2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一下学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省济宁市兖州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.2.函数的最小正周期为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗易知，则其最小正周期为.故选：C.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，，所以该平面图形的高为.故选：C.4.我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设角所在的扇形的半径为，则扇形面积，由题意，面度数为，所以，所以.故选：C.5.如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设原圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，新几何体的表面积，故，故圆柱侧面积为.故选：A.6.已知向量满足，且，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗因为，且，所以，即，即，所以，所以.故选：B.7.如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设的中点为A，则，所以.故选：D.8.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的面积，，，则，，，，，，，，．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C.的虚部为2 D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以，A正确；对于B，，B正确；对于C，因为，所以，所以的虚部为，C错误；对于D，因为，所以，又，所以，D正确.故选：ABD.10.软木锅垫的正、反面可加置印刷公司logo、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（）A.向量在向量上的投影向量为B.C.D.点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗以A为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，对于A，由图可知，所以，向量在向量上的投影向量为，故A正确；对于B，由图可知，所以，，，所以，故B正确；对于C，，，，故C错误；对于D，设，则，所以，因为点是正六边形内部（包括边界）的动点，所以，所以当时，有最小值，最小值为-200，故D正确.故选：ABD.11.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的周期为B.函数的图象关于对称C.函数在区间上的最大值为2D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为〖答案〗ACD〖解析〗观察函数图象，，函数的周期为，，由，得，而，则，，对于A，函数的周期为，A正确；对于B，，函数的图象关于不对称，B错误；对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确；对于D，当时，，由，即，得或，解得或，显然，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为______．〖答案〗〖解析〗设左侧几何体的体积为，长方体的体积为，右侧三棱柱的体积为，则.故〖答案〗为：.13.已知向量，若，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以不共线，若共线，则，即，所以时不共线.故〖答案〗为：.14.已知向量，若，则______.〖答案〗〖解析〗因为向量，，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．（1）求的值；（2）记复数，求复数的模．解：（1）解法一：由题意得：，即，所以，所以，，解得：，即；解法二：由已知得，这个方程的另一个根是，再用韦达定理可知：，解得：，所以.（2），，则，所以.16已知单位向量满足.（1）求的值；（2）设与夹角为，求的值.解：（1）因为为单位向量，所以，所以，得到，则，则.（2）因为，所以，而，所以，即.17.兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中，.（1）求兴隆塔的高的长；（2）在（1）的条件下求多面体的表面积；（3）在（1）的条件下求多面体的内切球的半径.解：（1）设米，在中，，则，在中，，且，则，所以，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).（2）由（1）知均为直角三角形，，，所以，所以在中，满足，所以为直角三角形；所以，所以平方米.（3）设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换：，所以米.18.已知向量，函数．（1）求函数在上的单调递减区间；（2）若，且，求的值；（3）将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以即，又因为，所以函数在上的单调递减区间为.（2）若，则，所以，因为，所以，所以，所以，故.（3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，即：，则，当时，，由方程有一解，可得的取值范围为．19.在中，，，对应的边分别为，，，（1）求；（2）若为线段内一点，且，求线段的长；（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；解：（1）因为，所以，由正弦定理，所以，即：，所以.（2）（方法一）因为，所以，所以，所以，及.（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，则，则：，所以.（3）根据柯西不等式：，当且仅当为正三角形时取等号，即：的最小值为48.山东省济宁市兖州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.2.函数的最小正周期为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗易知，则其最小正周期为.故选：C.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，，所以该平面图形的高为.故选：C.4.我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设角所在的扇形的半径为，则扇形面积，由题意，面度数为，所以，所以.故选：C.5.如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设原圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，新几何体的表面积，故，故圆柱侧面积为.故选：A.6.已知向量满足，且，则（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗因为，且，所以，即，即，所以，所以.故选：B.7.如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设的中点为A，则，所以.故选：D.8.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的面积，，，则，，，，，，，，．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C.的虚部为2 D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以，A正确；对于B，，B正确；对于C，因为，所以，所以的虚部为，C错误；对于D，因为，所以，又，所以，D正确.故选：ABD.10.软木锅垫的正、反面可加置印刷公司logo、图片、产品、广告、联系方式等，表面较强的摩擦力既可以防止玻璃、瓷杯滑落，又可保护桌面不被烫坏．如图②，这是一个边长为20厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（）A.向量在向量上的投影向量为B.C.D.点是正六边形内部（包括边界）的动点，的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗以A为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，对于A，由图可知，所以，向量在向量上的投影向量为，故A正确；对于B，由图可知，所以，，，所以，故B正确；对于C，，，，故C错误；对于D，设，则，所以，因为点是正六边形内部（包括边界）的动点，所以，所以当时，有最小值，最小值为-200，故D正确.故选：ABD.11.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的周期为B.函数的图象关于对称C.函数在区间上的最大值为2D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为〖答案〗ACD〖解析〗观察函数图象，，函数的周期为，，由，得，而，则，，对于A，函数的周期为，A正确；对于B，，函数的图象关于不对称，B错误；对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确；对于D，当时，，由，即，得或，解得或，显然，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图所示，长方体中，若，，，，分别为棱，的中点．用平面把这个长方体分成两部分，则左侧几何体的体积为______．〖答案〗〖解析〗设左侧几何体的体积为，长方体的体积为，右侧三棱柱的体积为，则.故〖答案〗为：.13.已知向量，若，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以不共线，若共线，则，即，所以时不共线.故〖答案〗为：.14.已知向量，若，则______.〖答案〗〖解析〗因为向量，，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．（1）求的值；（2）记复数，求复数的模．解：（1）解法一：由题意得：，即，所以，所以，，解得：，即；解法二：由已知得，这个方程的另一个根是，再用韦达定理可知：，解得：，所以.（2），，则，所以.16已知单位向量满足.（1）求的值；（2）设与夹角为，求的值.解：（1）因为为单位向量，所以，所以，得到，则，则.（2）因为，所以，而，所以，即.17.兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中，.（1）求兴隆塔的高的长；（2）在（1）的条件下求多面体的表面积；（3）在（1）的条件下求多面体的内切球的半径.解：（1）设米，在