2020高考数学解答题1（文）

2020高考数学解答题专练1

1.己知等差数列｛4｝的前〃项和为S”,且满足关于%的不等式4・Y-SzF十270的解

集为（1,2）.

（I）求数列｛为｝的通项公式：

（2）若数列｛2｝满足2=%+2“"-1,求数列出｝的前〃项和人

2.在四棱锥尸―ABC。中，AD/iBC,平面PAC_L平面ABC。，AB=AD=DC=\,

ZABC=ZDCB=a)°,E是尸。上一点.

（1）证明：平面EA8_L平面R4C；

（2）若AE4C是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A-E8C的体积.

3.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案①：规定每日

底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案②：规定每日底薪100元，快递业务的前

44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人

均业务量.现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),

[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店骑手的人均日快递业务量小少于65单的概

率；

(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案①，丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手

中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案①的概率；

(3)若从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案

的选择，并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)

22x/2

4.己知椭圆E：4+]=1(〃>6>0)经过点。(。,1),且离心率

a2h2T

（1）求椭圆E的方程;

（2）若直线］:y二履一g与椭圆E相交于A,B两点,线段A8的中点为M，是否存在

常数4，使NAMC=/l-NA8C恒成立，并说明理由.

5.设函数/（力=-一卜了一1.

（I）求证：函数“X）存在极小值;

1

(2)若*£—,+oo使得不等式lnx-%W0成立，求实数用的取值范围.

2XX

选修4・4：坐标系与参数方程

x=cost

,.（/为参数），以坐标原点。为极点，以X

{y=1+sinZ

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2/?cos(夕-?J=30.

(1)求曲线G的极坐标方程;

(2)已知点M(2,0),直线/的极坐标方程为6=它与曲线C的交点为。，尸，与

6

曲线G的交点为Q，求AMPQ的面积.

选修4・5：不等式选讲

7.设函数”力=,一叫+,+刀|,其中6>0,n>0.

(1)当机=1,〃=1时，求关于”的不等式〃力之4的解集;

(2)若机+〃=用，证明：f(x)>4.

参考答案

n+I

1.答案：(1)%(2)Tn=n~+2—2.

解析：(1)依题意可得：设等差数列｛为｝的首项q,公差为d,

因为关于I的不等式q•炉-S2〃+2<0的解集为(1,2),

则由」=1+2=3得a1=d；

(2)由题意可得羯=2〃.2%=2",

所以"=2"+2%-1=2"-1+2’,

+2(1-2")

=n2+2n+,-2-

~~21-2

2.答案：(I)证明见解析；(H)班.

8

解析：(1)证明：依题意得四边形A3CO是底角为60。的等腰梯形，

：,ZBAD=ZADC=\20°,f：AD=DC,/.ZZMC=ZZ)C4=30°,

・•・ZBAC=ABAD-ADAC=120°-30°=90°,/.ABIAC.

•・•平面R4C_L平面ABC。，平面PACc平面A3CD=AC,・•・ABL平面「4C.

又ABu平面£AB，・•・平面E钻1平面21c.

(2)由(1)及已知得，在Rt.ABC中，ZABC=60°,AB=1，

AC=ABtan60°=V3>且BC=2AB=2,又ABI平面PAC,

AB是三棱锥的高.

1由

•・•石是PC中点，・•・S.c=』SPAC=,AC•APsin60°-XX=

△Zwlu2A*^*CA42

.••三棱锥A—ESC的体积为匕EK=VBE4c=-^E4c-^=-x—xl=—•

内一t/iv3A£?IC388

3.答案：⑴0.4；(2)1；(3)选择方案(1),理由见解析

解析：(1)设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均口快递业务量不少于

65单”

依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2.0.15,0.05

/.P(A)=0.2+0.15+0.05=0.4

(2)设事件8为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案(1)“

从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有仁=6种情况

其中至少有1名骑手选择方案(1)的情况有：C；C；+C；=5种情况

•••P⑻4

(3)由频率分布直方图可知：快餐店人均日快递量的平均数为：

30x0.05+40x0.05+50x0.2+60x0.3+70x0.2+80x0.15+90x0.05=62

二方案(1)平均日工资约为：50+62x3=236

方案(2)平均日工资约为：100+(62-44)x5=190

可知方案(2)平均日工资低于方案(1)平均日工资

故骑手应选择方案(1)

2

4.答案：(1)y+/=l；(2)存在.

解析：(1)由题意知匕=1,.

a2

I?

又因为标=力2+/解得不，a=y/2.

所以椭圆方程为[+y2=]

(2)存常数/(幻，使NAMC=，NABC恒成立.

证明如下：

得（9十18左2卜2-126-16=0

—X+y2=1.

2）

12k

设A(NM，B(孙旷2)，则'

16

又因为◎（=（%,x—i）,而=（毛,%—1），

4(1+公卜内-3

CACB=+（乂-1）（力-1）=玉九2+

3

19+18&239+18A29

所以乙A_L恐豆.

因为线段A8的中点为M，所以四。卜园斗

所以Z4MC=2NA8C.

所以存在常数/⑴，使4MC=2・NA5C恒成立.

-11)

5.答案：⑴见证明；(2)e2+-ln2,+«)•

解析：⑴,・旺卜)=©'-lnx-1,/.f(x)=ex--(x>0),

X

/.r(x)=ex+4->0»函数f(x)在(0,-)是增函数，

X

/J\

vf-=Ve-2<0,f(l)=e-l>0,且函数f(x)的图象在(0,+e)上不间断,

3x0G使得f(Xo)=O,

结合函数f(x)在(0,+力)是增函数，有:

X(0，x0)（Xo，+8）

f（x）-+

二函数f(x)存在极小值f(x0).

।、x

(2)3XG-,+09，使得不等式J_]nx-四40成立，

.27xx

等价于mxw使得不等式mNeX-xlnx成立(*)

\xi「11

x)=e-xlnx,xe—,+a>I,

则h'x)=e'-lnx-l=f(x),

，Xo

二结合(1)得：[h(x)]min=f(xo)=e-lnx0-l,

其中x0满足f(x0)=0,即e"--!--。，

)xo

X1,

•©=丁，Xo=-lnxo,

x<,

..[h〈x)]min=e-lnx0-1=—+x0-1>2j—xG-1=1>0,

X。Vxo

...XG-,+«?,h*(x)>0,

」\1)

•••h(x)在5,+叼内单调递增,

/1\11111

/.[h(x)]=h-=e2--ln-=e2+-ln2,

v7min,inn\2)222

结合(*)有m>e2+—In2,

2

-1

即实数m的取值范围为e2+-ln2,+a>

选修4・4：坐标系与参数方程

6.答案：(1)C]:p=2sin。(2)1

x=cos/

解析：(1)G：<

y=l+sinr

其普通方程为x2+(y-l)2=l,化为极坐标方程为G:『二2sin夕

0=2sin。

71

(2)联立。与/的极坐标方程：，,解得P点极坐标为1,-

0=-l6J

6

联立G与/的极坐标方程: