第08讲一元二次方程常考综合题精练（8大题型）

第08讲一元二次方程常考综合题精练本讲目录题型01配方法在几何问题中的应用题型02配方法在代数问题中的应用题型03解一元二次方程在几何问题中的应用题型04解一元二次方程在函数问题中的应用题型05一元二次方程根的判别式的应用题型06一元二次方程根的实际应用增长率问题题型07一元二次方程根的实际应用营销问题题型08一元二次方程根的实际应用动态几何问题题型01配方法在几何问题中的应用1．如图，已知，C为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点C，E，F在一条直线上，．P、Q分别是对角线，的中点，当点C在线段上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．

【答案】【分析】连接、，首先证明，设，则，，，得出，利用配方法即可解决问题．【详解】解：连接、，

∵四边形，四边形是菱形，，∴，，∵P，Q分别是对角线，的中点，∴，，，∴，设，则，∵，∴，，∴，∴当时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用相关知识．2．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，是等腰直角三角形，，已知．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为．【答案】（，）【分析】设，过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，证明，进而用b表示C点坐标，再由中点公式求得M点的坐标．【详解】解：过A作轴于点D，过C作轴，交AD于点E，如图所示，∵，∴，设，则，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵M为BC的中点，∴，∴，当时，PM有最小值，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，某小区有块长为米，宽为米的长方形地块，角上有4个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，其中ab．（1）用含有a和b的式子表示绿化的总面积S；（结果用最简形式表示）（2）若ab20

且，求S的大小；（3）若ab20，那么当a米且b=米时，有S的最大值为：当S取最大值时，若甲乙两个工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化4平方米，乙每小时可绿化1平方米，且乙的工作时间不低于甲的工作时间，则甲最多工作小时．【答案】（1）；（2）475；（3），，，【分析】（1）用长乘以宽表示出长方形地块面积，再减去4个小正方形的面积即可；（2）由得，结合求出a和b的值，再代入（1）中的结果求出S的值；（3）由得，则，利用配方法求出最值，以及取最值时a和b的值，设甲工作时间为，乙工作时间为，用x表示出y，然后列不等式求出x的最大值．【详解】解：（1）；（2）∵，∴，解方程组，解得，则；（3）∵，∴，∴，，当时，，S有最大值，最大值是，设甲工作时间为，乙工作时间为，列方程：，则，∵乙的工作时间不低于甲的工作时间，∴，解得，∴甲最多工作小时，故答案是：，，，．【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，不等式的应用，配方法求最值，解题的关键是掌握这些知识点进行计算求解．4．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．请根据上述材料解决下列问题：(1)若代数式，求M的最小值；(2)已知正数x，y满足，求的最小值．【答案】(1)3(2)【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键．（1）运用配方法解题即可；（2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：，，当，时，M有最小值为3；（2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值．5．已知，在中，，，点D是边上一点（点D不与点A，C重合），连接，将绕着点D顺时针旋转，得到，连接．

(1)①如图1，当，点D是的中点时，请猜想：与数量关系是；②如图2，当，点D是边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．(2)如图3，若，，直接写出的面积的最大值．【答案】(1)①；②成立，见解析(2)【分析】（1）①延长，过点E作于点F，证明，得出，，证明，得出，即，得出，根据勾股定理得出．②延长，过点E作于点F，证明，得出，，证明，得出，即，得出，根据勾股定理得出；（2）连接，延长，过点E作于点F，证明、都是等边三角形，得出，，，证明，得出，，求出，得出，根据勾股定理得出，设，则，，根据三角形面积公式得出，根据，得出，得出时，最大，且最大值为．【详解】（1）解：①延长，过点E作于点F，如图所示：

则，∵，∴，∴，∴，根据旋转可知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：；②成立；理由如下：延长，过点E作于点F，如图所示：则，∵，∴，∴，∴，根据旋转可知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：连接，延长，过点E作于点F，如图所示：

∵，∴，∵，，∴、都是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，设，则，，∴，∵，∴，∴当时，最大，且最大值为，∴的面积的最大值为．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形面积的计算，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三角形全等．6．在中，，，点分别在长方形的边上．(1)如图，当点在上，且，时，则________；(2)如图，若，点为线段上一动点（不包括端点），连接，求的度数；(3)如图，若矩形中，，，在（）的基础上，当取值最小时，求点的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)点的坐标为．【分析】（）证明，得到，，进而由勾股定理得到，再由勾股定理即可求出；（）过点作轴于，与同理得到，得到，，进而得到，即可得到；（）过点分别作轴，轴，由（）可得，，设，即可得到，，，在中，由勾股定理可得，由取最小值可求出，即可得到点的坐标．【详解】（1）解：∵，∴，∵四边形是长方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：如图，过点作轴于，则，同理（）可得，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点，则，，，由（），，∵，∴设，则，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴当时，取最小值，∴点的坐标为．【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．7．如图1，在正方形中，为对角线上一点（），点，关于直线对称，过点作的垂线，分别交，于点，．

