2024届贵州省安顺市部分学校高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2贵州省安顺市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又，所以．故选：D.3.已知直线与圆相交于两点，若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗如图所示：设坐标原点到直线的距离为，则.设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故选：B.4.高二年级进行消防知识竞赛．统计所有参赛同学的成绩．成绩都在内．估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）A.65 B.75 C.85 D.95〖答案〗C〖解析〗观察频率分布直方图知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此成绩的第75百分位数，，解得，所以估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为85.故选：C5.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A.e B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．令，则在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，故．故选：D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗依题意，，令椭圆的半焦距为c，由，得，即，因此，即，所以，即.故选：B7.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，因为，由勾股定理得，故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，设内切球的半径为，则由等体积法可得，解得，所以．故选：A8.甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）A.342 B.390 C.402 D.462〖答案〗B〖解析〗去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为；②1，2，3型，则不同种数为；③2，2，2型，则不同种数为．所以共有种.故选：B二、选择题9.已知函数，则（）A.B.C.在上单调递减D.的图象向左平移个单位长度后关于轴对称〖答案〗BCD〖解析〗由题意函数的图象的一条对称轴方程为，所以，所以，因为，所以，即.对于A，，错误；对于B，因为，所以图象的一个对称中心为，即，正确；对于C，当时，，所以在上单调递减，C正确；对于D，的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数〖解析〗式为，显然是偶函数，其图象关于轴对称，D正确.故选：BCD10.在中，为的中点，点在线段上，且，将以直线为轴顺时针转一周围成一个圆锥，为底面圆上一点，满足，则（）A.B.在上的投影向量是C.直线与直线所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为〖答案〗ABD〖解析〗旋转一周后所得圆锥的顶点为，底面圆心为，半径，所以圆的周长为，所以所对的圆心角为，A正确；易知B正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，所以，C错误．设平面的法向量为，则令，则．设直线与平面所成的角为，则，D正确.故选：ABD11.已知非常数函数的定义域为，且，则（）A. B.或C.是上的增函数 D.是上的增函数〖答案〗AC〖解析〗在中，令，得，即．因为函数为非常数函数，所以，A正确．令，则．令，则，①令，则，②由①②，解得，从而，B错误．令，则，即，因为，所以，所以C正确，D错误．故选：AC.三、填空题12.已知向量，若，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，，因为，所以，所以，解得.故〖答案〗为：13.在中，内角所对的边分别为，若成等比数列，且，则_______，_______．〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理知，所以有：．故，即，从而，所以．因为成等比数列，所以，从而．故〖答案〗为：；.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为_______．〖答案〗〖解析〗根据题意画出图象如下：由得，又，所以，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，即，解得或，因为，所以.则双曲线的渐近线方程为．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知是等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且，求的前项和．解：（1）因为成等比数列，所以，解得．又是等差数列，，所以公差，故.（2）由，得，所以,又,当时，,又也适合上式，所以,则,所以.16.如图,在直三棱柱中,已知.（1）当时，证明：平面.（2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：当时，为的中点，连接，交于点，连接，可知是的中位线，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：易知两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，当时，，.设平面的法向量为，则，令，得.易知为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则.17.为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.解：（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，则.依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.，，.随机变量的分布列为012所以.（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：．若第一次借阅“期刊杂志”，则．若第一次借阅“文献书籍”，则．因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．解：（1）的定义域为，则，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由题意得，对任意的，存在，使得，即，由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减；故在处取得极小值，也是最小值，故，即证，令，，则，当时，，当时，，故上单调递增，在单调递减，故，令，，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，且，综上，都在上取得最值，从而，解得，故实数的取值范围为.19.已知是抛物线上任意一点,且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点,与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.（1）求抛物线的方程.（2）证明：（3）设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.（1）解：设，易知，准线方程为，所以.当时，取得最小值，由，解得.所以抛物线的方程为.（2）证明：设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为0，所以设直线的方程为，联立，消去得，所以，所以，同理可得，所以.（3）解：因为，所以，即.因为，所以，即，所以，由（2）知，所以，故，所以，即，化简得，解得或，若，则，这与矛盾，所以，所以.

贵州省安顺市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又，所以．故选：D.3.已知直线与圆相交于两点，若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗如图所示：设坐标原点到直线的距离为，则.设线段的中点为，则，根据勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故选：B.4.高二年级进行消防知识竞赛．统计所有参赛同学的成绩．成绩都在内．估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）A.65 B.75 C.85 D.95〖答案〗C〖解析〗观察频率分布直方图知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此成绩的第75百分位数，，解得，所以估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为85.故选：C5.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A.e B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．令，则在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，故．故选：D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗依题意，，令椭圆的半焦距为c，由，得，即，因此，即，所以，即.故选：B7.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，因为，由勾股定理得，故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，设内切球的半径为，则由等体积法可得，解得，所以．故选：A8.甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）A.342 B.390 C.402 D.462〖答案〗B〖解析〗去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为；②1，2，3型，则不同种数为；③2，2，2型，则不同种数为．所以共有种.故选：B二、选择题9.已知函数，则（）A.B.C.在上单调递减D.的图象向左平移个单位长度后关于轴对称〖答案〗BCD〖解析〗由题意函数的图象的一条对称轴方程为，所以，所以，因为，所以，即.对于A，，错误；对于B，因为，所以图象的一个对称中心为，即，正确；对于C，当时，，所以在上单调递减，C正确；对于D，的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数〖解析〗式为，显然是偶函数，其图象关于轴对称，D正确.故选：BCD10.在中，为的中点，点在线段上，且，将以直线为轴顺时针转一周围成一个圆锥，为底面圆上一点，满足，则（）A.B.在上的投影向量是C.直线与直线所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的正弦值为〖答案〗ABD〖解析〗旋转一周后所得圆锥的顶点为，底面圆心为，半径，所以圆的周长为，所以所对的圆心角为，A正确；易知B正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，所以，C错误．设平面的法向量为，则令，则．设直线与平面所成的角为，则，D正确.故选：ABD11.已知非常数函数的定义域为，且，则（）A. B.或C.是上的增函数 D.是上的增函数〖答案〗AC〖解析〗在中，令，得，即．因为函数为非常数函数，所以，A正确．令，则．令，则，①令，则，②由①②，解得，从而，B错误．令，则，即，因为，所以，所以C正确，D错误．故选：AC.三、填空题12.已知向量，若，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，，因为，所以，所以，解得.故〖答案〗为：13.在中，内角所对的边分别为，若成等比数列，且，则_______，_______．〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理知，所以有：．故，即，从而，所以．因为成等比数列，所以，从而．故〖答案〗为：；.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为_______．〖答案〗〖解析〗根据题意画出图象如下：由得，又，所以，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，即，解得或，因为，所以.则双曲线的渐近线方程为．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知是等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且，求的前项和．解：（1）因为成等比数列，所以，解得．又是等差数列，，所以公差，故.（2）由，得，所以,又,当时，,又也适合上式，所以,则,所以.16.如图,在直三棱柱中,已知.（1）当时，证明：平面.（2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：当时，为的中点，连接，交于点，连接，可知是的中位线，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：易知两两垂直，以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，当时，，.设平面的法向量为，则，令，得.易知为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则.17.为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.解：（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，则.依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.，，.随机变量的分布列为012所以.（2）若小明第二次借