2025版一轮高考总复习数学第二章　函数的概念与性质第六节　指数式、对数式的运算

第六节指数式、对数式的运算1.通过对有理数指数幂amn（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.1.根式与有理数指数幂（1）根式①如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数③（na）n＝a.当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，na（2）有理数指数幂概念正分数指数幂：amn＝a＞0，m，n∈N*，n＞1负分数指数幂：a－mn＝1a0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义运算性质aras＝ar＋sa＞0，b＞0，r，s∈Q（ar）s＝ars（ab）r＝arbr2.对数概念如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN负数和0没有对数1的对数是0：loga1＝0底数的对数是1：logaa＝1对数恒等式：alogaN运算性质loga（MN）＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0logaMN＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）换底公式logab＝logcblogca（a＞0，且a≠1，b＞0，c＞1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）4(-4）4＝－4.（2）分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.（（3）log2x2＝2log2x.（×）（4）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga（M＋N）＝logaM＋logaN.（×）2.化简416x8y4（x＜0，y＜0A.2x2y B.－2x2yC.2xy2 D.－2xy2解析：B因为x＜0，y＜0，所以416x8y4＝（16x8·y4）14＝（16）14·（x8）14·（y4）13.（多选）下列等式成立的是（）A.（－2）－2＝14 B.2a－3＝C.（－2）0＝－1 D.（a－14）解析：AD对于A项，（－2）－2＝14，故A项正确；对于B项，2a－3＝2a3，故B项错误；对于C项，（－2）0＝1，故C项错误；对于D项，（a－14）4＝1a，故4.计算：（1）lg2＋lg5＝12（2）log345－log35＝2；（3）（17）－2＋（279）12－（2－1）0＝解析：（1）lg2＋lg5＝lg（2×5）＝lg10＝lg1012＝（2）log345－log35＝log3455＝log39＝log332（3）（17）－2＋（279）12－（2－1）0＝72＋（259）1.换底公式的变形（1）logab·logba＝1，即logab＝1logba（a，b均大于0（2）logambn＝nmlogab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈2.换底公式的推广logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.1.（2024·潍坊模拟）若log35·log2527＝a，则a＝32解析：由结论1知，log35·log2527＝log35·log5233＝32log35·log53＝32，所以2.log23·log34·log42＝1.解析：由结论2知，log23·log34·log42＝log22＝1.指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式：（1）（235）0＋2－2×（214）－1（2）（a23b－1）－1（3）（32）－13×（－76）0＋解：（1）原式＝1＋14×（49）12－（1100）12＝1＋14×（2）原式＝a－13b12a（3）原式＝（23）13×1＋234解题技法指数幂的运算1.已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，则f（2a）＝7.解析：由f（a）＝3得2a＋2－a＝3，所以（2a＋2－a）2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f（2a）＝22a＋2－2a＝7.2.化简与求值：（1）（64125）－13－（214）（2）a23ba－12·3b÷（a解：（1）原式＝（12564）13－（94）0.5＋（0.3）3×（2）原式＝a23·＝a23·＝a23＋＝a76b1＝a＝a1对数式的化简与求值考向1对数式的化简与计算【例2】计算下列各式：（1）log225·log3（22）·log59；（2）lg2+lg5－（3）log23·log38＋（3）解：（1）法一log225·log3（22）·log59＝log252·log3232·log532＝6log25·log32·log法二log225·log3（22）·log59＝lg25lg2·lg（22）lg3·lg9lg5（2）原式＝lg2×（3）原式＝lg3lg2·3lg2lg3＋31解题技法对数运算的一般思路（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.提醒对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误.考向2指数式与对数式的综合应用【例3】（1）已知loga12＝m，loga3＝n，则am＋2n＝（A.3 B.3C.9 D.9（2）设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝（A.10 B.10C.20 D.100答案：（1）D（2）A解析：（1）∵loga12＝m，loga3＝n，∴am＝12，an＝3.∴am＋2n＝am·a2n＝am·（an）2＝12×32（2）∵2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m解题技法指对互化的转化技巧对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解.1.已知2a＝5，b＝log83，则4a－3b＝（）A.25 B.5C.259 D.解析：C由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log452.计算：（1）log535＋2log122－log5150－（2）（827）－23＋eln3＋log1解：（1）原式＝log535－log5150－log514＋log12（2）2＝log535150×14＋log122＝log5125（2）原式＝（23）3×－23＋3－12log2212－2log1.已知a＞0，则a2a3aA.a65 C.a－56解析：Ba2a3a2＝a2a2.若代数式2x－1＋2－x有意义，则4xA.2 B.3C.2x－1 D.x－2解析：B由2x－1＋2－x有意义，得2x－1≥0，2－x≥0，解得12≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以4x2－4x3.若log2x＋log4y＝1，则（）A.x2y＝2 B.x2y＝4C.xy2＝2 D.xy2＝4解析：Blog2x＋log4y＝log2x＋12log2y＝log2x＋log2y12＝log2（xy12）＝1，所以xy12＝2，4.（2024·济宁模拟）已知a＝log23，b＝log25，则log415＝（）A.2a＋2b B.a＋bC.ab D.12a＋1解析：Dlog415＝12log215＝12（log23＋log25）＝12a＋125.（2024·宁波一模）计算［（－127）－2］13＋log25－log210＝A.－10 B.－8C.10 D.8解析：D［（－127）－2］13＋log25－log210＝（36）13＋log256.（2024·河西区模拟）计算2log32－log3329＋（2－1）0＋log38－25log5A.－7 B.－3C.0 D.－6解析：D原式＝log34－log3329＋log38＋1－52log53＝log3（4×932×8）＋1－57.（多选）设f（x）＝ex－e－x2，g（x）＝A.[g（x）]2－[f（x）]2＝1B.[g（x）]2＋[f（x）]2＝g（2x）C.g（2x）＝2f（x）g（x）D.f（2x）＝2f（x）g（x）解析：ABD因为[g（x）]2－[f（x）]2＝[g（x）＋f（x）]·[g（x）－f（x）]＝ex·e－x＝1，所以A选项正确；因为[g（x）]2＋[f（x）]2＝e2x＋e－2x2，g（2x）＝e2x＋e－2x2，所以B选项正确；因为2f（x）g（x）＝e2x－e－2x2，g（2x）＝e2x＋e－2x2，所以C选项不正确8.（2a23b12）（－6a12b13）÷（－3a16b56）解析：原式＝2×(-6）9.（2024·六盘水一模）若ex＝2024，e－y＝1012，则x＋y＝ln2.解析：ex＝2024，e－y＝1012，则exe－y＝20241012＝2，即ex＋10.计算：（1）1－312－12+3－33813（2）log20.25＋lne＋24·log解：（1）1－312－12+3－3381＝1－3－2－3（＝1－3－2＋3－323×1（2）log20.25＋lne＋24·lo＝log214＋lne12＋2lo＝－2＋12＋81＋lg100－2＝15911.已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则lgab2＝A.1 B.2C.3 D.4解析：B由题意得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝12，则lgab2＝（lga－lgb）2＝（lga＋lgb）2－4lga·lgb＝22－12.（多选）（2024·咸宁模拟）下列运算中正确的是（）A.2log214－B.若a＋1a＝14，则a＋1C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋1a＋D.若4a＝6b＝9c，则1a＋1c解析：AB对于A，2log214－27823＝14－（32）323＝14－94＝－2，正确；对于B，因为a＋1a＝14，所以a＋1a＝（a＋1a）2＝a＋1a+2＝4，正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋lo