复数讲义高考数学一轮复习

知识点一复数的概念【基础指数框架】1.形如的数叫复数，其中为虚数单位，、分别为复数的实部和虚部；2.对于复数，当且仅当时为实数，当且仅当时为实数0，当时为虚数，当且时为纯虚数；3.平面直角坐标系可用来表示复平面，轴称为实轴，轴称为虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数；4.复数与复平面上的点一一对应；5.复数与平面向量一一对应.的模称为复数的模或绝对值，记作或，即；6.对于复数，称为复数的共轭复数，记作.【例题分析】例1．（2024春•铁东区校级月考）复数虚部是A． B．1 C． D．例2．（2024春•和平区校级月考）已知复数为纯虚数，则实数A． B． C．2 D．例3．（2024•香坊区校级四模）已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为A．0 B．1 C．2 D．例4．（2024春•台州期中•多选）在复平面内，下列说法正确的是A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是虚数例5．（2024•开封模拟•多选）已知复数，（其中是虚数单位，，，若为纯虚数，则A． B． C． D．【变式训练】1．（2024春•浦东新区校级月考）已知为虚数单位，则复数的实部为．2．（2024春•忻城县校级期中）复数为虚数单位）的虚部为A．2 B． C． D．3．（2024•新乡三模）已知为纯虚数，则A．3 B． C． D．4．（2024春•重庆期中•多选）下列命题中，真命题为A．复数为纯虚数的充要条件是 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数，则5．（2024春•兴化市期中•多选）对于复数，则下列结论中错误的是A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则不是复数

知识点二复数的四则运算【基础指数框架】1.对于复数，（1）；；（2）===；（3）=.【例题分析】1．（2024•新高考Ⅰ）若，则A． B． C． D．2．（2024•北京）若复数满足，则A． B． C． D．3．（2024•甲卷）设，则A． B．1 C． D．24．（2024•甲卷）设，则A． B． C．10 D．5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023•新高考Ⅰ）已知，则A． B． C．0 D．17．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为．8．（2023•天津）已知是虚数单位，化简的结果为．

【变式训练】1．（2023•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数A． B． C． D．2．（2023•甲卷）若复数，，则A． B．0 C．1 D．23．（2023•乙卷）A．1 B．2 C． D．54．（2022•浙江）已知，，为虚数单位），则A．， B．， C．， D．，5．（2022•北京）若复数满足，则A．1 B．5 C．7 D．256．（2022•甲卷）若，则A． B． C． D．7．（2022•新高考Ⅰ）若，则A． B． C．1 D．28．（2022•乙卷）已知，且，其中，为实数，则A．， B．， C．， D．，

知识点三复数的几何应用、代数应用与周期性【基础指数框架】1.在复数范围内解二次方程对于二次方程，，；若，则，如.2.周期性：若，则；；；.3.几何意义：设,则满足的点的集合表示的图形为以为圆心，半径为的圆.【例题分析】例1．（2023•乙卷）设，则A． B． C． D．例2．（2024•安康模拟）若满足，对应的点关于原点对称的点为，则对应的为A． B． C． D．例3．（2024•襄城区校级模拟）已知复数是虚数单位，，则的最小值是A． B． C． D．1例4．（2024•吉林四模）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线例5．（2024•阳泉三模）已知是实系数方程的一个复数根，则A． B． C．1 D．9例6．（2024•江苏模拟）已知是虚数单位）是方程的根，则A． B． C． D．

【变式训练】1．（2023•甲卷）A． B．1 C． D．2．（2024•邵阳模拟）已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为A． B．1 C．2 D．43．（2024•全国二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024•泰州模拟）若复数满足，则的最小值为A． B． C．1 D．5．（2024•广东模拟）已知，为方程的两个虚根，则A． B． C． D．6．（2024•枣庄模拟）已知复数是方程的一个根，则实数A． B．5 C． D．6

知识点四复数的三角表示【基础指数框架】1.复数的三角表示一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，是复数的模;是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数之的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（任何一个不为零的复数辐角有无数多个，且相差的整数倍，我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为）.2.复数乘、除的三角表示及其几何意义：对于复数，（1）；（2）.【例题分析】例1．（2023·全国·高一专题练习）以下不满足复数的三角形式的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·江苏·高一专题练习）复数化成三角形式，正确的是（

）A． B．C． D．例3．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（

）A．=0 B．为实数C． D．复数对应的点位于第三象限例4．（2023春·全国·高一专题练习）计算：．【变式训练】1．（2023·高二课时练习）复数－i的三角形式是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江西南昌·高一校考期中）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（

）A．1 B． C． D．i4．（2023春·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).

知识点五以复数为背景的综合计算【例题分析】例1．（2024•山东模拟•多选）已知，为方程的两根，则A． B． C． D．例2．（2024春•深圳月考•多选）已知复数，，下列结论正确的有A．若，则 B．若，则 C．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 D．若是关于的方程的一个根，则例3．（2024春•耒阳市期中•多选）若复数，则下列命题是真命题的是A． B． C． D．若是关于的方程的根，则例4．（2024春•聊城期中•多选）已知，为方程的两个不相等的复数根，则A． B．时，较大的根为 C．时， D．例5．（2024•江门模拟•多选）下列说法正确的是A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则例6．（2024•天河区校级模拟•多选）已知复数，，则下列结论正确的是A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D．方程表示的在复平面内对应