(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)如图2，连接并延长与的延长线交于点，连接．若已知，设，用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．【答案】(1)见解析(2)(3)，【分析】（1）根据对称的性质得，再得出，又，从而，进而可证结论成立；（2）设，则，，利用勾股定理求出x的值，然后得出的长即可；（3）先计算出，作于点P，作于点N，证，求出和，然后得出的面积为的表达式，最后利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）∵点，关于对称，∴，∵，∴，在正方形中，，∴，∴，∴．（2）设，∵，∴，在正方形中，，又∵，∴，∵，∴，在中，，∴，解得：，（舍），∴．（3）设，∴，∵，∴，又∵，∴作于，于，∴，又∵，，∴，∴，设的面积为，则，当时，的最大值为．即面积的最大值为

【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理等知识是解题的关键．题型02配方法在代数问题中的应用8．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（

）A．2011 B．2013 C．2018 D．2023【答案】B【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．【详解】解：与为同族二次方程．，，∴，解得：．，当时，取最小值为2013.故选：B.【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．9．一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如，时，成立，我们称是使成立的“神奇数对”，请完成下列问题：(1)数对，中，使成立的“神奇数对”是_________；(2)若是使成立的“神奇数对”，求的值；(3)若是使成立的“神奇数对”，且，，求代数式的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最小值为．【分析】（）按照题中定义将数对，分别验算即可；（）根据题意得到关于的分式方程，解方程即可求解；（）根据已知条件，先将和用含的式子表示出来，再根据题意得出关于和的等式，然后可得关于的等式，利用配方即可得到代数式的最小值；本题考查了分式方程在新定义运算下的应用，理解新定义运算是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴数对是使成立的“神奇数对”；∵，∴数对不是使成立的“神奇数对”；故答案为；（2）解：∵是使成立的“神奇数对”，∴，整理得，，解得，经检验，是原分式方程的解，∴；（3）解：∵，，∴，，∵是使成立的“神奇数对”，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴代数式的最小值为．10．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：．（1）填空：_；若，则_；（2）已知，求的取值范围；（3）小明发现，无论取何值，计算时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由．【答案】（1）13，5；（2）或；（3）小明结论正确，理由见解析【分析】（1）根据计算公式即可求解；（2）根据公式化简，不等式组即可求解；（3）先利用配方法证明x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＞0，再公式化简，利用配方法即可求解．【详解】（1）33×3=﹣13；∵∴x3（x+6）=8解得x=5故答案为：13；﹣5；（2）由题意知或解得或∴或；（3）∵x2﹣2x+3﹣（﹣x2+2x﹣5）＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6＞0∴x2﹣2x+3＞﹣x2+2x﹣5，原式＝x2﹣2x+3+3（﹣x2+2x﹣5）＝x2﹣2x+3﹣3x2+6x﹣15＝﹣2x2+4x﹣12；＝﹣2（x﹣1）2﹣10＜0∴小明结论正确．【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是根据题意的公式分情况进行运算．11．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？【答案】(1)见解析(2)(3)当，时，取得最小值，最小值为【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，；第二种形式：选取二次项和常数项配方，；或；第三种形式：选取一次项和常数项配方，；（2）解：，配方，得：，即，∵，，∴，，解得：，，∴；（3）解：，∵，∴，当，时，取得最小值，即当，时，取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．12．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足．求的最大值．【答案】（1）5；（2）（3）【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成，求最小值即可；（3）根据已知得到，即或，代入求最值即可．【详解】解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为5．（2），当取最小值时，原式最大，由（1）可知，最小值为2，此时的最大值为；（3）∵，∴，，或，或，=，最大值是，的最大值为；或=，最大值是，的最大值为；综上，的最大值为【点睛】本题考查了配方法求最值，解题关键是熟练运用配方法求代数式的最值．13．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；(3)若整式关于对称，求实数a的值．【答案】(1)1；(2)(3)【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；（2）依据题意，由多项式，又多项式关于对称，从而可以得解；（3）依据题意，由，进而可以判断得解．【详解】（1）解：由题意，∵，∴多项式关于对称．∵，∴多项式关于对称．故答案为：1；．（2）解：由题意，多项式，∴多项式关于对称．又多项式关于对称．，．（3）解：由题意：得，∴关于对称．又∵关于对称，．题型03解一元二次方程在几何问题中的应用14．如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，将边绕点顺时针旋转后得到线段，与交于点F，若，，则边的长为．【答案】/【分析】作交于点G，连接，证，进而证，设，则；根据，即可求解；【详解】解：如图，作交于点G，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则；∴，∴，∴，∵，∴解得：，（舍去）．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形全等综合，勾股定理，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点，(1)求证：．(2)记面积为，四边形面积为，①求与的关系式．②连接，若为直角三角形时，求的值．【答案】(1)见解析(2)①；②或3【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得出，再根据证明；（2）①延长交于点M，证明，，，为等腰直角三角形，得出，，，，求出，得出，，根据得出即可；②分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴，即，∵，，∴；（2）解：①延长交于点M，如图所示：∵，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，，为等腰直角三角形，∴，，，，∵，∴，解得：，∴，，∴，∴．②根据勾股定理得：，∵，∴，，根据勾股定理得：，，当时，，∴，解得：或（舍去），，∴；当时，，∴，解得：，，∴；当时，，∴，解得：，此时，不符合题意舍去；综上分析可知：或3．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．16．【问题背景】如图1，在平行四边形中，，点是边的中点，连接，点是线段上的动点，连接，且满足．【初步尝试】（1）如图2，当四边形是正方形时，若，则____，______．【猜想验证】（2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段的中点，可得始终为定值．请你猜想这个定值是多少？并说明理由．【拓展应用】（3）如图3，在（2）的基础上，若，当四边形是菱形时，求菱形的边长．【答案】（1），；（2），见解析；（3）菱形的边长为或【分析】（1）根据正方形的性质，点E是边的中点，再根据勾股定理求出，进而推出，，根据等面积求出，由，作答即可；（2）取线段和的中点H、M，连接，则MH是的中位线，由的性质，点E是边的中点，进而推出，则，推出；（3）分情况讨论，根据勾股定理和解一元二次方程，即可求出菱形的边长．【详解】解：（1）在正方形中，，，∴，∵点E是边的中点，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：，；（2），理由如下：如图，取线段和的中点H、M，连接，

则是的中位线，∴，，在中，，，∵点E是边的中点，∴，，∴，，∴，∵，∴∠HFG=∠DGF，∴，∴，∴，∴；（3）情况1：如图，取中点M，连接，

∵菱形，∴，，由（2）得，∴，得，解得（舍去），，∴，在中，，在中，，情况2：如图，取中点M，连接，∵菱形，∴，由（2）得，∴，，得，解得（舍去），，∴，在中，，在中，，∴菱形的边长为或．【点睛】本题是平行四边形综合题，考查了勾股定理，平行四边形的性质，解一元二次方程，三角形全等的判定和性质，解题的关键是分类讨论，作辅助线．17．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为．(1)求平行四边形的面积；(2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值；(3)当时，连接，取线段的中点，请直接写出的长度．【答案】(1)；(2)的值为或．(3)【分析】（1）过点作于点，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；（2）分点在线段上，点在线段上，点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，三种情况计算即可；（3）延长交延长线于点，过点作于点，由，得，，再证明，得，，，再利用勾股定理及直角三角形的性质即可得解．【详解】（1）解：平行四边形中，∵，，，∴，，如图，过点作于点，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴（），∴平行四边形的面积为：（）．答：平行四边形的面积为；（2）解：∵由（）知平行四边形的面积为．∴当的面积为平行四边形的面积的时，的面积为：（），当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，，，同（1）高为（），∴，∴（舍）或，∴，符合题意；当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，，∴，不符合题意；当点运动到线段上时，且运动时间为秒时，点也运动到线段上，如图，过点作垂直于点，垂直于延长线于点，∵四边形为平行四边形，，，，∴，∴，∴同（1），（），∴，化简得：，∴（舍去），，当时，点位于线段上，点位于线段上，符合题意．综上所述，的值为或．（3）解：延长交延长线于点，过点作于点，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵是的中点，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质或平行四边形的性质是解题的关键．18．已知，如图1，四边形中，，；(1)求证：四边形为平行四边形；(2)如图2，若平分，连接，，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作，垂足为F，点S在上，点N在上，若，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先证明可得，从而可得结论；（2）先证明，，再结合平行四边形的性质可得结论；（3）如图，延长至使，过作交于，交于，延长与的延长线交于点，证明，，再证明，可得，，设，可得，表示，，，，再利用勾股定理建立方程求解，再进一步求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴．又∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形．（2）由（1）得，四边形为平行四边形，可得：，，，∴，．∵平分，∴∴，∴．∵，∴∴∴∴．（3）如图，延长至使，过作交于，交于，延长与的延长线交于点，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，设，∴，∵，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，∴，由勾股定理可得：，∴，解得：，（舍），∴，，∴；【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．19．综合与实践：综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；再将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．根据以上操作，同学们很快发现，，三点共线，且有以下结论：①；②线段，，之间的数量关系为：．【深入探究】操作二：如图2，再将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：一、小曾发现，当点落在折痕上时，设交于点，如图2，则有结论：；二、小段发现，当点落在折痕上时，是一个定值．【解决问题】（1）证明小曾同学结论的正确性：；（2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，矩形中，，，点、分别在边、上，，，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立，；（3）【分析】（1）由折叠的性质可知，，，根据证明得，进而可证；（2）由折叠的性质可知，．根据求出，进而可求出求出的大小；（3）将三角形沿翻折，使点F落在点G处，连接交与点O，设，则，求出，然后根据列方程求解即可．【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴．由折叠的性质可知，，，∴，又∵，∴．由操作一知，∴是等腰直角三角形，∴N，∴，∴．∵，∴．（2）成立，理由如下：由折叠的性质可知，．∵是等腰直角三角形，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．