专题08立体几何大题常考题型归类（考题猜想6题型）

专题08立体几何大题一．共面、共线、共点的证明1．（2324高二上·北京·月考）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.(1)求证：；(2)设与交于点，求证：三点共线.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）、分别是、的中点，，，，.（2）因为，，平面，所以平面，同理平面.所以是平面与平面的公共点，又平面平面，所以，所以三点共线2．（2324高一下·江苏高邮·月考）如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足.求证：(1)，，，四点共面；(2)，，三线共点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以.又因为，所以.所以，所以E，F，G，H四点在同一平面内，即E，F，G，H四点共面．（2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，.由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，即，因为平面，所以点平面，可得点平面.又因为平面平面，所以点直线，所以直线，，三线共点．3．（2324高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点.(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：四点共面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为分别为的中点，则，，又因为，，则，，所以四边形是平行四边形.（2）因为，，为中点，则，，可知四边形为平行四边形，则，，由（1）知：，，可得，，所以四边形为平行四边形，则，即，所以四点共面.4．（2223高一下·四川绵阳·月考）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)已知点满足，求证四点共面；(2)求三棱柱的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）在正方体中，取中点，连接，如图，因为是的中点，则，即四边形是平行四边形，则有，由，知为的中点，而为中点，于是，即有，所以四点共面.（2）显然三棱柱是直三棱柱，，上下两个底面的面积和为，侧面积，所以三棱柱的表面积.5．（2324高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．(1)证明：三条直线相交于同一点(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】（1）连接，如图：分别是的中点，，，且，∴四边形为平行四边形，，在中，分别是的中点，，，且四点共面，设，平面，平面，平面，平面，平面平面，三条直线相交于同一点；（2），三棱锥的高为，点是棱的中点，，点分别是棱的中点，，，．．二．平行与垂直证明综合1．（2324高一下·河北张家口·月考）在正方体中，O是的中点，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若P是的中点，求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）连接，因为分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面.2．（2324高一下·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点F.(1)证明：平面；(2)证明：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）连接，交于，连接．因为底面是正方形，所以点是的中点，在中，是中位线，所以，而平面且平面，所以，平面.（2）证明：由底面，面，得，因为底面是正方形，有，又，平面，所以平面，而平面，所以，因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面．3．（2324高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：(1)平面；(2)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）取线段的中点，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；取线段的中点，连接，则，，又，，∴四边形为正方形，设，则，，，，；又，平面，平面，平面，.4．（2324高一下·江苏盐城·月考）在三棱柱中，侧面底面，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：连接，设，因为四边形为平行四边形，所以为的中点.因为为的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）证明：在中，由，得，即；在中，同理可得.因为侧面底面，侧面底面，底面，所以平面又平面，所以，又，平面平面，所以平面5．（2324高一下·安徽·月考）如图，在直四棱柱中，四边形为等腰梯形，，，，点E是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）证明：（1）因为，点E是线段的中点，所以，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.同理，，平面，平面，所以平面.又，，平面．所以平面平面.（2）如图，作，垂足为F.因为，所以，又因为，所以，所以由勾股定理得，所以，所以，因为平面，所以，又，平面，所以平面.因为平面平面，所以平面.三．直线与平面所成角求解1．（2324高一下·湖南永州·月考）如图，在长方体中，，(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）连接，由题意可知：为正方体，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，由平面，可得.（2）由题意可知：平面，则即为直线与平面所成角，又因为，则，所以所求角的正切值为2．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，则，，又底面是正方形，即，则，即四边形为平行四边形，则，又在平面外，平面，故平面.

（2）取线段的中点为点，连接、，又，底面是边长为的正方形，则，且，，又二面角的大小为，即平面平面，又平面，平面平面，则平面，则是直线与平面所成角，在中，，即，故直线与平面所成角的大小为.3．（2324高一下·山西运城·月考）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）因为，分别为线段，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.

因为，分别为线段，的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.（2）由题知平面，平面，故，故，因为四边形是菱形，且，则，所以.而，故.

设为点到平面的距离，与平面所成的角为，故.又，而，故，故.

