2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测二十三第三章函数的概念与性质3.2.2.2函数奇偶性的应用含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测二十三函数奇偶性的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是偶函数的是()A.y=f(|x|) B.y=f(x2)C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x【解析】选A、B、C.因为f(x)的定义域为R,又因为f(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函数;令F(x)=f(x2),则F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x)是偶函数,即B是偶函数;令M(x)=x·f(x),则M(-x)=-x·f(-x)=x·f(x)=M(x),所以M(x)是偶函数,即C是偶函数;令N(x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x),所以N(x)是奇函数,即D是奇函数.2.已知f(x)为奇函数,在区间[3,6]上是单调递增的,且在此区间上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= ()A.-15B.-13C.-5D.5【解析】选A.因为函数在[3,6]上是单调递增的,所以f(6)=8,f(3)=-1,又函数f(x)为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.3.(2024·焦作高一检测)设f(x)为偶函数,且在区间(-∞,0)上是单调递增的,f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为 ()A.(-1,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)【解析】选C.依据题意,偶函数f(x)在(-∞,0)上为单调递增的,又f(-2)=0,则函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减的,且f(-2)=f(2)=0,函数f(x)的草图如图,又由xf(x)<0⇒QUOTE或QUOTE由图可得-2<x<0或x>2,即不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞).【补偿训练】若偶函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的,则下列关系式中成立的是 ()A.fQUOTE<f(-1)<f(2)B.f(-1)<fQUOTE<f(2)C.f(2)<f(-1)<fQUOTED.f(2)<fQUOTE<f(-1)【解析】选B.因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),因为f(x)在(-∞,0]上单调递减,-2<-QUOTE<-1,所以f(-2)>fQUOTE>f(-1),所以f(2)>fQUOTE>f(-1).4.(2024·宁波高一检测)已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)= ()A.21 B.-21 C.26 D.-26【解析】选B.设g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数.由题设可得f(-3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13.又g(x)为奇函数,所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.5.(2024·青岛高一检测)设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减的,若x1<0且x1+x2>0,则 ()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定【解析】选A.由题可知x2>-x1>0,f(x)在(0,+∞)上是单调递减的,所以f(x2)<f(-x1).又f(x)是R上的偶函数,所以f(-x2)=f(x2),所以f(-x2)<f(-x1).6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式xf(x)>0的解集为 ()A.(-∞,-4)∪(4,+∞)B.(-4,0)∪(4,+∞)C.(-∞,-4)∪(0,4)D.(-4,4)【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,所以当x<0时,f(x)=-x(x+4),当x>0时,xf(x)>0⇒f(x)>0⇒x2-4x>0⇒x>4,当x<0时,xf(x)>0⇒f(x)<0⇒-x(x+4)<0⇒x<-4,所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.

【解析】因为f(x)的定义域为(-∞,+∞),且f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即1-|-1+a|=1-|1+a|,所以|a-1|=|a+1|,所以a=0.答案:08.已知f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(x)>0的解集为________.

【解析】依据题意,由于f(1)=0,则f(x)>0⇒f(x)>f(1),f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则f(x)>f(1)⇒f(|x|)>f(1)⇒|x|<1,解得-1<x<1,则不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<1}.答案:{x|-1<x<1}【补偿训练】定义在R上的奇函数f(x)单调递减,则不等式f(2x+1)+f(x2-4)>0的解集为________.

【解析】因为f(x)是R上的奇函数,且单调递减,所以由f(2x+1)+f(x2-4)>0得f(2x+1)>f(4-x2);所以2x+1<4-x2;解得-3<x<1;所以原不等式的解集为(-3,1).答案:(-3,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=1-QUOTE.(1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值.(2)试推断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.【解析】(1)由已知g(x)=f(x)-a,得g(x)=1-a-QUOTE,因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即1-a-QUOTE=-QUOTE,解得a=1.(2)函数f(x)在(0,+∞)内为单调递增的.证明如下:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,从而QUOTE<0,即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)内是单调递增的.10.设f(x)为定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x;当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式.(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象.(3)写出函数f(x)的值域和单调区间.【解析】(1)当x>2时,设f(x)=a(x-3)2+4.因为f(x)的图象过点A(2,2),所以a(2-3)2+4=2,所以a=-2,所以f(x)=-2(x-3)2+4.设x∈(-∞,-2),则-x>2,所以f(-x)=-2(-x-3)2+4.又因为f(x)在R上为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-2(-x-3)2+4,即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2).(2)函数图象如图所示.(3)由图象知f(x)的值域为{y|y≤4}.单调增区间为(-∞,-3]和[0,3];单调减区间为[-3,0]和[3,+∞).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是单调递减的,则fQUOTE与fQUOTE的大小关系是 ()A.fQUOTE>fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE≥fQUOTED.fQUOTE≤fQUOTE【解析】选C.因为a2+2a+QUOTE=(a+1)2+QUOTE≥QUOTE,又因为f(x)在[0,+∞)上是单调递减的,所以fQUOTE≤fQUOTE=fQUOTE.2.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有 ()A.最小值-8 B.最大值-8C.最小值-6 D.最小值-4【解析】选D.依据题意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,则F(x)在(-∞,0)上有最小值-6+2=-4.3.(多选题)定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满意f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是单调递增的,则 ()A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于x=1对称C.f(x)在[0,1]上是单调递增的D.f(x)在[1,2]上是单调递减的【解析】选A、B.由于f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),周期为2,故A正确;由于f(2-x)=f(-x)=f(x),图象关于直线x=1对称,故B正确;偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反,故C不正确;依据周期性,函数在[1,2]上的单调性与[-1,0]上的单调性相同,故D不正确.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为 ()A.4B.0C.2mD.-m+4【解析】选A.由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x<0时,f(x)=__________.

【解析】当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).答案:x(1+x)6.设函数f(x)=QUOTE为奇函数,则实数a=__________.

【解析】因为函数f(x)=QUOTE为奇函数,所以f(-x)+f(x)=QUOTE+QUOTE=0,化简可得a+1=0,解得a=-1.答案:-17.f(x)是定义在R上的奇函数,且单调递减,若f(2-a)+f(4-a)<0,则a的取值范围为________.

【解析】因为f(2-a)+f(4-a)<0,所以f(2-a)<-f(4-a).又因为f(x)为奇函数,所以-f(4-a)=f(a-4),所以f(2-a)<f(a-4).又因为f(x)是单调递减函数,所以2-a>a-4,所以a<3.答案:a<38.已知函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增的,则f(2x+1)>fQUOTE的解集为________.

【解析】依据函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增的,则由f(2x+1)>fQUOTE,可得|2x+1|>QUOTE,①且|2x+1|≤1.②把①平方可得xQUOTE>0,所以x<-QUOTE或x>0.由②可得-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0.综合可得,-1≤x<-QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求f(x)的表达式.(2)证明f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的.【解析】(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x(x<0),所以f(x)=QUOTE(2)设随意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(QUOTE+4x2)-(QUOTE+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1+4>0,所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.10.已知函数f(x)=QUOTE是定义在(-1,1)上的奇函数,且fQUOTE=QUOTE.(1)确定函数f(x)的解析式.(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.【解析】(1)由题意,得QUOTE所以QUOTE故f(x)=QUOTE.(2)任取-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE.因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1+QUOTE>0,1+QUOTE>0.又-1<x1x2<1,所以1-x1x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).因为f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1<t-1<-t<1,解得0<t<QUOTE.所以不等式的解集为QUOTE.11.定义在(-1,1)上的函数f(x)满意:①对于随意x,y∈(-1,1)