（3）将三角形沿翻折，使点F落在点G处，连接交与点O，∴，．由折叠的性质得，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．∵四边形是矩形，∴，，∴，∴．设，则，∴，．在中，，∵，∴，整理得，∴或（舍去），即．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．题型04解一元二次方程在函数问题中的应用20．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，且．(1)求直线的解析式；(2)如图2，在射线上有一动点F，连接、，M为x轴上一动点，连接、，当时，求的最大值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线平移得到，若在平移过程中是以为一腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本题主要考查了考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义：（1）先把点E坐标代入中求出点E坐标，再求出点C坐标，进而求出点B坐标，最后利用待定系数法求解即可；（2）先求出，得到，则，可得；如图所示，过点F作轴交直线于H，作点B关于x轴的对称点，连接，则；设，则，可得，根据，得到，解得，则；由轴对称的性质可得，根据，得到当点M在直线上时，有最大值，即有最大值，最大值即为的长，则的最大值为；（3）设，则，可得，，，再分当时，当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：把代入中得：，解得，∴，在中，当时，，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为；（2）解：在中，当时，，∴，∴，∵，∴，∴；如图所示，过点F作轴交直线于H，作点B关于x轴的对称点，连接，则；设，则，∴，∵，∴，解得，∴；由轴对称的性质可得，∴，∵，∴当点M在直线上时，有最大值，即有最大值，最大值即为的长，∴的最大值为；（3）解；设，∵沿直线平移得到的，∴点F到的平移方式与点C到点的平移方式相同，∴，∴，，，当时，则，解得或，∴或；当时，则，解得，∴；综上所述，或或．21．如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交x，y轴于A，B两点，直线的图象分别交x，y轴于C，D两点，且两条直线相交于点E，已知点C的坐标为．.(1)求E点坐标；(2)在直线上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出F点坐标．若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点G为线段上一点，连接，，当时，经过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，判断的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)(2)或或(3)的值是定值，且【分析】（1）先把代入求出，然后联立，求出，即可求出点E的坐标；（2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别列出方程，求出结果即可；（3）过点G作轴，交于点H，先求出，得出，设点G的坐标为，则点H的坐标为，根据，求出，得出，设过点G的直线解析式为：，求出，，求出即可．【详解】（1）解：把代入得：，解得：，∴直线，联立，解得：，∴点E的坐标为；（2）解：设，∵，，∴，，，当时，，解得：（舍去）或，∴此时；当时，，解得：或，∴此时或；综上分析可知，点F的坐标为或或．（3）解：的值是定值，且．过点G作轴，交于点H，如图所示：把代入得：，∴点B的坐标为，把代入得：，解得：，∴点A的坐标为，∴，∴，∴，设点G的坐标为，则点H的坐标为，∴，∴，解得：，∴，设过点G的直线解析式为：，∵过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，∴，把代入得：，∴把代入得：，∴，则，把代入得：，解得：，∴，则，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求两条直线的交点坐标，等腰三角形的定义，两点间距离公式，解一元二次方程，三角形面积的计算，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是数形结合，熟练掌握两点间距离公式，待定系数法求一次函数解析式．22．定义：如图1，已知点是内任意一点，过点任意作一条直线，分别交射线，于点，．若点是线段的中点，则称线段为关于点的中点线段．

(1)如图2，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，过点的直线分别交轴正半轴和轴的正半轴于点和，线段是关于点的中点线段．①若点的坐标为，求直线的解析式；②若线段，点在直线上，请直接写出线段的最小值及线段取得最小值时点的坐标；(2)如图3，射线的解析式为，点，过点任意作一条直线，交射线于点，交轴于点，求的面积的最小值．【答案】(1)①，②点的坐标为：；(2)的面积的最小值为5．【分析】（1）①由中点公式求出，，再由待定系数法求函数的解析式即可；②设，由题意求出，，则，所以点在以为圆心2为半径的圆上，过点作交于点，与圆交于点，此时最短；（2）设直线的解析式为，求出，联立方程组，求出，则，令，整理得，再由△，求出，即可求的面积的最小值为5．【详解】（1）解：①段是关于点的中点线段，是线段的中点，，，，设直线的解析式为，，解得，；②设，线段是关于点的中点线段，，，，，点在以为圆心2为半径的圆上，过点作交于点，与圆交于点，

