清单15 相似三角形的性质与判定（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）（含答案解析）

清单15相似三角形的性质与判定（3个考点梳理+17种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】考点一相似三角形的判定判断定理一：三边成比例的两个三角形相似，即：若ABA'B'【技巧】判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.判断定理二：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似.即：若ACA'C'=BC判断定理三：两个角分别相等的两个三角形相似.

即：若∠C=∠C'，∠B=∠判断定理四：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.即：在Rt△若ABA'B则Rt【考试题型1】添加条件使两个三角形相似1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC和Rt△A'B'CA．∠A=∠A' B．ACA'C'【答案】D【分析】本题考查了三角形相似的判定，掌握判定方法，理解相似中的对应边是解题的关键．【详解】解：A.用“两角对应相等的两三角形相似”可判断Rt△ABC∽B.用“两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似”可判断Rt△ABC∽C.用“两角对应相等的两三角形相似”可判断Rt△ABC∽D.AB与A'C'，AC与B故选：D．2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∼△ACB，下列不满足的条件是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APBP=AC【答案】C【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，逐项判断即可．【详解】解：∵在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∼△ACB，故A不符合题意．当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∼△ACB，故B不符合题意．当APBP=ACCB时，其夹角不相等，则不能判断当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∼△ACB，故D3．（2023上·河北保定·九年级统考期中）如图，添加下列一个条件，不能判断△ABD与△ABC相似的是（

）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．ABAC=AD【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，A、添加∠ABD=∠C，可利用AA证得△ABD与△ABC相似，故本选项不符合题意；B、添加∠ADB=∠ABC，可利用AA证得△ABD与△ABC相似，故本选项不符合题意；C、添加ABAC=ADAB，可利用SAS证得D、添加ABBC=ADBD不能判断故选：D4．（2023上·广西百色·九年级统考期中）如图示，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是（请填写序号）①∠D=∠B②∠C=∠AED③ABAD=【答案】①②③【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE即：∠BAC=∠DAE①若∠D=∠B，则△ABC∽△ADE（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；②若∠C=∠AED，则△ABC∽△ADE（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；③若ABAD=AC④ABAD=BC故答案为：①②③5．（2019·黑龙江佳木斯·九年级统考学业考试）如图，E,F,G是正方形ABCD边上的点，添加一个条件，使ΔEBF∽ΔFCG(填一个即可)．【答案】∠BEF=∠CFG等【分析】根据相似三角形的判定添加条件即可.【详解】解：∵△EBF∽△FCG，∠B=∠C，∴可添加∠BEF=∠CFG，故答案为：∠BEF=∠CFG（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．【考试题型2】根据图形数据判断两个三角形相似1．（2023上·全国·九年级专题练习）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．

【答案】△ABC∽△DEF．理由见解析【分析】根据ACDF【详解】解：△ABC∽△DEF．理由如下：由题意知，AC=3，BC=3.5，AB=4∴△ABC∽△DEF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．（2023上·北京通州·九年级统考期中）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O．

(1)写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；(2)请任选一对进行证明．【答案】(1)△AOE，△BOD，△BCE（写出一个即可）(2)证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．（1）由于△ACD是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可找到与△ACD相似的三角形；（2）可选择△AOE与△ACD，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可．【详解】（1）与△ACD相似的三角形有△AOE，△BOD，△BCE，故答案为：△AOE，△BOD，△BCE（写出一个即可）．（2）△AOE∽△ACD证明：∵△ABC的高AD，BE相交于点O，∴∠AEO=∠ADC=90°．∵∠OAE=∠CAD，∴△AOE∽△ACD．

【考试题型3】确定相似三角形的对数1．（2021上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏．【详解】解：∵AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADC=∠ADB=90°，∵∠BAD=∠BAD，∴△AEO∽△ADB；∵∠BCE=∠OCD，∴△CDO∽△CEB，∵∠AOE=∠COD，∴∠AEO∽△CDO，∴∠AEO∽△CEB,△CDO∽△ADB，∴△ADB∽△CEB；综上：图中相似三角形的对数为6；故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．2．（2022上·河南洛阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；【详解】解：∵AD⊥CB，∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAC＝∠ADC＝90°又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，∴△ADC∽△BAC∽△BDA，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．3．（2021下·全国·九年级专题练习）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（

）．A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】B【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2=∠1，利用三角形内角和得到∠3=∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AFDF=EFFC，而∠AFD=∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以【详解】解：如图，∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1，∴∠3=∠4，△ABC∽△ADE，∴△AFE∽△DFC，∴AFDF∵∠AFD=∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，∴∠3=∠5，∴△ABD∽△AEC故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题．4．（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，则图中相似三角形的对数是（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【答案】D【分析】由AD⊥BC，CE⊥AB，可得∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ABD＝90°，然后由∠A，∠B是公共角，∠AFE与∠CFD是公共角，可证得△AEF∽△CEF∽△ADB∽△CEB．【详解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠ADC＝∠BEC＝∠ABD＝90°，∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∵∠B是公共角，∴△ABD∽△CBE，∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ADB，∴△AEF∽△CDF∽△ADB∽△CEB．∴图中相似三角形的对数是6对．故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【考试题型4】证明两个三角形相似1（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在△ABC外，∠BAD=(1)求证：△ABC∽△ADE．(2)若AD=4，AB=5，BC=8，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE=【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例，是解题的关键．（1）根据∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，根据三角形的外角定理得出∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，则∠ADE=∠B，即可求证△ABC∽（2）根据相似三角形对应边成比例，得出ABAD【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE++∠DAC，即∠BAC=∠DAE，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠∴∠ADE=∠B，∵∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽（2）解：由（1）得：△ABC∽∴AB∵AD=4，AB=5，BC=8，∴5∴DE=322．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，BD，过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E，求证：

