五年级奥数全套系列：计算综合学生版

任给襁盥公

(1)灵活运用平方和、立方和公式进行计算;

(2)了解等比数列；

(3)灵活运用等比数列求和公式进行计算。

：1领银给也

I二

【基本概念】

等比数列一一如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这

个数列就叫做等比数列(geometrieprogression)o这个常数叫做等比数列的公比(common

ratio),公比通常用字母g表示SWO)。注：于1时，a〃为常数列。

【常用公式】

­、pN2HX(7：+1)X(2H+1)

6

(2)13+23+33+---+^3=(l+2+3+---+n)2=Jx(：+l)2；

(3)1+3+5+7+•••+(2n-l)=l+2+3+---+(n-l)+«+(n-l)+•••+3+2+1=n2；

(4)等比数列求和公式：⑴S,=F4+a0+..+a@i=%Wj)(初)；

g-1

n

(2)Sn=+axq'H------1-a}q~'=(<7(1)»

l-q

(5)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

(6)完全平方公式：(a+/?)2=/+2ab+/,(4-=/一2曲+/；

用文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积

的2倍，两条公式也可以合写在一起：（a±b）2=a2±2ah+h2,为便于记忆，可形象的叙述

为："首平方，尾平方，2倍乘积在中央

（1）平方和、立方和公式的灵活运用;

（2）等比数列公式的灵活运用。

,、、M111x2323-101x2553

【例1】计算：---------；-------:——

20112+20122

111x23x101-101x23x111

原式=

20112+20122

3333x4444+6666x8888+9999x13332

【巩固】计算:

4444x5555+8888x11110+13332x16665

,工工3333x4444x(1+2+3)

I原式=-------------7---------7

4444x5555x(1+2+3)

3

-5

【例2】计算:(10+876+312)x(876+312+918)-(10+876+312+918)x(876+312)

iS：x=876+312,y=876+312+918Il'J,^^.=(10+x)xy-(10+y)xx=(y-x)x10=9180

【巩固】计算：(201+762+3102+985)x(762+3102+985+1001)-

(201+762+3102+985+1001)x(762+3102+985)

I设。=762+3102+985,b=762+3102+985+1001,则有:

原式=(201+a)xh-(201+b)xa

=201b+ah-201aah

=201x1001

=201201

【例3]计算：314x31.4+628x68.6+68.6x686=。

1题目分析：答案为1(XX)(X)„记原式为X,则

10X=314x314+628x688686x686

=3I42+2X3I4X686+6862

=(314+686)2=l(X)0(X)(),所以，X=I()(X)(X).

【巩固】[2007-(8.5x8.5-1.5xl.5)+10]+160-0.3=.

I原式=[2007-(8.5+1$)(8.5-1.5)+10]+160-().3=[2007-10x(8.5-1.5)-e-1()]-e-160-0.3

=(2007-7)^-160-0.3=12.5-0.3=12.2

1

【例4】己知:1,试比较a、b的大

2+

3+

...+-j

99+—

100

小.

【解析】^a-,其中A-99,B-99+—.

100

2+2+

3+3+

…+

984-98+—

B

有A<B,所以98+—>98+，，

AB

97+—1<97+

98+—984--

AB

11

96+>96*

1

97+97+——

98+—98+—

B

,所以有a<b.

98+—

A

【巩固】试求一+的和？

11

2+-1+

11

3+—1+

~T~1

4+3+「

11

...H—4+

2005一厂

...H--------

2005

【解析】记*=，则题目所要求的等式可写为：*,

而，

0\

114X

=----+-----

2+x2+x

-1

■田3・«

【例5】计算：11x19+12x18+13x17+14x16=.

^^=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-I2)

=152x4-(l2+22+32+42)

=900-30=870

其中『+2?+3?+4?可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式

/+2?+…+/=1〃(〃+1)(2九+1)进行计算.