设直线与轴交于点，与轴交于点，，，，，，，，，的最小值为1，设，，解得，点在第一象限内，；（2）解：设直线的解析式为，，联立方程组，解得，，，令，，，△，解得或，的面积的最小值为5．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，利用一元二次方程判别式求函数的最大值是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴正半轴上，且顶点与坐标原点重合，点的坐标为，直线过点，与轴交于点，与轴交于点．(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿的路线向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度速度沿的方向向点运动，过点作轴，交线段或线段于点当点到达点时，点和点都停止运动，在运动过程中，设动点运动的时间为秒；设的面积为，求关于的函数关系式___________；是否存在以、、为顶点的三角形的面积与相等？若存在，直接写出的值___________．【答案】(1)(2)①，②存在，1【分析】把点坐标代入直线求得的值即得到直线解析式，令求点坐标，令求点坐标．由中求得，即的取值范围为且画图发现有两种情况：当时，点在线段上，点在线段上，可证得轴，故，用表示、的值再代入即能用表示；当时，点在线段上，点在线段上，此时以为底、点到距离为高来求；与类似把点、的位置分两种情况讨论计算；其中在上、在上时，以为底求的面积，需对点到的距离的表示再进行一次分类．用表示面积后与相等列得方程，解之求得的值．【详解】（1）直线过点，，，，当时，，当时，，故答案为：；（2）过作于点，则，当在上，即时，如图所示：，，四边形是矩形，，；当，即在上时，如图所示：，，故答案为：；当时，为的中点，即时，的面积与相等，当时，的面积为：，，解得：不合题意，舍去或不合题意，舍去，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，分类讨论思想是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为．点E的坐标为，直线经过点F和点E，直线与直线相交于点P．(1)求直线的表达式和点P的坐标；(2)矩形的边在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段上，边平行于x轴，且，将矩形沿射线的方向平移，边始终与x轴平行，已知矩形以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒．①当时，A点坐标是_________，移动t秒时，D点坐标为_________，②矩形在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线或上时，矩形会发出红光，请直接写出矩形发出红光时t的值；③若矩形在移动的过程中，直线交直线于点N，交直线于点M．当的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】(1)，点P坐标为(2)①，；②或；③【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①利用平移的性质即可求解；②分情况讨论，当点D在直线上时，利用点D与点A的横坐标之差为9，列式计算求解即可；当点B在直线上时，点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，列式计算求解即可；③设点A横坐标为a，则点D横坐标为，再用a表示出，，用a表示出和上的高，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：设直线的表达式为，∵直线过点，，∴，解得，直线的表达式为．联立，得，解得，，∴点P坐标为；（2）解：①∵，，∴，，，∵矩形以每秒个单位的速度沿射线的方向匀速移动，相当于矩形以每秒1个单位的速度沿y的方向向下匀速移动，或以每秒2个单位的速度沿x的方向向右匀速移动，∴当时，A点坐标是，即；当时，D点坐标是；故答案为：，；②如图，当点D在直线上时，∵，∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线与直线的解析式变为，∴，解得，则点A的坐标为：，则，∵点A速度为每秒个单位，∴；如图，当点B在直线上时，∵，∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，∴直线的解析式减去直线的解析式得，解得，则点A坐标为，则，∵点A速度为每秒个单位，，故t值为或；③如图，设直线交于点H，设点A横坐标为a，则点D横坐标为，∴，，∴，此时点P到距离为：，∵的面积等于18，∴，解得（舍去），∴，则此时t为，当时，的面积等于18．【点睛】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的面积等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键．题型05一元二次方程根的判别式的应用25．若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有个．【答案】3【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根，∴且，解得且，∴方程的根为，根据根与系数的关系可得，，且为正整数，∴，∵为完全平方数且为正整数，∴或或，解得或6或13，即满足条件的共有3个，故答案为：3．26．如果关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，利用一元二次方程根的判别式，得到关于的一元一次不等式，解之得到的取值范围，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整数解得到的值，结合取值范围确定符合条件的所有整数，将其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到符合条件的所有整数是解题的关键．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得，解分式方程得，，∵关于的分式方程有正整数解，∴，解得，∵，∴，∴，又∵，∴符合条件的整数有，∴为，故答案为：．27．对于实数a、b，定义运算“*”；，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是．【答案】/【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为：当时，即时，有，即：，其根为：是负数，当时，即，时，有，即：，要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解，∴，∴，（1）当时，即时，方程只有一个根，∵当时，，∴，，∴此时方程只有一个根符合题意，∴不符合题意；（2）当时，方程的两个根都符合题题意，∵当时，，∴，，∴方程只有一个根符合题意，∴当时，恰好有三个不相等的实数根；（3）∵当时，方程的一个根，另外一个根，∴此时方程只有一个根符合题意，∵，，∴当时，方程最多有一个根符合题意，∴当时不可能有三个不相等的实根；综上分析可知，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键．28．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是．【答案】【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．【详解】解：∵是方程的“等根数”，∴，∴，即，∵为最小“等根数”，∴，，∴，∴最小“等根数”为，故答案为：；∵，∴，∵是整数，∴是整数，∴当时，或，此时或，∵，∴不符，舍去；当时，或，此时或，由可得，不符，舍去，∴，∴，∴，，，∴的最大值是，故答案为：．