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，（1）中的其它条件不变，点M，N分别是BD，EC的中点，连接AN，

①求证：AE=AC﹔②求证：△ABE∽△AMN．【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②证明见详解【分析】（1）由∠BCD=90°，（2）①证△BAE≌△DACAAS②由①中结论可得AM⊥BD，AN⊥EC，则AE本题主要考查三角形的全等判定及性质，相似三角形的证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．【详解】证明（1）∵∠BCD=90°，∴∠E+∠ACE=90°，∠ACD+∠ACE=90°，∴∠E=∠ACD（2）①∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵∠E=∠ACD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACAAS∴AE=AC．②∵△BAE≌△DAC，∴AE=AC，∵M、N分别是∴AM⊥BD，∴AEAN∴∠BAE=∠MAN，∴△BAE∽△MAN．3．（2023上·山东聊城·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上．求证：△ABC∽△DEF．

【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明．【详解】证明：由图可知，AB=EF=12+12

∴BC:AB:AC=1:2EF:ED:FD=2:2:∴△ABC∽△DEF．4．（2023上·广西桂林·九年级校考期中）在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且(1)求证△ABD∽△DFE；(2)若CE=5，求CD【答案】(1)见解析(2)CD=5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；（1）利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论；（2）利用△ABD∽△DFE，求出DF=4，再证△EFC∽△DEC，可求FC=1，进而解答即可．【详解】（1）∵∠EFD=45°，∠B=45°，∴∠B=∠EFD，∵Rt△ADE∴∠ADE=45°，∵∠ADF=∠ADE+∠EDF=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠EDF，∴△ABD∽△DFE；（2）由（1）知△ABD∽△DFE，∴ABDF∵Rt△ADE∴ADDE∴ AB∵AB=22∴DF=4，∵Rt△ADE是等腰直角三角形，∵∠EFD=45°∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°，又∵∠C=∠C，∴△EFC∽△DEC，∴DC:EC=EC:CF，即EC∵EC=5∴5=FC(4+FC)，∴FC=1（负的已舍），∴CD=FC+FD=1+4=5．5．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．

(1)∠ABC=___________°；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．【答案】(1)135(2)△ABC∼△DEF，证明见解析【分析】（1）利用，网格以及勾股定理解决问题即可．（2）结论：△ABC∼△DEF．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【详解】（1）解：观察图形可知，∠ABC=135°，BC=2故答案为135（2）解：结论：△ABC∽△DEF．理由：∵AB=2，BC=22，DE=2，∴ABDE∵∠ABC=∠DEF，∴△ABC∽△DEF．【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是网格与勾股定理的应用，相似三角形的判定定理．6．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=3AD，AC=3AE．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)如果△ADE的面积为10，则四边形BCDE的面积为______．【答案】(1)证明见解析(2)80【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积关系等知识；在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；（1）由题意得AE:AC=AD:AB=1:3根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出S△ADES△ABC【详解】（1）证明：∵AB=3AD,AC=3AE，∴AE:AC=AD:AB=1:3又∵∠A=∠A，∴△ADE∽（2）解：∵△ADE∽∴S△ADE∵△ADE的面积为10，∴△ABC的面积为90，∴S四边形【考试题型5】找网格中的相似三角形1．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，则与△ABC相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定．先求出每条边的长度，再根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．【详解】解：BC=12+12A．三边长分别是：2，32+12=10，32+B．三边长分别是：2，3，32+22=13，∵C．三边长分别是：2，4，42+22=25，∵D．三边长分别是：22+12=5，32+22故选C．2．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点D、E、F、

A．以点A、B、D为顶点的三角形C．以点A、B、F为顶点的三角形【答案】B【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项．【详解】解：设每个正方格边长为1，则AB=2，AEAB∴△ABC∽△EAB，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．3．（2023上·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，△ABC的三个顶点和线段DE的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使△DEF与△ABC相似的点F有（

）个．

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键．由题意知，△ABC中，AB=2，BC=1，∠B=60°，∠A=30°，∠C=90°，DE=3，AC=AB2-BC2=3，△DEF与△ABC相似，分△DEF∽△ABC，△DFE∽△ABC，△EDF∽△ABC【详解】解：由题意知，△ABC中，AB=2，BC=1，∠B=60°，∠A=30°，∠C=90°，DE=3∴AC=A△DEF与△ABC相似，分△DEF∽△ABC，△DFE∽△ABC，△EDF∽△ABC△EFD∽△ABC△FDE∽△ABC△FED∽△ABC，6种情况求解：①当△DEF∽△ABC时，EFBC=DEAB，即EF1②当△DFE∽△ABC时，EFBC=DEAC，即EF1=3