6

【巩固】5x15+6x14+7x13+8x12+9x11

］原式=(10-5乂10+5)+(10-4X10+4)+(10-3)(10+3)+(10-2)(10+2)+(10-1X10+1)

=5x1()2-(52+42+32+22+12)

=445

【例6】计算：1X22+2X32+3X42+---+18X192+19X202

I分拆(2-l)x22=23-22,(3-1)x32=33-32.......再用公式

原式=(2‘-22)+(33-3’)+……+(2(/-20‘)=(1+2s+3、+……+20,)-(1+2?+3?+……+20。

11

=-x202x212--x20x21x41=41230

46

【巩固】计算：1x2?+2x3?+3x4?+…+39x402

原式=(2-1)x2?+(3-1)x32+(4-1)x42+•••+(40-1)x40

=23-22+33-32+43-42+•••+4O3-4O2

=(13+23+33+•­•+403)-(12+22+32+•­•+402)

=—x402x412--x40x41x81

46

=672400-22140

=650260

【例7】1+2+3+4+5+6+7

33233343536

】设算式的值为S,那么3s=3+2+之+2+2+9+4,

331333*3，

3-2■46-5

M4)+1-------+

3

命-111117

叶2s=4+—+—+—+—+-

313233343536

,,14222+泻,则114

故4s=8--+—+—+—4sH—-=8——+1,

3631323a3536

“、，14317

所以4s=9-------------=9—-

363636

9171636

44x3‘-729

【巩固】计算：1+;+*+*+捺+，+*

]设算式值为S则4s=4+3+£+刍+2+」-+2-,所以:

44*243444s

1118

4S-S=6+—+—+——+——+------

44243444s46

333338x3

3x3S12+―+——+——+——+..........—

44243444546

124

9S+—=12+1------

4546

4435

S=-------

3

1

S=1478-

3

【例8】计算：Ix3+2x4+3x5+…9x11

原式=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+…+(10-1)(10+1)

(22-1)+(31-1)+-+(IO?-])

-(22+31+,•+101)-9

2+21+31+-,+1()2)-1()

10x11x21.

------------10=375

6

【巩固】计算：1x3+3x5+5x7+7x9+9x11+11x13+13x15

原式=(2-1*2+1)+(4-1X4+1)+(6-1)(6+1)+…+(12-1X12+1)+(14-1)(14+1)

=22+42+•••+142-7

=22x(|2+22+32+…+72)-7

7x8x15

=22x--------

6

=560

【例9】计算：-+42+6+…+1002)-(12+32+5?+…+99?)

•1+2+3+…+9+10+9+8+…+3+2+1

(22-12)+(42-32)+(62-52)+-­­+(1OO2-992)

I原式

1()

(2+1)x(2-1)+(4+3)x(4-3)+(6+5)x(6-5)+…+(100+99)X(100-99)

100

_1_+__2_+__3_+_4__+__…__+__9_9_+__1_0_0____5_0_5_0__<n—1

1001002

【巩固】计算:

3+7+11+…+99

I原式=

502

(3+99)x25151

=X­

25002-100

【例10】计算：1x4+3x7+5X10+---+99x151=

观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1,3,5,……,99,

乘数依次为4,7,10,.....151,根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2”-1,乘数

可以表示为3”+1,所以通项公式为(2"-1)*(3"+1)=6"2-n-1.所以，

原式=(6x『_I)+(6X2?-2-1)+…+(6x502-50-1)

=6x(l2+22+',•+502)-(l+2+―+50)-50

=50x51xl01--x50x51-50

2

=256225

另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差

变为相等再进行计算.

原式=L(3x8+9x14+15*20+…+297x302)

=-x[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)+…+297x(297+5)]

6

=1x(32+3x5+92+9x5+152+15x5+…+2972+297x5)

+92+15-"+297)+5x(3+9+15+…+297)]

=­X[9x(P+32+52+-+992)+5x3x(l+3+5+*+99)]

6

35

=-x(f+31+52+",+992)+-x(1+3+5+-+99)

而尸+3?+5?+…+99?和1+3+5+…+99都是我们非常熟悉的.

l2+32+52+-+992=(l2+22+32+-+1002)-(22+424-62+1002)

11

=-x100x101x201-4x-x50x51x101

66

1/、

-xl00x!01x(201-102)

1

-x99x100xl01

6

=166650,

1+3+5+…+99=5（/=2500,

35

所以原式=一x166650+-x2500=256225

22

小结：从上面的计算过程中可以看出，+9@Lx99xl0,而

6

1

lx2+2x3牛+99x1-00：x991,

3

所以有（/+3?+5、…+992）x2=1x2+2x3+…+99x100

【巩固】计算：Ix99+2x98+3x97+---+49x51=.