29．已知关于的方程．(1)求证：不论为何值，方程必有实数根；(2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由．【答案】(1)见详解(2)没有有理根，理由见详解【分析】（1）①当时，方程为一元一次方程，即可求解；②当时，方程为二元一次方程，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求解即可．（2）①当时，即：，即可求解；②当时，当为整数时，假设方程有有理根，则需满足：是完全平方数，设(为整数)，则有，即可求解．或或或，【详解】（1）解：由题意得①当时，即：，方程为一元一次方程：，此时方程必有实数根；②当时，即：，此时方程为一元二次方程，，，，，，，，故不论为何值，方程必有实数根；综上所述：不论为何值，方程必有实数根．（2）解：当为整数时，方程没有有理根，理由如下：①当时，即：，方程为一元一次方程，方程有有理根，为整数，此情况不存在；②当时，当为整数时，假设方程有有理根，则需满足：是完全平方数，设(为整数)，则有，或或或，解得：或，此时与为整数矛盾，当为整数时，方程没有有理根；综上所述：当为整数时，方程没有有理根．【点睛】本题考查了根的判别式，含有参数方程的特殊解法，掌握解法是解题的关键．30．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”．(1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________．(2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．(3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．【答案】(1)，，(2)0或(3)存在，【分析】（1）根据“幸福点”的概念列出二元一次方程组求解即可；（2）根据题意分和两种情况讨论，然后根据两个函数图象有且只有一个交点，得到只有一个根，然后利用一元二次方程的判别式求解即可；（3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“幸福函数”的性质求解即可．【详解】（1）∵为“幸福点”，∴，∴，将代入，解得，．故答案为：，，；（2）①当时，，∵函数是“幸福函数”，∴，此时，符合题意，②当时，将分别代入与中，有∵两个函数图象有且只有一个交点，∴只有一个根，即：，∴，∴，∴k的值为0或；（3）①如图所示，当点M在y轴正半轴上时，设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有，由直线可得，，，∴，，∴，∴，∴．设M点坐标为，则，，∴，∴，解得，∴，设直线解析式为，将，代入，解得，．∴，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”．∴，解得（与矛盾，舍去），∴此时，不存在“幸福函数”．②如图所示，当点M在y轴负半轴上时，，设M点坐标为，则，，∵，∴，∴，∴，又，同理，用待定系数法可求得直线解析式为：，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”．∴，得．∴，综上所述，存在“幸福函数”．【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．题型06一元二次方程根的实际应用增长率问题31．五峰县某茶叶公司预计用3年时间实现三种茶叶产品售出万元的目标．年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总销售额为万元时达成目标：B产品销售额从年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品年销售额在前一年基础上的增长率是A产品年销售额增长率的1.5倍，年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到．(1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元？(2)求B产品逐年递减的百分数．【答案】(1)(2)【分析】（1）由A产品三年总销售额为万元时达成目标及这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到列式计算即可得到三年C产品的销售额．（2）设2019年产品的销售额为万元，则产品的销售额为万元，产品的销售额为万元，根据A产品三年总销售额为万元，C产品三年的销售额为万元，列出方程组，解得，根据B产品年销售额为万元，B产品销售额从年开始逐年递减百分数为，在年只需售出5万元列等量关系即可；【详解】（1）解：（万元）答：这三年用于C产品的销售额达到万元．（2）解：设2019年产品的销售额为万元，则产品的销售额为万元，产品的销售额为万元，B产品逐年递减的百分数为，由题意知：，整理得：，解得：，由题意知：，即：，整理得：，解得：，（舍）答：B产品逐年递减的百分数为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出对应的方程是解决本题的关键．32．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部所需芯片的10%，HW公司计划2020年生产的全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为（），2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块，这三年丙类芯片的产量每年按相同的效量递增，这样，2020年的HW公司的产量比2018年全年的产量多10%（与芯片一一匹配），求丙类芯片2020年的产量及m的值．【答案】丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【分析】设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可求出x的值，则2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），2018年HW公司产量为2800÷10%＝28000（万部），由题意得出400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），设m%＝t，整理得：3t2＋2t−56＝0，解得：t＝4，或t＝−（舍去），即可得出答案．【详解】解：设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x＋2x＋（x＋2x）＋400＝2800，解得：x＝400；2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600（万块），设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），2018年HW公司产量为2800÷10%＝28000（万部），则：400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−100%）2＋8000＝28000×（1＋10%），设m%＝t，400（1＋t）2＋2×400（1＋t−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），整理得：3t2＋2t−56＝0，解得：t＝4，或t＝−（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．33．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值．