：.BE=OD,

第11页（共24页）

'：BE//OD,

，四边形OEBD为平行四边形，

：.BD//OE,

即对角线轴，

故结论①正确；

②设4D的中点为连接（W,CM,OC,如图2所示:

OM=DM=AM=^AD=3,

在RtZXCDM中，由勾股定理得：CM=\CD2+DM?=5,

OM+CM=3+5=8,

根据“两点之间线段最短”得：OCWOM+CM,

即OCW8,

・・・。。的最大值为8,

故结论②正确；

③设OZ)=x,OA=y,

・・・M为4。中点，△。。河的面积是9/2,

S^OOAD=2S^ODM=9,

1

xy=9,

即2xy=36(i),

在RtZXCM。中，由勾股定理得：。。2+。/2=/。2,

即x2+y2=36(ii),

(ii)-(i)得：x2+y2-2xy=0,

(x-y)2=0,

.•x=y,

即OD=OA,

第12页（共24页）

••.△OAD是等腰三角形，

故结论③正确，

综上所述：正确的结论是①②③.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.（3分）因式分解：of-2ax+a=a（x-1）2.

【解答】解：ax2-2ax+a

=a（x2-2x+l）

=a（x-1）2.

故答案为：a（x-1）2.

2

12.（3分）分式方程一-=1的解为丁=3.

x-1

【解答】解：方程的两边同乘（X-1）,得

2=x-1,

解得i=3.

检验：把x=3代入（x-1）=2W0.

・••原方程的解为：x=3.

故答案为：x=3.

1

13.（3分）代数式7=^有意义时，x应满足的条件是x>8.

Vx—8

1

【解答】解：代数式及与有意义时，

x-8>0,

解得：x>8.

故答案为：x>8.

14.（3分）如图，在边长为4的正方形43CQ中，以点5为圆心，以为半径画弧，交对角线于点

E,则图中阴影部分的面积是8-211（结果保留IT）.

14S-7T-42

【解答】解：5阴=$口即-5扇形加£=/*4乂4—明犷=8-271,

第13页（共24页）

故答案为8-2n.

15.（3分）如图，线段43表示连通/、2两市之间的公路，两市相距150fow,分别从N、3处测得国家级

风景区中心C处的方位角如图所示，tana=1.6,tan0=1.4.则C处到公路N5的距离为50km.

北北

【解答】解：如图：过点。作CDLAB,垂足为D,

北北

AZACD^a,ZDCB=^,

tana=tanN/CD=1.6,tanP=tan/BCD=1.4,

设CD=xm,

在RtZ\4CQ中，AD=CD*tanZACD=1.6x(m),

在中，BD=CD*tanZBCD=1Ax(m),

U：AD+BD=AB,

1.6x+1.4x=150,

解得：x=50,

:・CD=50km,

・・・C处到公路的距离为50km,

故答案为：50.

16.（3分）如图，△/BC中，/B=60°,工。为3c边上的中线，则啜的最小值为—历:国

第14页（共24页）

B

【解答】解：建立如图所示坐标系，过4作垂足为点E,设CD=BD=a,BE=m

因为48=60°,则4£=值机，则/(m-a,

V3m),C(a,0)

.".AC2=Cm-2a)2+3m2>AD1=(m-a)2+3m2

AC2(m—2a)2+3m2

AD2(m—a)2+3m2''

整理得4(1-Z)m2-2(2-am+(4-t)a2=0

因为NC,为线段，所以才存在，

A=4(2-t)cr-16a2(一)(4-z)20

V4a2>0,

-3於+16「⑵》0,

8-2V78+2"

二—"『一，

22

Bn(l-V7)AC?(1+V7)

3-A£>2-3

V21-V3ACVH+V3

-----------<<-----------，

3~AD~3

因此空的最小值为空遗.

第15页（共24页）

y八

5-

A*3

一5一4一3区2至10°12c345x

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（4分）解方程组修飞晨.

3x—y=6①

【解答】解:

3%—5y=6②'

①-②得一=0,

把y=0代入①得：x=2,

...方程组的解为：［二］

18.（4分）如图，点、E、尸在线段3c上，AB//CD,NA=/D,BE=CF,证明：AE=DF.

【解答】证明：

/B=/C.

在△4&E■和△£＞中中，

Z-A=乙D,

=乙C,

{BE=CF,

：.AABE^ADCF(AAS).

第16页（共24页）

：.AE=DF.

19.(6分)己知H=([-4)+包二驾空(aWO,bWO,且

vbayZab

(1)化简X;

(2)若数轴上点/、8表示的数分别为a,b,且N3=2,求〃的值.

【解答】解⑴"=44)一包二鼾

_a—b.(a—b)2

-ab'2ab

_a—b2ab

~ab(a-b)2

2

-a—b；

(2)•・♦数轴上点4、5表示的数分别为q,b,且45=2,

••a-b=±2,

2

：.H=^=±1.