③当△EDF∽△ABC时，EFAC=DEAB，即EF3④当△EFD∽△ABC时，EFAB=DEAC，即EF2=3⑤当△FDE∽△ABC时，EFAC=DEBC，即EF3=3⑥当△FED∽△ABC时，EFAB=DEBC，即EF2=综上所述，共有4个点F；故选：C．4．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是AB:AC:BC=1:2:5【详解】解：①三角形的三边之比是AB:AC:BC=1:2②△BCD中，CD:③△DEB中DE:④△FBG中，FB:⑤△HGF中，HG:⑥△EFK中，EK故与①相似的三角形的序号是③④⑤．故选C．【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．考点二相似三角形的性质1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.【考试题型6】利用相似三角形的性质求解1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的周长比值是（

）A．2 B．4 C．13 D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的周长比与相似比的关系：相似三角形的周长比等于其相似比，熟记相关结论即可．【详解】解：由题意得：△ABC与△DEF的相似比为：ABDE故周长比为：1故选：D2．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，那么△DEF的周长等于（

）A．4 B．1265 C．21 D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．【详解】解：∵△ABC∽∴相似比为k=3∴C∴C故选：D．3．（2023上·广东佛山·九年级校联考期中）两个相似三角形的相似比为1:2，较小的三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为（

）A．2 B．8 C．16 D．1【答案】C【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为1:2，∴两个相似三角形的面积比为1:4，∵较小的三角形的面积为4，∴另一个三角形的面积为4×4=16；故选C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．4．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，若点D，E分别是AB，AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为（

A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．3:4【答案】B【分析】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定【详解】解：∵D，E分别是AB，∴DE∥BC，且DE=1∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∴S△ADE故选B．5．（2023上·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）若△ABC与△DEF相似，且对应边之比2:3，则△ABC与△DEF的面积比为（

）A．2:3 B．2:5 C．4:9 D．4:25【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题关键，由相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，且对应边之比2:3，∴S故选：C．6．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若BOOC=2

【答案】18【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相关性质是解题的关键．【详解】解：∵AB∥∴△AOB∽△DOC，∵BOOC∴S△AOB又∵S△AOB∴S△DOC故答案为：18．7．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，连接AC，其中AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC，(1)求AB的长；(2)求CD的长；(3)求∠BAD的大小；【答案】(1)AB=3；(2)CD=8(3)∠BAD=143°；【分析】（1）本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：对应边成比例及对应角相等，直接求解即可得到答案；（2）本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：对应边成比例及对应角相等，直接求解即可得到答案；（3）本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：对应边成比例及对应角相等，直接求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵△ABC∽△DAC，∴ACBC∵AD=2，AC=4，BC=6，∴2AB解得：AB=3；（2）解：∵△ABC∽△DAC，∴ACBC∵AD=2，AC=4，BC=6，∴46解得：CD=8（3）解：∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°．【考试题型7】利用相似求坐标1．（2023上·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=22，则△ABC∵∠ACB=90°，①、当点E的坐标为(2,1)时，∠DCE=90°，CE=CD=2，则△DCE∽△BCA②、当点E的坐标为(3,1)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；③、当点E的坐标为(4,2)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；④、当点E的坐标为(5,2)时，∠CDE=90°，CD=DE=2，则△CDE∽△ACB故选：D．