【答案】（1）A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；（2）【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A种地砖的数量及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为(x+40)元，根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的方程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可．【详解】（1）一套公寓用A种地砖需要：块一套公寓用B种地砖需要：块设B种地砖每块的进价为x元由题可得：解得：元故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元．（2）由题可得：整理得：解得然：．∵，∴【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简．34．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5x）万人，依题意得：7.5x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+m%）+1.5×（1+m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．35．创意产品蕴含着很多商机，我市某文化创意公司，销售A，B两种创意产品，其中A产品的定价是每件20元，B产品的定价是每件30元．（1）该公司按定价售出A，B两种产品共600件，若销售总额不低于15000元，则至少销售B产品多少件？（2）2017年8月，该公司按定价售出A产品300件，B产品400件．2017年9月，公司根据市场情况，适当调整A，B产品的售价，A产品的售价比定价增加了a%，销量与8月保持不变；B产品的售价比定价减少了a%，销量比8月份增加了a%，结果9月份A，B产品的销售总额比8月份增加了a%，求a的值．【答案】（1）至少销售B产品300件（2）25【分析】（1）设销售B产品x件，则销售A产品（600﹣x）件，根据总价=单价×数量结合销售总额不低于15000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内的最小值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量结合9月份的销售总额比8月份增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设销售B产品x件，则销售A产品（600﹣x）件，根据题意得：20（600﹣x）+30x≥15000，解得：x≥300．答：至少销售B产品300件．（2）根据题意得：300×20（1+a%）+400（1+a%）×30（1﹣a%）=（300×20+400×30）（1+a%），整理得：1.2a2﹣30a=0，解得：a1=25，a2=0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用．解题的关键是：（1）根据总价=单价×数量结合销售总额不低于15000元，找出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．题型07一元二次方程根的实际应用营销问题36．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总利润，列出一元二次方程求出的值即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，由题意可得，，解得，经检验，是原方程的解，符合题意，∴，∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，∴根据第二天总利润为元可得，，整理得，，解得，，当时，，，∵，∴符合题意；当，，∵，∴不合题意，舍去；∴，故选：．37．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆，依题意得，解得，经检验是原方程的解，答：总共生产了袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，整理得：，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为∴依题意得，解得（舍去）∵要促销∴即促销时每袋应降价3元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．38．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元．(1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？(2)该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值．【答案】(1)《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本．(2)12．【分析】（1）设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三本书共4500本，共花费52000元．即可列出方程组求解；（2）根据每天总利润=三种书每天利润和列方程即可解答．【详解】（1）解：设书店老板分别购进《艾青诗选》x本和《朝花夕拾》y本，则《乐山乐水》的数量是3y本，根据三本书共4500本，共花费52000元．可得：，解得：，《乐山乐水》的的数量是本．答：书店老板购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》的数量分别是3000本、500本、1000本．（2）依题意可知：调整售价后，《乐山乐水》的售价为25元，每本利润为（2510）=15元，每天售卖本；《艾青诗选》的每本售价为元，每本利润为元，每天售卖本；《朝花夕拾》每本售价为元，每本利润为元，每天售卖20本；依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意舍去），答：a的值为12．【点睛】本题考查了一元一次方程应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找好等量关系．39．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．【答案】(1)当天的直播活动中销售了万份周黑鸭(2)的值为【分析】（1）设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，求解的值，进而可得的值；（2）由题意得：，计算求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，解得：，．答：当天的直播活动中销售了万份周黑鸭；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，不合题意，舍去．∴的值为．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．40．某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．【答案】(1)“亲子两人游”套票的价格为35元(2)a的值为20【分析】（1）设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元，根据“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套列出分式方程，计算即可；（2）根据实际销售额和计划销售额相同，列出关于a的一元二次方程，计算即可．【详解】（1）解：设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元．由题意得