20.(6分)广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托.食堂为参加午托的960名

同学提供了4、B、C、。四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了240名进

行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计

图，部分信息如下：

调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图

(1)在抽取的240人中最喜欢/套餐的人数为60,扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小

为108。；

(2)依据本次调查的结果，估计所有午托同学中最喜欢3套餐的人数；

(3)如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安

全监督员”，求甲被选到的概率.

【解答】解：(1)在抽取的240人中最喜欢N套餐的人数为：240义25%=60,

第17页(共24页)

扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为：360°X240~6°~84-24=108°,

Z4U

故答案为：60,108°；

Q4

(2)960x^=336(人),

Z4U

答：估计所有午托同学中最喜欢8套餐的有336人;

（3）树状图如下所示,

开始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

由上可得,一共有12种等可能性，其中甲被选到的可能性有6种,

故甲被选到的概率为记=

21.（8分）史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚怀王对话，赞美东家之子”增之一分则太长，减之一分则太

短，著粉则太白，施朱而太赤…”.

（1）据考据，当时一分约为现在的0.3厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的1.03倍,

求其身高是多少厘米?

（2）楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共12匹制成裳，绢价每匹15钱，锦价每匹20钱，若锦的数量

不少于绢数量的2倍，请你为他设计一种购买方案，使所需总费用最低.

【解答】解：（1）设东家之子的身高是x厘米,

根据题意得：x+0.3X10=1.03(x-0.3X10),

解得：x=203.

答：东家之子的身高是203厘米;

（2）设购买机匹绢，则购买（12-〃力匹锦,

根据题意得：12-"?22加,

解得：机W4.

设所需总费用为.钱，贝!Jw=15冽+20（12-m）,

即w=-5冽+240,

V-5<0,

第18页（共24页）

.'.W随m的增大而减小,

，当加=4时，w取得最小值，此时12-加=12-4=8.

答：当购买4匹绢，8匹锦时，所需总费用最低.

22.（10分）如图，点P是。。直径AB延长线上一点.

（1）尺规作图：在。。外作点使（只需作一种情况，不写作法，保留作图痕

迹）

（2）连接尸M,OM,（W交。。于点N.

①求证：PN±ON；

②若48=6,PB=2,sinZAPM.

(2)①证明：VOM=AM.AO=OB=ON,

：.ON=MN,

'：PO=PM,

：.PN±OM；

②过点M作MHLAP于点H.

1

•：ON=*B=3,OP=AB+PB-AO=6+2-3=5,

■:PN上OM,

第19页（共24页）

：.PN=>JOP2-ON2=V52-32=4,

11

•：S^OPM=于OM・PN=^OP*MH,

・Am6x424

・・MH=—g—=飞

“MHF24

..sm//PM=^=^=否.

23.（10分）如图，等边△0/2和等边△/FE■的一边都在x轴上，双曲线>=[">0）经过边03的中点

。和/£的中点D.已知等边△0/2的边长为4.

（1）求该双曲线所表示的函数解析式;

（2）求等边△/跖的边长.

【解答】解：（1）过点C作CGLCU于点G,

1/点C是等边△0/2的边的中点，

AOC=2,ZAOB=60°,

；.0G=l,CG=OG・tan60°=1«V3=V3,

...点C的坐标是（1,V3）,

__ki—

由,二j,得：k=V3,

该双曲线所表示的函数解析式为

（2）过点。作/于点区设AH=a,则ba.

.•.点。的坐标为（4+a,V3a）,

...点。是双曲线y=§上的点,

由孙二遮，得V5a（4+Q）=V3,

即：a2+4a-1=0,

第20页（共24页）

解得：ai=V5-2,ao=—V5—2（舍去）,

:.AD=2AH=2层-4,

，等边△/M的边长是2/。=4*-8.

24.(12分)已知一次函数yi=4x-12的图象与x轴相交于点/,二次函数乃=a/+bx+c的图象过点N

与8(-1,0).

(1)求c与。之间的等量关系式；

(2)若对于任意实数x,总有竺-/，0,求二次函数的解析式；

(3)记(2)中抛物线与〉轴交点为C,点。为对称轴上一动点，当/5QC>45°时，求点。纵坐标

的取值范围.

【解答】解：(1)一次函数勿=4x-12的图象与x轴相交于点/,则点/(3,0),

由题意得，抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即c=-3a；

(2)由对于任意实数x,总有知，抛物线和一次函数只有一个交点/,

联立两个函数表达式得：a(x2-2x-3)=4x-12,

则公=(2a+4)2-4a(12-3a)=0,

解得：a=l,

则抛物线的表达式为：y=/-2x-3；

(3)作△/8C的外接圆E,根据函数和圆的对称性点E在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交圆

于点P、P',

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故当点Q在P、P'之间时，ZBQC>45°,

设点£(1,m),

由N£=C