2．（2022上·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，A-4,0，B0,2，连接AB并延长到点C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为【答案】(【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=12x+2，从而可设点C的坐标为C(a,12a+2)，过点C作CD⊥x轴于点D，从而可得OD=a,CD=12a+2，再根据正切的定义可得tan【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A-4,0,B0,2代入得：-4k+b=0则直线AB的解析式为y=1设点C的坐标为C(a,1如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则OD=a,CD=12a+2∴∠BOC=∠OCD，∵A-4,0∴OA=4,OB=2，∴tan∵△COB∼△CAO，∴∠BOC=∠OAC，∴∠OCD=∠OAC，∴tan在Rt△COD中，tan解得a=4经检验，a=4则12所以点C的坐标为C(4故答案为：(4【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和待定系数法是解题关键．3．（2022上·陕西西安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△OAB，点A的坐标为a,a，点B的坐标为b,0．若a，b的值是关于x的一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，且(1)直接写出a=___________，b=___________(2)若点P在y轴上，且△POA∽△AOB，求点P的坐标．【答案】(1)2，3(2)P【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（2）先求出OA,OB的长，再根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）解：x2因式分解，得x-2x-3解得x=2或x=3，∵a,b的值是关于x的一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，且b>a，故答案为：2，3．（2）解：由（1）可知，A2,2∴OA=2∵△POA∽△AOB，∴OPOA=∴OP解得OP=8又∵∠POA=∠AOB=45°，且点P在y轴上，∴P0,【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．4．（2021·全国·九年级专题练习）直线y＝kx+b与反比例函数y=6x（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．【答案】（1）y=-12x+4；（2）2,0【分析】（1）利用反比例函数y=6x（x＞0）经过点A(m，4)和点B(6，2)，可确定A、（2）根据AB解析式可得出C、D坐标，可得OD、OC得长，根据两点间距离公式可得AD得长，分PA⊥OD时，AP'⊥CD两种情况讨论，利用相似三角形得性质即可得答案．【详解】（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝6x（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n∴3=6m，n=66，解得：m＝2，n∴A（2，3），B（6，1），∴2k+b=36k+b=1解得：k=-1∴直线AB的解析式为y＝﹣12x+4（2）如图，当PA⊥OD时，∴PA∥OC，∴△ADP∽△CDO，∵A（2，3），点P在x轴上，∴P（2，0）．②当AP′⊥CD时，∵直线AB的解析式为y＝﹣12x+4∴当y=0时，x=8，x=0时，y=4，∴C（0，4），D（8，0），∴AD=(8-2)2+(0-3)2=35，OD=8，OC=4，CD∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC，∴△P′DA∽△CDO，∴DP'CD解得：DP′=152∴OP′=OD-DP′=1∴P′（12，0综上所述：满足条件的点P坐标为（2，0）或（12，0）．5．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）综合与探究：如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中(1)求y1(2)反比例函数L是否存在一点P，使得3S△POD=S(3)在y轴上是否存在一点M，使得△MDC与△ODB相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y1=x+3(2)存在，P125(3)存在，M0,12或【分析】（1）过点A作AH∥y轴，交x轴与点F，证明△DOC∽△DHA，求出AH的长，进而得到A点坐标，待定系数法求解析式即可；（2）联立解析式，求出B点坐标，分割法求出△AOB的面积，利用S△POD=12OD⋅（3）分△DCM∽△ODB和△MCD∽△ODB两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：过点A作AH∥y轴，交x轴与点H，∴AH∥OC，∴△DOC∽△DHA，∴CDAD∵C的坐标为0,3，CD=3AC，∴OC=3,CD∴AH=4，∴A1,4把A1,4代入y2=∴y2把A1,4，C0,3，代入b=34=k∴y1（2）存在；∵y1∴当y=0时，x=-3，∴D-3,0∴OD=3联立y1=x+3y2=∴B-4,-1∴S△AOB∴3S△POD=3×1当yP=53时，xP∴P125,（3）存在；∵B-4,-1，D-3,0，∴BD=2，OD=3=OC，CD=3∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠ODB=135°，∴当△MDC与△ODB相似时，点M在C点上方，∠DCM=∠ODB=135°，有两种情况，①△DCM∽△ODB，则：CDOD∴32∴CM=2，∴M0,5②△MCD∽△ODB，则：CDDB∴32∴CM=9，∴M0,12综上：M0,12或M【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．【考试题型8】在网格中画与已知三角形相似的三角形1．（2023上·上海长宁·九年级上海市娄山中学校考期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是．

【答案】4【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于210【详解】图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A

S△故答案为：4．2．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在格点上．

(1)画格点三角形△A'B'C'，(2)利用格点在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题考查作图-位似变换，相似的性质等知识，（1）根据题意画出图形即可；（2）根据平行线等分线段定理即可得到结论；解题的关键是掌握相似变换的性质．【详解】（1）解：△A'B（2）如图，点M、N即为所求．

3．（2023下·吉林长春·九年级校考开学考试）图①、图②为4×6的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，在图①、图②中各画一个与△ABC相似的三角形，所画三角形顶点都在格点上，且有一个顶点为点B：所画三角形与△ABC不全等，且彼此之间也不全等．

【答案】见解析【分析】利用相似三角形的性质，结合对应边的比得出对应点位置．【详解】解：如图所示

图①中，D,E分别为AB,BC的中点，则DE∴△BDE∽△BAC图②中，BF=32,BG=4∴BF∴BF又∵∠B=∠B∴△BFG∽△BCA【点睛】此题主要考查了相似变换，根据相似三角形的性质得出对应点位置是解题关键．考点三相似三角形性质与判定综合【考试题型9】尺规作图与相似三角形综合运用1．（2023上·浙江·九年级专题练习）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】要使△ACD∽△CBD，则∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠【详解】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA=∵∠ACB=90°∴∠A+∴∠A=∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACBB选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1:2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．【详解】解：A．∵∠ACM+∠BCM=90°，∠A+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠A，∴△ACM∽△CBM，∴相似比为ACBCB．∵∠AMN=∠C，∠A=∠A，∴△AMN∽△ACB，且MN:BC=1:2，故不合题意；C．∵MCAC=∴△AMC∽△BMA，且相似比为1:2，故不合题意；D．无法证明△AMN和△ACB相似，故符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．3．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．

(1)在斜边BC上求作点E，使△BDE∽△BAD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=6，BE=8，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE=4【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，相似三角形的性质，勾股定理，（1）按要求作过点D的垂线，交BC于点E，即可解答；（2）利用相似三角形的性质，求得BD的长，再利用勾股定理即可解答，根据△BDE∽△BAD中边的对应作出正确的图形，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．【详解】（1）解：（1）如图，点E即为所求；

（2）∵△BDE∽∴AB∵AB=6,BE=8，∴BD∴BD=43∵△BDE∽∴∠BDE=∠A=90°，在Rt△BDE中DE=【考试题型10】三角板与相似三角形综合运用1．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）如图，一副三角板（∠C=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°），AD=BC，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．【详解】解：选项A，∵∠C=∠C=90°，∠CAF=∠B=30°，

