2.3.2两条直线的交点坐标课件高二上学期数学选择性

两条直线的交点坐标第2章平面解析几何初步湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义,并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标;2.能够根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系;3.能根据两条直线相交的性质求待定参数.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点两直线的交点坐标设两条直线方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的关系方程组的解的情况一组解无解无数组解直线l1与l2的公共点个数一个零个无数个直线l1与l2的位置关系

相交

平行重合名师点睛1.点与直线关系的几何意义及其表示几何元素及关系代数表示点MM(a,b)直线ll:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)点M在直线l上Aa+Bb+C=0直线l1与l2的交点是M方程组

的解是2.两直线的交点坐标与两直线的方程构成的方程组之间的关系如果两条直线相交,则交点一定同时在这两条直线上,且交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解;如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的交点.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两直线方程构成的方程组可以有两个解.(

)(2)若两直线方程构成的方程组的解集不是空集,则两直线不会平行.(

)(3)两直线方程构成的方程组的解集最多只有一个元素.(

)×√×2.若直线l1:x-2y=0与l2:2x-ay+3=0构成的方程组无解,则实数a的值为(

)A.2 B.3C.-2 D.4D解析

依题意,直线l1,l2构成的方程组无解,则两直线平行,即(-a)-(-2)×2=0,且1×3-2×0≠0,解得a=4.3.若直线l1:x+ay-4=0与直线l2:bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),则a=

,b=

.

2-2解析

将P(2,1)代入直线l1:x+ay-4=0,得2+a-4=0,解得a=2;将P(2,1)代入直线l2:bx-y+5=0的方程可得2b-1+5=0,解得b=-2.重难探究·能力素养速提升探究点一两直线的交点坐标的求法【例1】

判断下列各组中两条直线之间的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:x-y=0,

l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0.分析

联立两直线的方程构成的方程组,通过方程组是否有解及解的个数,确定直线位置关系及交点的坐标.①×2-②得9=0,矛盾.由此可知方程组无解,所以直线l1与l2平行.①×2得6x+8y-10=0.说明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解.因此直线l1与l2重合.规律方法

根据两相交直线的直线方程求直线的交点的方法将两条直线的方程联立,得方程组

若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数组解,则两直线重合.变式训练1判断下列各组中直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:2x-3y=7,

l2:4x+2y=1;②×6得6y=2x+4,整理得2x-6y+4=0,说明方程①是方程②的6倍,方程②的解都是方程①的解.因此直线l1与l2重合.探究点二过两直线的交点的直线方程的求法【例2】

求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.分析

解方程组求出两直线的交点坐标,利用条件求出直线的方程,也可以设过两直线的交点的直线方程,利用条件求解.当直线在两坐标轴上的截距不为0时,设直线的方程为x+y=a,将点(-4,3)代入可得a=-1,整理得直线方程为x+y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.(方法2)由于直线2x+5y-7=0在两坐标轴上的截距不相等,设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.规律方法

过两直线的交点的直线方程的求法

方法过程结论方程组法解方程组求出交点坐标根据交点及其他条件求解直线系法先设出过两条直线交点的直线方程利用条件求直线系中的参数得方程说明:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)(其中λ为参数).变式训练2求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.(方法2)∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l的方程为12x+9y-18=0,整理得4x+3y-6=0.探究点三直线过定点问题【例3】

求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点.求出这个定点的坐标.证明(方法1)对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m为什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).(方法2)以m为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.所以不论m取什么实数,该直线都经过定点(2,-3).规律方法

求解含有参数的直线过定点问题的方法(1)给直线中的参数任意赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点.(2)分项整理,将含参数的项并为一项,不含参数的项并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.变式训练3求证:不论m为何值时,直线l:y=(m-1)x+2m+1一定过第二象限.证明(方法1)直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),∴直线l过定点(-2,3).由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限.(方法2)直线l的方程可化为(x+2)m-(x+y-1)=0.∴无论m取何值,直线l总经过点(-2,3).∵点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限.本节要点归纳1.知识清单:两直线交点的坐标与两直线方程构成的方程组解的关系.2.方法归纳:解方程组法判断两直线交点的个数及求两直线的交点,设直线系方程求解过两直线的交点的直线方程;特殊值法与转化法求直线过定点问题.3.注意事项:两直线的交点的个数可以转化为直线的方程构成的方程组解的个数,使用直线系方程时要注意验证与参数结合的直线是否满足题意.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.下列直线与直线x+y=0只有一个交点的是(

