高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第15讲第三章一元函数的导数及其应用(基础卷)(原卷版+解析)

第15讲第三章一元函数的导数及其应用（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）设函数，则（

）A．5 B． C．2 D．2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数满足（为的导函数），则（

）A． B． C．1 D．3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数的图像大致是（

）A． B．C． D．4．（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）曲线在处的切线的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（

）A． B．C． D．7．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点求的取值范围（

）A． B． C． D．8．（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（

）A． B． C． D．10．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数，则下列说法正确的是（

）A．在处有最小值B．1是的一个极值点C．当时，方程有两异根D．当时，方程有一根11．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（

）A．存在常数，使得与是伴侣函数B．存在常数，使得与是伴侣函数C．与是伴侣函数D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数12．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）若为正实数，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，则___．14．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________.15．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为_______________．（将你认为正确的函数的代号填在横线上）16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为_________；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为____________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值．(1)求，的值；(2)求曲线在点处的切线方程．18．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19．（2023春·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数的减区间是，求a的值；(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，且．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．21．（2023·北京房山·统考一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间；(3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.22．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设函数，其中．函数是函数的导函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；(3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．第15讲第三章一元函数的导数及其应用（基础卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）设函数，则（

）A．5 B． C．2 D．【答案】A【详解】故选：A2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数满足（为的导函数），则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】，当时，，解得，故，所以.故选：D3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，则，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除；当时，，，由，得，令，得，所以函数在上递减，在上递增，故排除、；故选：D4．（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）曲线在处的切线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】，所以，因此切线的斜率为，又，由点斜式可得切线方程为，故选：B5．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而在区间上单调递减，，∴k的取值范围是，故选：B．6．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，设，则，所以在上是增函数，又，所以，即，故选：B.7．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点求的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，令，即有两个左右异号的实根，所以在上有两个交点，令，记在上单调递减，且，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以，当趋向于时趋向；当趋向于时趋向，综上，当，即时在上有两个交点.故选：A8．（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，关于的方程有且仅有四个相异实根，根据对称性知，时，有且仅有两个相异实根，即在上有两个不相等的实数根，化简得：.令，，由，得，由，得，在为减函数，为增函数，又时，，时，，的简图如图所示：直线恒过点，，，时，此时直线相切，直线与曲线只有一个公共点，此时方程在上有一个实数根，不符合题意；由图可知当或时，直线与均有两个公共点，即方程在上有两个不相等的实数根，∴关于的方程有且仅有四个相异实根时，的取值范围为.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为的定义域为R，，令得：或，所以在区间，上单调递增．故选：AC．10．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数，则下列说法正确的是（

）A．在处有最小值B．1是的一个极值点C．当时，方程有两异根D．当时，方程有一根【答案】BC【详解】对AB，，则，故在处有唯一极大值，即最大值，B对A错；对CD，，又，.故当时，图象与图象有两个交点，即方程有两异根；当，图象与图象无交点，即方程无根，C对D错.故选：BC11．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（

）A．存在常数，使得与是伴侣函数B．存在常数，使得与是伴侣函数C．与是伴侣函数D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数【答案】AD【详解】A选项：由题意得，故存在，使得恒成立，故A正确；B选项：由题意得，由于为单调递增函数，且值域为，因此不存在，使得恒成立，故B错误；C选项：由题意得，令函数，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，不满足，故C错误；D选项：令，则，所以为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）不妨令，故存在，使得恒成立，故D正确.故选：AD12．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）若为正实数，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】解：对于A选项，因为函数在上单调递减，故当时，，故A选项错误；对于B选项，由于函数在上单调递增，故当时，，故B选项正确；对于C选项，令，则，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以与大小不定，故C选项错误；对于D选项，令，则在上恒成立，故函数在上单调递增，所以，当时，，即，故D选项正确.故选：BD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，则___．【答案】【详解】由已知得，，.故答案为：.14．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________.【答案】##【详解】，，在处的切线与垂直，，解得：.故答案为：.15．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为_______________．（将你认为正确的函数的代号填在横线上）【答案】①③【详解】对于①，，，所以，又，，则是的双重不动点；对于②，，，，令，当时，由基本初等函数图象易知，所以，当时，显然成立，所以不存在，使得，故函数不是具有双重不动点的函数；对于③，，，则，又，，所以是函数的双重不动点；综上，具有双重不动点的函数是①③.故答案为：①③.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为_________；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为____________.【答案】

##

【详解】①定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，故是函数的极大值也是最大值；②当时，，当时，，当时，，由即，解得或，显然只有一个解，所以方程有两个不同的解，所以，解得，故t的取值范围为.故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值．(1)求，的值；(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由函数，可得，因为在处取得极值，可得，即，整理得，解得，经检验，当时，，令，解得或；令解得，所以在单调递增，单调递减，单调递增，所以在处取得极值，且符合题意，所以.（2）解：由（1）得，函数且，则，即切线的斜率为且，所以曲线在点处的切线方程为，即．18．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）.则曲线在点处的切线方程为，即.（2），即.令，由条件可知，对任意的恒成立.因为，所以在上单调递增.因为，所以当时，，所以.故实数的取值范围为.19．（2023春·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数的减区间是，求a的值；(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)4(3)【详解】（1），当时，，，在点处的切线方程为，即（2）函数的减区间是(-1，4)，而令，当时，，单调递减，，当时，，单调递减，不符合题意，当，无实数解，不符合题意,故.（3）=令，所以，令得，当时，；当时，故在上递减；在上递增所以，即，所以，实数的取值范围是.20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，且．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，∴，解得：，∴，则，∴在点处的切线方程为：，即．（2）由（1）知：，则，∴当时，；当时，；∴在，上单调递增，在上单调递减，又，，，，∴，，由，有，即函数与的图像有三个交点，则有实数m的取值范围为．21．（2023·北京房山·统考一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间；(3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.【答案】(1)(2)的单调递增区间为和，单调递减区间为(3)证明见解析【详解】（1）由可得，当时，，，在点处的切线方程为；（2