∴△ACF∽△BCA，故选项A不符合题意．选项B，如图，设CD与AE交于点O，

∵∠ACO=∠DEO=90°，∠AOC=∠DOE，∴△ACO∽△DEO，故选项B不合题意；选项C，∵∠BCA=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△ACF∽△AED，故选项C不合题意；选项D中没有相似三角形，符合题意．故选：D．2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，边长为10的等边△ABC中，点D在边AC上，且AD=3，将含30°角的直角三角板∠F=30°绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q，连接PQ，当EF∥PQ时，DQ的长为（

A．6 B．39 C．213 D．【答案】B【分析】证明△ADP∽△BPQ，由相似三角形的性质得出ADBP=APBQ=DPPQ，求出BP=6，CQ=2【详解】解：∵∠F=30°，∴∠E=60°，∵EF∥∴∠DPQ=∠E=60°，∠DQP=∠F=30°，∴∠APD+∠BPQ=120°，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=BC=AB=10，∴∠APD+∠ADP=120°，∴∠BPQ=∠ADP，∴△ADP∽△BPQ，∴ADBP∵∠PDQ=90°，∠DQP=30°，∴PD=1∴3BP∴BP=6，∴AP=4，BQ=8，∴CQ=2，过点Q作QM⊥AC于点M，

∴CM=12CQ=1∵CD=AC-AD=10-3=7，∴DQ=D故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ADP∽△BPQ是解题的关键．3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）【问题背景】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P【用数学的眼光观察】（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；【用数学的思维思考】（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；【用数学的语言表达】（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．

【答案】（1）②③④；（2）△BPE与△CFP相似，理由见解析；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，理由见解析．【分析】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，得出∠BEP=∠CPF，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE，进而求出，△BPE与△PFE【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°，又∵∠EPF=45°∴∠B=∠C=∠EPF=45°，又∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∴∠BEP=∠FPC，故③正确；∴△BPE∽△CFP，故②正确；∴BECP=PE故答案为：②③④．（2）解：△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°∴∠B=∵∠B+∴∠BPE+∵∠EPF=45°又∵∠BPE+∴∠BPE+∠CPF=135°，又∵∠B=∴△BPE∽△CFP．（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此PB:BE=PF:PE．又∵∠EBP=∴△BPE∽△PFE．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．4．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）综合与探究问题解决如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，过点C作CD⊥AB于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段AC于点E，交线段BC于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是AC的中点，则点F也是BC“阳光”小组的解答是：若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．理由如下：∵CD⊥AB于点D，∠ADC=90°．∵点E是AC的中点，∴ED=CE=EA．∵∠A=30°，∴∠ACD=60°．∴△CDE是等边三角形．∴∠CDE=60°，∴∠CDF=∠DCF=90°-60°=30°．∴FC=FD．又∵∠B=∠FDB=90°-30°=60°，FB=FD．∴FC=BF．即若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“∠A=30°”，其他条件不变（如图2），若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点．请你根据条件证明这个结论；拓广探索（2）去掉条件“∠A=30°”，其他条件不变旋转过程中，若DE⊥AC（如图3），那么等式AECE（3）去掉条件“∠A=30°”，其他条件不变．若点E是AC上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）若点E是AC的中点，则点F也是BC的中点，理由见解；（2）AECE=CFBF成立，理由见解；（3）若点E是【分析】（1）由题意得AE=CE=DE，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论；（2）证明四边形ECFD是矩形，根据矩形的性质即可得出结论；（3）由题意证明△ADC∽△CDB，△ADE∽【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC=90°，∵点E是AC的中点，∴AE=CE=DE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ECD+∠DCF=90°,∠EDC+∠CDF=90°，∴∠CDF=∠DCF，∴FC=FD，又∵∠CDF+∠FDB=90°,∠DCF+∠B=90°，∴∠FDB=∠B，∴FD=FB，∴FC=FB，即点F是BC的中点；（2）旋转过程中，若DE⊥AC，那么等式AECE理由如下：∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∠EDF=90°，∴四边形ECFD是矩形，∴DE∥∴AECE=∴AECE（3）若点E是AC上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立．理由如下：∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∴∠A=∠DCB,∠ACD=∠B，∴△ADC∽∴AD同理证得△ADE∽则ADCD∴CD同理证得△CDE∽则CEBF∴AECF=【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2022上·安徽·九年级校联考期中）已知：∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=2.将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA，直线CB分别交于点F，点G.(1)如图1，当点F在射线CA上时，①求证：PF=PE；②设CF=a0<a<1，试求CG的值（用含a(2)如图2，点F在AC延长线上，连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长.【答案】(1)①见解析

②CG=(2)EG=2【分析】(1)①过点P作PM⊥AC,PN⊥BC，垂足分别为M、N，由已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x(2)当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，②当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可.【详解】（1）①证明:过点P作PM⊥AC,PN⊥BC，垂足分别为M、