原式=（50-49）x（50+49）+（50-48）x（50+48）+…+（5（）-l）x（50+l）

=（502-492）+（502-482）+-+（50?-I2）

=502X49-（12+22+-+492）

=502X49-（12+22+-+492）

21

=50x49--x49x50x99

6

=502X49-49X25X33

=49x25x（100-33）

1、50x50+49x51+48x52+47x53+46x54=

5O2+(50-l)x(50+1)+(50-2)x(50+2)+(50-3)x(50+3)+(50-4)x(50+4)

-5(i+5d-^l+5七-Jl+4o-'»ia13-

o5x250(*I4.)

=1250034)I；

12470.

2、2x4+4x6+6x8+8x10+…+24x26

I原式=(3-1)(3+1)+(5-1)(5+1)+(7-1)(7+1)+•••+(25-1)(25+1)

=32-1+52-1+72-1+--+252-1

=12+22+32+42+…+25?-13-(22+42+62+•••+242)

25x26x51212x13x25

66

=2912

3、计算：20x20-19xl9+18xl8-17xl7+---+2x2-lxl.

I做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大

家看，利用平方差公式：20x20-19x19=(20+19)(20-19)=20+19,18x18-17x17=I«+17,

…，2x2-lxl=2+l.

于是，原式=20+19+18+17+…+2+1

=(20+0x204-2=210

4、计算：(2009+4018+6027+•••+18081)x(11+22+33+45)

原式=2009x(1+2+3+…+9)x[11x(1+2+3+4)+1]

2009x45xll1

=2009x5x9x111

=100045x999

100045x(1000-1)

100045000-100045

99944955

11

5、已知：a=j—b=""r，试比较a、b的大小.

2+——r2+

3+「3+

…+...+j-

4848+2

49

a)h

赢今家园俗逃

2014x503-503x2010+2006x501-501x2002+…+6x1-lx2

4

4x503+4x501+4x449+・・,+4x1

I原式二-------------------------------------

4

=(1+503)x252+2

=635()4

2、13-23+33-43+53-63+73-83+93-103+113

原式=〃+23+33+•••+113-2x（23+43+63+83+103）

112X122352x62

=----------------2x2x------------

44

=2556

3、2x4x6+4x6x8+6x8x10+…+50x52x54

原式=4x（4?-2?）+6x（62-22）+8x（82-2?）+…+52x（52?

=4+6+8，+,,,+523-22（4+6+8+,1,+52）

=2^x^13+2+…+26〜）-2/x（2+4+6+…+52）

262x2722/、

=23x------------------2x（2+52）x26-s-2

4

=982800

4、计算；11x29+12x28+…+19x21=

I原式=（20?-92）+（202-82）+-+（2O2-I2）

=202x9-（lJ+22+••+92）

1

=3600--x9x10x19=3315

6

,456789

5、1-----1—7—r——r—r

55253545556

56789

I设算式值为S,则5s=5+4+—F—■+―-+--+—T

55253545s

111119

5S-S8+—+-r+T+T+~T一~r

552535455

444443611

16s=32+——+—+-----1--+---------h---

552535*5s565s5

536

16S—32+1—————

55

41

16s=33------

56

487

2--------

1562f

任竭襁盥公

(1)灵活运用平方和、立方和公式进行计算；

(2)了解等比数列；

(3)灵活运用等比数列求和公式进行计算。

翳闻澳给褪

【基本概念】

等比数列一一如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这

个数列就叫做等比数列(geometrieprogression)。这个常数叫做等比数列的公比(common

ratio),公比通常用字母g表示值片0)。注：<;=1时，a〃为常数列。

【常用公式】

⑴12+22+32+...+〃2=凶〃+1)'(2-1)；

6

(2)『+2,+33+…+/=(1+2+3+…+a)。=

(3)I+3+5+7+---+(2n-l)=1+2+3+•••+(n-l)+w+(n-l)+---+3+2+1=«2；

(4)等比数列求和公式：(1)S.=qq°+aW+…+4，1=幺00。〉1)；

q-i

n

(2)S„=a}q+a}q'H---F=4^1__

l-<7

(5)平方差公式：a?=(〃+b)(〃-b)；

(6)完全平方公式：(a+Z?)2=/+2〃。+/,(a-Z?)2=a2-lab+b2；

用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积

的2倍，两条公式也可以合写在一起：(a±b)2=a2±2ah+h2.为便于记忆，可形象的叙述

为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”.