解得经检验，是原方程的解，且符合题意答：“亲子两人游”套票的价格为35元．（2）化简得解得（舍去）所以，a的值为20．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题、列一元二次方程解应用题，找准等量关系是解题的关键．41．重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元．(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？(2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？【答案】(1)普通席280元，嘉宾席320元；(2)160元．【分析】（1）设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，根据题意可得方程，求解即可得到答案；（2）设普通席普通票增加张数为张，根据题意可得方程：，得到答案．【详解】（1）解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，依题意得：，解之得：，∴嘉宾席单张票价为元，答：普通席280元，嘉宾席320元．（2）设普通席普通票增加张数为张，则，依题意得：，解之得：，∴12月份普通席的票价是元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方的应用，找准数量关系，能根据各数量之间的关系，正确列出方程是解题得关键．42．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，N95口罩的销售额为6000元．（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了15800元，求a的值．【答案】（1）200个；（2）12．【分析】（1）设该药店3月初购进了x个护目镜，等量关系为：每个护目镜的销售价－每个N95口罩的销售价=40，根据此等量关系列出分式方程，解方程即可；（2）等量关系为：4月份护目镜的销售总额－4月份N95口罩的销售总额=15800，根据此等量关系列出关于a的方程，解方程即可求得a的值．【详解】（1）设该药店3月初购进了x个护目镜由题意，得：解得：x=200经检验x=200是原方程的解，且符合题意故该药店3月初购进了200个护目镜．（2）由（1）知，该药店3月初购进了200个护目镜，600个N95口罩，护目镜每个的售价为10000÷200=50（元），N95口罩每个的售价为5040=10（元），由题意，得：化简，得：解得：a=12或a=0（舍去）∴a=12．【点睛】本题是一个与销售有关的实际问题，考查了分式方程和一元二次方程的解法，关键是读懂题意，找到等量关系，解分式方程时一定要检验．题型08一元二次方程根的实际应用动态几何问题43．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为．(1)_________；_________；（用含的代数式表示）(2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？【答案】(1)，(2)或【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．（1）根据速度时间路程，列出代数式即可；（2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）根据题意得：，，所以；（2）如图，过点D作于H，∵，即，∴，∴∴又∵D是的中点，∴∴，，∴∵的面积为∴∴∴整理得，解得：，，∴当或4时，的面积是．44．如图，中，，，．(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．①经过多少秒钟，的面积等于；②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．【答案】(1)①秒或秒；②秒(2)秒或秒或秒【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，（1）①由三角形的面积公式可求解；②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；运用分类讨论的思想是解题的关键．【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于，由题意，，，∴，∴，解得：，，∴经过秒或秒钟，的面积等于；②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：1），即：，∴，解得：（不合题意，舍去），；2），即：，∴，∵，此方程无实数根，即这种情况不存在；综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；（2）设经过秒，的面积为，可分三种情况：①点在线段上，点在线段上时，此时，，∴，∴，解得：（舍去），；②点在线段上，点在线段的延长线上时，此时，，∴，∴，解得：；③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，此时，，∴，∴，解得：，（舍去）；综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．45．如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为．(1)当点落到边上时，求的值；(2)求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接写出的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）当点落到边上时，则点与点重合，从而有，即可求出得值；（）分当时，当时，当时情况讨论即可求解；（）当时（）时，（）时（）时，（），讨论即可求解；此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．【详解】（1）当点落到边上时，则点与点重合，∴，∴；（2）当时，如图，，当时，如图，，当时，如图，，综上可知：；（3）如图，，（）时，即，整理得：，解得：（舍去），，（），即，无解，如图，当，延长交于点，（）时，即，解得：，，以上解均不符合题意，（），即，整理得：，解得：（舍去），，综上可知：或．46．如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒的速度沿匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在t，使得的面积是面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)当为直角三角形时，求t的取值范围．【答案】(1)(2)存在，或(3)t的取值范围为：或【分析】（1）由勾股定理可求出答案；（2）由题意知：，由三角形面积公式可得出方程，解方程求出t的值即可；（3）分三种情况，①当时，②当，③当时，画出图形，列出方程或不等式求解即可．【详解】（1）由题意知：，∵，∴；（2）存在，当点Q在上，由题意知：，∴，又，∴，解得：或，∵时，Q点在上，经验证，不能满足的面积是面积的，当时，点Q在上，，解得（舍去），综上可得，或；（3）解：①当时，，解得：；②当，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，解得：；③当时，如图，这种情况是不存在；综上，t的取值范围为：或．【点睛】本题考查三角形综合题，考查了勾股定理三角形的面积，直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．47．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8）(1)当t＝1时，试求PE的长；(2)当