∵CD是∠ACB的平分线,∴PM=PN.由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°,∴∠MPN=90°,∴∠1+∠FPN=90°,∵∠2+∠FPN=90°,∴∠1=∠2.∴△PMF≌△PNE(AAS∴PF=PE；②∴CN=CM=1，∵△PMF≌△PNE，∴NE=MF=1-a，∵CE=2-a.∵CF∥PN，∴△GCF∽△GNP，∴CF∴CG=a

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠PEG,∴∠G=∠1.∴FG=FE.∴CG=CE.在Rt△EGP中,EG=2CP=2②当点F在AC延长线上时，

∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠2,∴∠3=∠2.∵∠1=45°+∠5,∠1=45°+∠3,∠2=∴∠5=同理∠3=∠4，∴∠5=∠4，∴FC=CP=2∴FM=1+2∴△PMF≌△PNE,∴EN=1+∵CF∥PN，∴CF∴.GN=2∵.EG=22综上所述EG=22【点睛】本题考查了相似形的综合应用，掌握角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、以及分类讨论思想是解题的关键.【考试题型11】裁剪与相似三角形综合运用1．（2023下·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，在△ABC中，∠A=68°,AB=8,AC=4，将△ABC沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．①③④【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形仅有一个角对应相等，故两三角形不一定相似；③两三角形对应边不仅满足48④两三角形对应边虽然满足48故正确的有：①③，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB，若DE∥BC四边形DA． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的性质即可判断．【详解】解：设AD=x，AE=y，∵DE∥∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∴xx+12∴x=8，y=12，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2022上·江西吉安·九年级校考阶段练习）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AM，AN，连接MN，如图

转一转：将图1中的∠MAN绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点E，F，连接EF，如图剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．(1)∠MAN=______°，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)线段BE，EF，(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠EAF的边AE，AF分别交对角线BD于点G、点H．如图3，求【答案】(1)45，(2)EF=BE+DF．(3)2【分析】（1）由正方形的性质可得△ABC，△ADC都是等腰三角形．由折叠可得∠BAM=∠CAM=12∠BAC=22.5°，∠DAN=∠CAN=12∠DAC=22.5°，即可得到∠MAN=12∠BAC+∠DAC（2）延长CB到T，使得BT=DF，连接AT．证明△ADF≌△ABTSAS，则AT=AF，∠DAF=∠BAT．得到∠EAT=∠EAF=45°，证明△EAT≌△EAFSAS，则（3）由四边形ABCD是正方形得到∠ABD=∠ACF=∠BAC=45°，AC=2AB．证明△CAF∽△BAG，则CFBG=AC

图1∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∴△ABC，由折叠可得：∠BAM=∠CAM=12∠BAC=22.5°∴∠MAN=1∵∠BAM=∠DAN=22．5°，∴△BAM≌△DANASA∴BM=DN，∵CB=CD，∴CM=CN，∴△AMN，故答案为：45，（2）结论：EF=BE＋理由：如图2中，延长CB到T，使得BT=DF，连接AT．

∵AD=AB，∠ADF=∠ABT=90°，DF=BT∴AT=AF，∵∠EAF=45°，∴∠EAT=∠BAE+∠BAT=∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAT=∠EAF=45°．∵AE=AE，∴△EAT≌△EAFSAS∴EF=ET．∵ET=EB+BT=EB+DF，∴EF=BE+DF．故答案为：EF=BE+DF．（3）如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ACF=∠BAC=45°，AC=2∵∠BAC=∠EAF=45°，∴∠BAG=∠CAF，∴△CAF∽△BAG，∴CFB【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，是解题的关键．【考试题型12】平移与相似三角形综合运用1．（2022下·河北邯郸·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A0,3，B-1,0，C4,0，D5,3，现将四边形ABCD经过平移后得到四边形A'B'C'(1)请直接写点A'，C'，(2)求四边形ABCD与四边形A'(3)在y轴上是否存在点P，连接PB，PC，使S△PBC=S【答案】(1)A'2，4(2)20(3)存在，点P的坐标为0,6或0,-6【分析】（1）由题意可知四边形ABCD向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到四边形A'（2）由平移可知，重叠部分为平行四边形，底边长为103．高为2（3）设P点的坐标为0,b，利用面积关系构建方程求解即可．【详解】（1）解：由题意可知四边形ABCD向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到四边形A'∵A0,3，C4,0，∴A'2，4、（2）解：如图，延长A'B'交BC于E，过点B'作B'∵B'∴OF=1=B由平移可得A'∴∠ABC=∠B∵∠B∴△B∴AOBO∴31∴EF=1∴OE=OF-EF=23，由平移可知，重叠部分为平行四边形，底边长为103．高为2∴S重叠（3）解：存在．设P点的坐标为0,b．∵S△PBC∴S△PBC∴b=±6．∴存在，点P的坐标为0,6或0,-6．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2021上·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．(1)如图②，△ABC中，若AB＝BC，且∠ABC＝90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；(2)如图③，△ABC中，若AB＝BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；(3)如图④，△ABC中，若AB：BC＝m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)EM＝EN(2)成立，证明见解析(3)EM：EN＝n：m，证明见解析【分析】（1）由四边形的内角和为360°可以推出∠HEM＝∠GEN，由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可以推出EH＝EG，从而可以证到△HEM≌△GEN，进而有EM＝（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM＝EG．（3）借鉴（2）中解题经验可以证到△HEM∽△GEN，从而有EM：EN＝EH：EG．由点E为AC的中点可得S△AEB＝S△CEB，可证到EH：EG＝BC：AB，从而得到EM：EN＝BC：【详解】（1）解：EM＝EN．证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图②所示．则∠EHB＝∠EGB＝90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG＝180°．∵∠HBG+∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF．∴∠HEM＝∠GEN．∵BA＝BC，点E为AC中点，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH＝EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM＝∠GEN，EH＝EG，∠EHM＝∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM＝EN．（2）EM＝EN仍然成立．证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．则∠EHB＝∠EGB＝90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG＝180°．∵∠HBG+∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF．∴∠HEM＝∠GEN．∵BA＝BC，点E为AC中点，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH＝EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM＝∠GEN，EH＝EG，∠EHM＝∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM＝EN．（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN＝n：m．证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．则∠EHB＝∠EGB＝90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG＝180°．∵∠HBG+∠DEF＝180°，∴∠HEG＝∠DEF．∴∠HEM＝∠GEN．∵∠HEM＝∠GEN，∠EHM＝∠EGN，∴△HEM∽△GEN．∴EM：EN＝EH：EG．∵点E为AC的中点，∴S△AEB＝S△CEB．∴12AB•EH＝12BC•∴EH：EG＝BC：AB．∴EM：EN＝BC：AB．∵AB：BC＝m：n，∴EM：EN＝n：m．【点睛】本题通过图形的变换，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识，作出辅助线是解题的关键．【考试题型13】折叠与相似三角形综合运用1．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5．