)A.y=-x+3 B.-x-y+=0C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0C解析

由题可知,A,B,D选项中的直线均与x+y=0平行,只有C选项中的直线与x+y=0相交.故选C.12345678910111213141516172.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为(

)A.(3,2) B.(2,3)C.(-2,-3) D.(-3,-2)B12345678910111213141516173.关于x,y的方程组

没有实数解,则实数a的值是(

)A.4 B.2

C.-4 D.-2C解析

依题意得直线2x-ay+1=0与直线x+2y-1=0平行,且a≠0.所以

,解得a=-4.故选C.12345678910111213141516174.已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是(

)A.-6 B.6

C.2

D.-2B解析

由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2).将点(0,2)代入2x+3y-k=0,可得k=6.12345678910111213141516175.三条直线x=2,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为

.

-2解析

设三条直线交于一点P,即P点坐标为(2,1).∵直线x+ky=0过点P,即2+k=0,解得k=-2.12345678910111213141516176.经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线x+y=1平行的直线方程为

,与直线x+y=1垂直的直线方程为

.

x+y-3=0x-y-1=0由于直线x+y=1的斜率为k=-1,因此过交点且与直线x+y=1平行的直线方程为y-1=-(x-2),整理得x+y-3=0.过交点且与直线x+y=1垂直的直线方程的斜率为1,则所求直线方程为y-1=x-2,整理得x-y-1=0.12345678910111213141516177.已知两直线l1:3x-y+4=0和l2:x+y-4=0.(1)判断两直线是否相交,若相交,求出其交点;(2)求过直线l1与l2的交点且斜率为-2的直线方程.(2)(方法1)∵所求直线斜率为-2,且过直线l1与l2的交点,则所求的直线方程为y-4=-2(x-0),整理得2x+y-4=0.(方法2)显然x+y-4=0不是所求方程,可设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0(λ∈R),整理得(3+λ)x+(λ-1)y+4(1-λ)=0,∴-=-2,解得λ=5.整理得所求直线方程为2x+y-4=0.1234567891011121314151617B级关键能力提升练8.[2024甘肃甘南高二期中](多选题)已知三条直线:直线l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0,l3:2x-y-5=0不能围成一个封闭图形,则实数a的值可以是(

)A.-2 B.1

C.2

D.3ABC解析

若l1,l2,l3中有两条相互平行,或三条线过同一点都不可以围成封闭图形,若l1∥l2,由两直线平行与斜率之间的关系可得a=1;若l1∥l3,由两直线平行与斜率之间的关系可得a=-2;12345678910111213141516179.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为(

)A.(1,3) B.(-1,3)C.(3,1) D.(3,-1)D解析

直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则已知直线一定过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.解方程组

所以所求定点为(3,-1).故选D.123456789101112131415161710.若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0交点在第一象限,则实数k的取值范围为(

)C123456789101112131415161711.△ABC中,A(1,5),高BE,CF所在的直线方程分别为x-2y=0,x+5y+10=0,则BC所在直线的方程是(

)A.x+4y=0B.5x-y=28C.3x+5y=0D.5x-3y=28C123456789101112131415161712.(多选题)若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为(

)A.1 B.-1 C.2

D.-2AD解析

由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行.∵直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行,∴直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行.∵直线x-y+1=0的斜率为1,直线2x+y-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a,∴a=1或a=-2.故选AD.123456789101112131415161713.已知定点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是

.

(-1,0)解析

当直线AB和直线x+y+1=0垂直时,线段AB的距离最短,此时直线AB的方程的斜率为k=1,所以直线AB的直线方程为y=x+1.123456789101112131415161714.已知△ABC的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),则顶点C的坐标为

.

(6,-6)又kAH=0,∴BC所在直线与x轴垂直,故直线BC的方程为x=6,联立直线AC与BC的方程得点C的坐标为C(6,-6).123456789101112131415161715.若△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x