第21章一元二次方程复习讲义-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第1页（共1页）第21章一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版eq\o\ac(○,热)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)高频考点梳理高频考点梳理1．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．3．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．5．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．7．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．清易错清易错1．解下列一元二次方程：（1）x2﹣4＝0；（2）2x2﹣3x﹣2＝0（公式法）；（3）x2﹣4x﹣2＝0（配方法）；（4）3（x+2）＝2x（x+2）．【解答】解：（1）x2﹣4＝0，x2＝4，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2；（2）2x2﹣3x﹣2＝0，∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣2）＝25，∴x＝＝，解得：x1＝﹣，x2＝2；（3）x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝6，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（4）3（x+2）＝2x（x+2）（3﹣2x）（x+2）＝0，3﹣2x＝0，x+2＝0，解得：x1＝，x2＝﹣2．2．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，解得：x＝﹣，a＝，即a＝，方程的另一个根为﹣；（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，∴t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+4＝0，解得t＝2．答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；（2）当S△PCQ＝S△ABC时，t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．eq\o\ac(

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,学)精选好题精选好题一．选择题（共8小题）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣3x+1＝0 B．3x+2y＝0 C．3x﹣2＝0 D．2．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（）A．二次项系数是2 B．一次项系数是﹣3x C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝1，配方后的结果是（）A． B．（2x﹣1）2＝0 C．（x﹣1）2＝2 D．4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根．则2024﹣2a+2b的值为（）A．2019 B．2020 C．2022 D．20235．已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠06．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．25（1+x）2＝182 B．25+25（1+x）+25（1+2x）＝91 C．25（1+2x）＝91 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝918．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（）A．100（1+x）2＝121 B．100（1+x%）2＝121 C．100（1+2x）＝121 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121二．填空题（共8小题）9．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个实根（填“相等”或“不等”）．10．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为．11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1＝3，x2＝﹣2，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0（a≠0）的两根分别为．12．若一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为a，b，则a+b＝．13．关于x的方程x2﹣2x+2sinA＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角，则∠A＝．14．若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0的两个实根分别是α，β，若α2+β2＝35，则m的值为．16．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为．三．解答题（共6小题）17．解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．18．已知a是方程2x2﹣5x﹣3＝0的一个根，求代数式a（2a﹣5）+3的值．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．（1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根；（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．20．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．21．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率；（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨y元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车．②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？（日收益＝总租金﹣各类费用）22．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（m2），求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2？

第21章一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣3x+1＝0 B．3x+2y＝0 C．3x﹣2＝0 D．【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，2x2﹣3x+1＝0只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故A选项符合题意．3x+3y＝0含有两个未知数，故B选项不符合题意．3x﹣2＝0只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，故C选项不符合题意．只含有一个未知数，但不是整式方程，故D选项不符合题意．故选：A．2．对于一元二次方程2x2+1＝3x，下列说法错误的是（）A．二次项系数是2 B．一次项系数是﹣3x C．常数项是1 D．x＝1是它的一个根【解答】解：原方程一般式为：2x2﹣3x+1＝0，∴二次项系数是2，一次项系数是﹣3，常数项是1，A、C正确，B错误，当x＝1时，2×12+1＝3，∴x＝1是它的一个根，D正确，故选：B．3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝1，配方后的结果是（）A． B．（2x﹣1）2＝0 C．（x﹣1）2＝2 D．【解答】解：∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，故选：C．4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根．则2024﹣2a+2b的值为（）A．2019 B．2020 C．2022 D．2023【解答】解：把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0，得a﹣b﹣1＝0，故a﹣b＝1，∴2024﹣2a+2b＝2024﹣2（a﹣b）＝2022，故选：C．5．已知方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥1 C．k≤1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【解答】解：当k＝0时，方程化为2x﹣1＝0，解得；当k≠0时，则Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≥﹣1．故选：A．6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：根据题意得：每轮传染中平均一个人传染了x人，∴（1+x）2＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去），故选：B．7．某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．25（1+x）2＝182 B．25+25（1+x）+25（1+2x）＝91 C．25（1+2x）＝91 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝91【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意，得25+25（1+x）+25（1+x）2＝91．故选：D．8．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（）A．100（1+x）2＝121 B．100（1+x%）2＝121 C．100（1+2x）＝121 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意得100（1+x）2＝121．故选：A．二．填空题（共8小题）9．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不等实根（填“相等”或“不等”）．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0该方程有两个不相等的实数根．故答案为：不等．10．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为﹣1．【解答】解：由题知，m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1＝3，x2＝﹣2，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0（a≠0）的两根分别为x1＝4，x2＝﹣1．【解答】解：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1＝3，x2＝﹣2，∴关于x﹣1的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0（a≠0）的解为：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝4，x2＝﹣1，故答案为：x1＝4，x2＝﹣1．12．若一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为a，b，则a+b＝2．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为a，b∴．故答案为：213．关于x的方程x2﹣2x+2sinA＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角，则∠A＝30°．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2sinA＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2sinA＝0，解得：．又∵∠A是锐角三角形ABC的一个内角，∴∠A＝30°．故答案为：30°．14．若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为10．【解答】解：方程x2+6x﹣1＝0，移项得：x2+6x＝1，配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，则n＝10．故答案为：10．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0的两个实根分别是α，β，若α2+β2＝35，则m的值为3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有实数根，∴Δ≥0，即[﹣（2m+1）]2﹣4（m2﹣2）≥0，整理得：4m+9≥0，解得：m≥﹣，∵该方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0的两个实数根分别为α，β，∴α+β＝2m+1，αβ＝m2﹣2，∵α2+β2＝35，∴（α+β）2﹣2αβ＝35，即（2m+1）2﹣2（m2﹣2）＝35，整理得：m2+2m﹣15＝0，即（m﹣3）（m+5）＝0，解得：m＝﹣5（舍去）或m＝3，则m的值为3．故答案为：3．16．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为4．【解答】解：x2+12x＝m，∵阴影部分的面积为64，∴x2+12x＝64，设4a＝12，则a＝3，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为64+32×4＝64+36＝100，则该方程的正数解为10﹣6＝4，故答案为：4．三．解答题（共6小题）17．解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝2+1，∴（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），∴4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝0，则（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，∴2x﹣1＝0或4x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝．18．已知a是方程2x2﹣5x﹣3＝0的一个根，求代数式a（2a﹣5）+3的值．【解答】解：∵a是方程2x2﹣5x﹣3＝0的一个根，∴2a2﹣5a﹣3＝0，∴2a2﹣5a＝3，∴a（2a﹣5）+3＝2a2﹣5a+3＝3+3＝6．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．（1）若方程的一个根为﹣1，求k的值和方程的另一个根；（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：把x＝﹣1代入方程可得1+（k+2）+k﹣1＝0，解得k＝﹣1，当k＝﹣1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，即方程的另一根为2；（2）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8＞0，∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．20．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．【解答】解：（1）由题意得a＝1，b＝﹣2，c＝k﹣1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝8﹣4k≥0，解得k≤2；（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，x﹣2x1+k﹣1＝0，∴x＝2x1﹣k+1，∵，∴，∴，解得k＝2或5，由（1）知k≤2，则k＝2．21．某汽车租赁公