(1)如图1，若AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，求CE的长与(2)如图2，将边AC折叠，使得AC在AB边上，折痕为AM，再将边MB折叠，使得MB'与MC'重合，折痕为【答案】(1)CE=85(2)AN=【分析】（1）先判定△ADE是等腰三角形，再根据平行线分线段成比例定理，求得CE的长；（2）先根据两角对应相等，判定△ABC∽△NB'C'，再根据相似三角形的对应边成比例，求得NC'与B'N的数量关系，最后结合【详解】（1）解：如图1，∵AD是∠BAC的平分线，DE∥∴∠EAD=∠BAD=∠EDA，∴ED=EA，即△ADE是等腰三角形，设CE=x，则AE=4-x=DE，由DE∥可得DEBA=CECA解得x=8∴CE=85由DE∥可得CDBD∴CD（2）解：由折叠得，∠B=∠B'，∠C=∠MC'∴N设NC'=4a∵BC∴NC'+BN=2解得a=1∴NC∴AN=4【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，具有一定的难度．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题时应重点把握对应边相等，对应角相等．2．（2023上·陕西西安·九年级西安市第三中学校考期中）数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．数学思考：(1)“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD是拓展探究：(2)“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；问题解决：(3)“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的长．

【答案】(1)菱形；见解析(2)PF⊥PC，见解析(3)5【分析】（1）由折叠的性质可知，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF，再根据平行线的性质推出∠EFA=∠EAF，则EA=EF，进而推出（2）连接AE．由折叠的性质可知，PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC，由∠ADC+∠DAB=180°，∠PEC+∠PEF=180°，得到∠DAB=∠PEF；由点P是AD的中点，得到PA=PD=PE，则∠PAE=∠PEA，进一步证明∠AEF=∠EAF，得到AF=EF，证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠EPF，再根据平角的定义得到（3）延长CP交BA的延长线于点T．设AE=x．由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，CD=CE=20，再证明∠T=∠PCE，得到EC=ET=20，AT=20-x，证明△PDC∽△PAT，得到【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，AD=AE，∵EF∥∴∠DAF=∠EFA，∴∠EFA=∠EAF，∴EA=EF，∴AD=DF=EF=AE，∴四边形AEFD是菱形；故答案为：菱形．（2）解：结论：PF⊥PC．理由：连接AE．由折叠的性质可知，PD=PE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠DAB=180°，∵∠PEC+∠PEF=180°，∴∠DAB=∠PEF，∵点P是AD的中点，∴PA=PD=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF，∵PF=PF，∴△PAF≌△PEFSSS∴∠APF=∠EPF，∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，∴2∠CPE+2∠FPE=180°，∴∠FPC=90°，∴PF⊥PC；（3）解：延长CP交BA的延长线于点T．设AE=x．