(1)平方和、立方和公式的灵活运用；

(2)等比数列公式的灵活运用。

任做］题明窗

【例1】计算：12+22+32+---+1002

■kg100x(100+l)x(2x100+1)

1原式='--------------------------

6

=338350

【巩固】计算：12+22+32+---+502

〃°50x(50+l)x(2x50+1)

原式二-------------:---------

6

=42925

【例2】计算：户+23+33+…+5()3

=1625625

【巩固】计算：13+23+33+---+1003

22

100xlOl

原式=

4

=25502500

【例3】计算：22+42+62+---+202

222

原式=2葭(〃+2+3+■­•+10)

10x(10+l)x(2x10+1)

=4x------------------------

6

=1540

【巩固】计算：32+62+92+---+812

原式=3。x(I2+22+3,+…+27，)

27x(27+I)x(2x27+1)

=9x-------------------------

6

一

【例4】计算：23+43+63+83+---+203

原式=2,x(r+23+33+103)

4

=242(H)

【巩固】计算：33+63+93+---+813

原式=33x(r+23+…+27“

_272x(27+I)2

-27x

4

=3857868

【例5】计算：a+32+5、+…+292

I原式=r+22+32+•••+292-(22+42+62+•••+282)

29x(29+l)x(2x29+1),,,,

---------............-----------------22x(I2+22+232+•••+142)

6

14x(14+I)x(2xl4+1)

=8555-4x-----------------------------------------

6

=8555-4060

=4495

【巩固】计算:13+33+53+73+---+493

原式=r+23+33+43+53+…+491-(23+45+61+…+48')

492X(49+1)233333

-----------------------2X(I3+2+3+…+24)

4

324?x(24+1了

=1500625-2x---------------------—

4

1500625-720000

78625

【例6】计算：1+2+4+8+16+32+64+…+1024

1x（21,*-1）

原式=

2-1

=2047

【巩固】计算：3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536

公-3、H工4个3

3x（2,0-1）

原式=

2-1

3069

1111111

【例7】计算:—I--1----1----1----1----F…+

2481632641024

11

-x1-

212

I原式=

1

1--

2

1023

1024

1

［巩固］计算：—I---1----1----1-----1----+

3927812437292187

1

-x

3HU

I原式=

1--

3

1093

2187

1+23+33+-+20063

【例8】计算:

1+2+3+…+2006

।a-o(1+2+3+•—F2006)1

I原式----------------—=1+2+3+…+2006=-x2006x(2006+1)=2013021

1+2+3+…+20062

13+23+33+---+20013

【巩固】计算:

1+2+3+…+2001

工a(1+2+3+…+2001『

用、式Q--------------------

1+2+3+•••+2001

=1+2+3+…+2001

1

=-x2001x(2001+1)

2

=2003001

【例9】对自然数。和〃,规定〃例如3V2=32+3=12,那么:

(1)；

(2)2V1+2V2+2V3+---+2V99=.

I(1)原式=『+1+2?+2+3?+3+…+99”+99

=(12+22+32+—+9铲)+(1+2+3+…+99)

1

=-x99x100x199+4950

6

=328350+4950=333300

(2)原式=2,+20+2?+2'+2^+22+…+2**+28

=(2。+2’+2?+…+2”)+(T+2?+2,+…+2”)

2

=(20+2'+2+…2»3

=(2M-1)X3

3x2"-3

【巩固】看规律I3=I2,13+23=32,13+23+33=62.......试求63+73+…+闻

原式=(『+2,+…+143)-(13+2工+-+5，)=(1+2+3+…+14>-(1+2+3+4+5)

1O52-152=(105-15)(105+15)=90x120=10800

【例10]1—H3—F5—F7—F9---nil—+13------h15------b17—+19-^—=

2481632641282565121024

【式=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+—+—+-+—H-----+—H--------+--------h-----+--------