故，即与平面所成角的正弦值为.4．（2324高一下·河北沧州·月考）如图，在斜三棱柱中，为AC的中点，.(1)证明：.(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）取的中点，连接，如图所示.因为为的中点，所以又，所以，因为，所以，所以四点共面，因为且都在面，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为平面，面，所以.又，由，即，因为，所以，则由题设知，因为，且都在内，所以平面，面，所以，且设到平面的距离为，由，且都在面内，故面，因为，平面，平面，所以平面，综上，设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.5．（2324高二上·河南·月考）如图，已知平面ACD，平面ACD，三角形ACD是正三角形，且，F是CD的中点．(1)求证：平面平面CDE；(2)求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：因为平面ACD，平面CDE，所以平面平面ACD．在底面ACD中，，平面平面，由面面垂直的性质定理知，平面CDE．取CE的中点M，连接BM，FM，由已知可得且，则四边形FMBA为平行四边形，从而．所以平面CDE．又平面BCE，则平面平面CDE．（2）过F作交CE于N，则平面CBE，连接EF，则就是直线EF与平面CBE所成的角．设，则，，，，在中，∴．故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．四．空间二面角求解1．（2324高一下·江苏·月考）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算）【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点.由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面.（2）我们有，.而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是.而由于，，故.所以二面角的正切值为.2．（2324高一下·广西南宁·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为平面平面，平面平面，且，即，面，所以平面，而平面，所以，又，所以，又，平面，所以平面，面，即，由面，则，又，，，所以，，则，故，所以，又因为平面平面，平面平面，所以点到平面的距离即为点到直线的距离；设点到平面的距离为，则，设点到平面的距离为，则，所以，即，解得，即点到平面的距离为.（2）如图：取中点，连结BD，取中点，连结，因为，为中点，所以，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又，，所以，，由题设易知为正方形，则，且，所以且，则平面，所以平面，平面，所以，所以在直角三角形中，即为二面角的平面角，.3．（2324高一下·河南郑州·月考）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.(1)求证：；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；（2）延长与交于点，连接，则平面平面，因为，,所以是的中点，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为平面与平面所成角的平面角，在中，因为，可得，在中，因为，可得，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.4．（2324高三下·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且．(1)证明：平面平面；(2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）因为平面平面，平面平面，又平面，，所以平面，又平面，所以，过C作交于点G，则由题意，所以，，所以，即，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）过A作交于点E，由（1）可得平面平面，又平面平面，所以平面，点A到平面PBC的距离为，所以，又由（1）平面可得，所以，所以，延长交于点S，则平面平面，又由为等腰梯形，且以及，可得，分别为的中点，连接，则，且，又由平面，可得，又，、平面，所以平面，又平面，所以，过D作，交于点，连接，则由得平面，所以为二面角的的平面角，又在和中，，所以，故，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.5．（2324高一下·浙江·月考）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由平面为正方形，因为，所以，又因为，，所以，所以，又，且，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，平面平面.（2）因为直角三角形中，.所以，所以为等边三角形.又因为为等腰三角形.所以取得中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角.因为直角三角形中，.在等边三角形中，所以在三角形中，.所以二面角的余弦值为.五．等体积法求点到平面的距离1．（2324高一下·河南周口·月考）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点.(1)证明：平面；(2)求点C到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）∵，，，∴，又为等边三角形，∴，在中，由余弦定理得，解得，∴，即．∵，，平面，∴平面.（2）取中点，连接，∵为等边三角形，∴，又由（1）可知平面，平面，∴，又∵，且平面，∴平面.∵为的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离．在中，可知，在中，可知，∵是的中位线，∴，可得的面积设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，又的面积，点E到平面的距离为，∴三棱锥的体积.由，得，即点到平面的距离为.2．（2324高一下·吉林长春·期中）如图，已知正方体的棱长为.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）如图，连接，因为平面，平面,则，又因为，且平面，得平面，又平面，所以；因为平面，平面，则，又因为平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面.（2）由为的中点，得，且，所以，由，得，即，解得，即点到平面的距离为.3．（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点.(1)求证：面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）连接，因为分别是的中点，由中位线定理得，又，所以，所以四点共面，由于是AD的中点，则且那么四边形为平行四边形，从而，又面面故面，（2）由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离.易得，利用余弦定理得则设点到平面的距离，利用等体积法，可得，即点到平面的距离为.4．（2324高一下·河南安阳·月考）如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点．(1)证明：平面；(2)若，，，求到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）连接，交于，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，因为D为线段AC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，，D为线段AC的中点，所以，且，，因为直棱柱中平面，面，所以，因为，平面，所以平面，即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得，在直角三角形中，，，所以面积，又三角形的面积为.设到平面的距离为，因为，所以，所以，解得，即到平面的距离为.5．（2324高一下·福建莆田·期中）正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.(1)证明：平面；(2)求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）连接，设，连接因为是正三棱柱的侧面，所以为矩形，所以是的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为，为的中点，，所以，，故，又平面，，所以又，由正三棱柱的性质可知，平面平面，又平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得，所以点到平面的距离为.六．立体几何中的动点探究问题1．（2324高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：‖平面；(2)上是否存在一点，使得平面‖平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为的中点【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接．正方体，底面为正方形，，为的中点，又为的中点，是的中位线，‖，又平面，平面，‖平面．（2）当点为的中点时，即满足平面‖平面，理由如下：连接，，为的中点，为的中点，‖，，四边形为平行四边形，‖，又平面，平面，‖平面．由（1）知‖平面，又，，平面，平面‖平面．2．（2324高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.(1)求证：平面；(2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)点为的中点，理由见解析.【解析】（1）取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且，又因为，且，所以则四边形是平行四边形，即，又因为平面，平面，所以平面；（2）存在点为的中点，满足平面.因为点为的中点，点为棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，再由平面，，平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.3．（2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，且点为棱的中点【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，因为为的中点，则且，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面.（2）当点为的中点时，平面平面，因为四边形为矩形，则，因为，则，因为四边