由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE，∵CD∥BT，∴∠T=∠DCP，∴∠T=∠PCE，∴EC=ET=20，∵AT∥CD，∴△PDC∽△PAT，∴APPD∴68∴x=5，∴AE=5．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一个45°角：______．(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P．①∠AEF=______度；②若AB=3，求线段PM(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB=3，AD=5，请直接写出线段【答案】(1)∠EAF=45°，见解析(2)①∠AEF=60°，见解析；PM=2-3(3)线段BE的长为97或2【分析】（1）根据折叠性质和正方形的性质可得∠EAF=45°；（2）①由折叠性质可得∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，结合∠EAF=45°可得∠AFN=45°，即可求解；②根据△ANF是等腰直角三角形，可证△ANP≌△FNEASA，设PN=EN=a根据AN+EN=AE，即可求解；（3）在AD上取一点J，使得AJ=AB，过点J作JT⊥BC，交AF于点K，连接EK，可得△AJK∽△ADF，设BE=x，则EK=x+6【详解】（1）解：∠EAF=45°；∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠BAD=90°，由折叠性质可得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠B=90°，由折叠性质可得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，∴∠ANF=180°-90°=90°，由操作一得：∠EAF=45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN=45°，∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，∴245°+∠NFE∴∠NFE=∠CFE=30°，∴∠AEF=90°-30°=60°；②∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN=FN，∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，∴∠NAP=∠NFE=30°，∴△ANP≌△FNEASA∴AP=FE,PN=EN，∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，∴∠NEF=∠CEF=60°，∴∠AEB=60°，∵∠B=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=3∴AE=2BE=2，设PN=EN=a，∵∠ANP=90°,∠NAP=30°，∴AN=3PN=3a∵AN+EN=AE，∴3a+a=2，解得：a=3∴PM=AM-AP=3（3）解：如图，在AD上取一点J，使得AJ=AB，过点J作JT⊥BC，交AF于点K，连接EK，

当DF=2CF时，CF=1,DF=2，∵JK∥DF，∴△AJK∽△ADF，∴AJ∴JK∴JK=6由（1）可知，EK=BE+JK，设BE=x，则EK=x+6∵EK∴(x+∴x=9当CF=2DF时，同理可得BE=2，综上所述，线段BE的长为97或2【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF=45°是解题的关键．1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．求图2中【答案】3【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，首先利用勾股定理求得AC，然后由平行线的性质和相似三角形的判定及性质得到ADAB=AEAC，其次由旋转的性质得出∠DAB=∠EAC，最后由相似三角形的判定及性质BDEC【详解】解：∵∠ABC=90°,AB=6,BC=4，AC=A在图1中，∵DE∥BC，∴AD∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，∴∠DAE=∠BAC,AD∴ADAE=∴△ADB∽△AEC，∴BD2．（2023上·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是边AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E①若AD=5，求线段DE的长度．②若点D是边AC上任意一点，请判断DEAD（2）如图2，四边形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，点D（3）如图3，在（1）的条件下，AD=5，将△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AMN，当点AN⊥AC时，请直接写出线段MC的长．【答案】（1）①线段DE的长度为3；②不变，比值为35；（2）DF+12AD的最小值为6；（3）线段MC的长为【分析】（1）①证明△DAE∽△BAC，利用相似三角形的性质即可求解；②利用相似三角形的性质即可解答；（2）分别过点C、D、F作AB的垂线，垂足分别为I、J、K，证明（3）分两种情况讨论，作出辅助线，构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）①Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6∴AB=6∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠ACB=90°，∴△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DE=3；②∵△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DEAD的值不变，DEAD（2）分别过点C、D、F作则CI∥∵BC=6，∠ABC∴△BCI是等腰直角三角形，∴CI=BI=3∵AB=3+3∴AI=3+3∴AC=3∵CI∥∴△ADJ∽△ACI，∴DJAD∴DJ=1当F、D、J共线时，DF+12AD=DF+DJ取得最小值，最小值为FK∴∠AFK=30°，∴AK=1∴FK=A∴DF+12AD（3）如图，作MG⊥CA交CA延长线于点G，∵∠ANM=∠AGM=∠NAC=∠NAG=90°，∴四边形AGMN是矩形，∴AG=MN=3，MG=AN=4，∵AC=8，∴MC=4如图，作MH⊥CA交CA点H，同理，四边形AHMN是矩形，∴AH=MN=3，MH=AN=4，∵AC=8，∴MC=4综上，线段MC的长为137或41．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．【考试题型14】利用相似三角形性质与判定求线段比值1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=6，BC=4，D是AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．求图2中【答案】3【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，首先利用勾股定理求得AC，然后由平行线的性质和相似三角形的判定及性质得到ADAB=AEAC，其次由旋转的性质得出∠DAB=∠EAC，最后由相似三角形的判定及性质BDEC【详解】解：∵∠ABC=90°,AB=6,BC=4，AC=A在图1中，∵DE∥BC，∴AD∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，∴∠DAE=∠BAC,AD∴ADAE=∴△ADB∽△AEC，∴BD2．（2023上·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是边AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E①若AD=5，求线段DE的长度．②若点D是边AC上任意一点，请判断DEAD（2）如图2，四边形ABCF中，AB=3+3，BC=6，∠ABC=45°，∠FAB=60°，AF=22，点D（3）如图3，在（1）的条件下，AD=5，将△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AMN，当点AN⊥AC时，请直接写出线段MC的长．【答案】（1）①线段DE的长度为3；②不变，比值为35；（2）DF+12AD的最小值为6；（3）线段MC的长为【分析】（1）①证明△DAE∽△BAC，利用相似三角形的性质即可求解；②利用相似三角形的性质即可解答；（2）分别过点C、D、F作AB的垂线，垂足分别为I、J、K，证明（3）分两种情况讨论，作出辅助线，构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）①Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6∴AB=6∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠ACB=90°，∴△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DE=3；②∵△DAE∽△BAC，∴ADAB=DE∴DEAD的值不变，DEAD（2）分别过点C、D、F作则CI∥∵BC