2481632641282565121024

lxri-flp

12⑴

=-x(l+19)xl0+——-——j-------

_2

「11023

100+11-100-------

L21024

333333

【巩固】计算:

4166425610244096

33333311

I原式4+42+43+44+45+(7+/)-不

3333311

—+—+—+—+(―+—)

44/24j34A444jt54^

3114095

t--)------=

44464096

【例11】计算：11x29+12x28+…+19x21=

I原式=(2()2-9,+(2()2-铲)+…+(2()2-巧

=202X9-(12+22+…+92)

1

=3600——x9x10x19=3315

6

【巩固】计算：1x99+2x98+3x97+…+49x51=.

观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式.

原式=(5()-49)x(50+49)+(50-48)x(50+48)+—+(50-l)x(50+1)

=(502-492)+(502-482)+-+(502-I2)

=502X49-(12+22+--+492)

=502X49-(12+22+-+492)

21

=50x49--x49x50x99

6

=502x49-49x25x33

=49x25x(100-33)

=49x25x67=82075

【例12】计算：1x99+2x97+3x95+—+50x1

原式=(99+97+…+3+1)+(97+,,1+3+1)+…+(3+1)+1

=502+492+-+22+12=-x50x51x101=42925

6

【巩固】计算：1x49+2x47+3x45+…+25x1=.

原式=(49+47+・-+1)+(47+45+"，+1)+，"+(3+1)+1

=252+242+—+22+12

1

=-x25x26x51=5525

6

AB菖箍蒯

1、计算：I+3+5+7+…75

原式=38’

=1444

2、计算：42+82+122+162+---+362

I原式=4?x(l2+22+32+.••+92)

9x(9+l)x(2x9+l)

=16x--------------------------------

6

=456()

3、计算：12+32+52+--+192

IiX's、…+i9

(l'+2'+3,+…+19?)-(2、4’+…+IK1)

=-xl9x20x39-4x(l2+22+•+92)

6

1

2470--X9X10X19

6

=2470-285=2185

4、计算：l3+33+53+---+993=.

］与公式/+2?+…+：=(1+2+""：+口相比,f+3^+5?+…+993块少偶数项，所以可

以先补上偶数项.

原式=(「+2、3,+…+1003)-(23+43+^+1003)

=^-xl002xl012-23X(13+23+-+50)

=-x1002xIOI2-23x-x502x512

44

5O2x(1012-2x512)=12497500

5、

、皿.111111

计算：1H----1——H--H——H--H--

33233343536

I法一：利用等比数列求和公式.

264

原式

729

3

法二：错位相减法.

331313’3’34

11111.1xphe364

J31]31S■3+1+—+—r+—+—+—,3S—S=3----->整理可得---.

33*3’33s3*729

法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3,与公比4是I,

所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分

子变得也都与公比差1.由于公比为3,要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算，最后

再将所得的结果除以2即得到原式的值.

由题设，2s=2+上9+9彳+9彳?+:+?彳^+彳，则运用“借来还去”的方法可得到2S+1^=3,整

33’3‘33，3*3*

理得到S=1吧.

729

6、50x50+49x51+48x52+47x53+46x54=

原式=5（f+（50-1）x（5。+1）+（50-2）*（50+2）+（50-3）x（5。+3）+（50-4）x（5（）+4）

=5（f+5d-2i+520-21+^0-22¥^0-23-

=5x25。0（扪49b）

=1250034）1；

12470

I

GLUE*氯困碰

1、计算：1+3+5+7+9+,,,+99

原式=502

=2500

2、计算：12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162

|原式=(「+2?+…+162)-(32+62+92+122+152)

222222216X17X335x6x11

=(12+22+…+16)-3x(r+2+3+4+5)=-----------------9x-------------

66

1496-495=1001

a八ca

3、计算：36+49+64+81+•••+400

^^=62+72+82+-+202

=I2+22+32+•+2d(-f+i+4+4)

11

=-x20x21x41--x5x6xll

66

4、计算：l3+33+53+73+93+ll3+133+153

I原式=r+2?+3?+4,+…+14,+153-(23+43+…+143)

152x