2024届华大新高考联盟高三上学期11月教学质量测评数学试题及答案

机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学本试题卷共4页，共22题.满分150，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2i1.2（）1172A.B.C.D.22可以表示成二进制数nnN*2.计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数,kN，即1，其中01，当若记…1时，k0,1.aaaak2n02k12kk20012a,a,a,,afnfn，则满足k8且的的个数为（4n中1的个数为）012kA.35B.28C.70D.56x2y23.已知双曲线C:1的焦距为6，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（C）4mA.2B.C.D.2231010a,2,ba，则实数的值为（4.已知向量，若与b的夹角的余弦值为）84A.B.C.3D.33fxe2x4ex5在,上单调递增，则实数的取值范围为（）m5.若函数A.ln2,B.ln2,C.e2,e2,D.6.已知曲线C:yx33x2的图象是中心对称图形，其在点A处的切线l与直线x9y0相互垂直，则点A到曲线C的对称中心的距离为（）A.43B.23C.42D.221tan1tantan6,sincossin，则sin7.已知22tan2（）1216123A.B.C.D.3x2,„fx8.已知函数则对于任意正数，下列说法一定正确的是（16）x32xx2f„ff…fA.C.B.f2„ff2…f22D.､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.x2M∣0,N{1x9.已知集合，则下列说法正确的是（）x3MN{1xA.B.C.D.ðM{x3或xRMN{3xMðNx3x1RABCDABCDAD110.已知在正方体A.直线与直线B.直线与直线中，点是线段E的中点，则下列说法错误的是（）1111BC1所成的角为CD异面11C.点E平面1D.直线∥平面BDC11，点在线段上，过点作圆C的两条切线，切点分x„„4M11.已知圆C过点4,2,2,0,6,0My别为,B，以为直径作圆，则下列说法正确的是（C）A.圆C的方程为(x4)2y22，B.四边形面积的最小值为4C.圆C的面积的最小值为D.圆C的面积的最大值为3x22y22在椭圆C上但不在坐标轴上，ab0)的右焦点为F,Mx,y,Nx,y12.已知椭圆C:1111ab若2,2，且OAOB，则椭圆的离心率的值可以是（C）12923A.B.C.D.2210､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用，已知某批产品的质量指标，其中6,18的产品为可用产品，则在这批产品中任取件，抽到可用产N9XX服从正态分布“”1“品”的概率约为__________.，则XN,2参考数据：若P„X„0.6827,P2„X„P3„X„0.9973.,3614.已知某圆台的上､下底面积分别为，母线长为5，则该圆台的体积为__________.的图象在fxsinxx(0)上有且仅有3条对称轴，则实数的取值范围15.已知函数3为__________.()n1ni满足：当为奇数时，，其中，且73nn2，ann55016.已知数列n2ini1n__________.a则当取得最小值时，n､四解答题：本题共小题，共670分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､17.（10分）c已知在中，角,B,C所对的边分别为a,b,c，且C,a.2B1（1）求B的值；AB3，求cos2BCM的值.（2）已知点M在线段上，且18.（12分）AM近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间，某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间[40,90]内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示.（1）求a的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；（2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在[70,80)和90]的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过80min的概率；（3）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在[60,80]的人数为X，求X的分布列以及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥S中，BCD90,SASDSB，点E为线段的中点，且ADSE2BCCD.（1）求证：SEAC；（2）已知点F为线段的中点，点G在线段BC上（不含端点位置），若直线FG与平面所成的角BGBC的正切值为求的值.20.（12分）已知数列的前项和为，其中S2a,S14.nn3annSn（1）求数列的通项公式；anbn10a，求数列的前项和为bnTnn（2）若.nn21.（12分）已知抛物线C:y24x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于M,N两点，直线l过点F且与抛物12线C交于P,Q两点.（1）若点，且AMNA3,0l，求直线的斜率；1的面积为45SS1，比较与的大小关系并说明理由（2）若点M,Q在第一象限，直线过点,0..422.（12分）mfxx已知函数.x（1）讨论函数的单调性；fx2kabmmbN*，若a,b，当ab时，恒fbfa（2）已知k2ababa成立，求k的最大值.华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准､一选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算､复数的概念，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.2i12i1112i1222i，故25，故选B.【解析】依题意，2.【答案】D【命题意图】本题考查排列组合､数学情境问题，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.a10a,a,,a中只需有3个1即可，故所求个数为C3856，故选D.【解析】因为，故在1283.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算､直观想象的核心素养.【解析】依题意，4m9，则m5，故C的渐近线方程为5x2y0，故所求距离为35d5，故选B.34.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算､平面向量的数量积，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.ab2103101083a,b，解得【解析】依题意，，故选A.|a||b|245.【答案】B【命题意图】本题考查复合函数､函数的单调性，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.xt0，则原函数化为yt2fx【解析】令et5，其在上单调递增，故在ln2,上单调递增，则…ln2，故选B.6.【答案】D【命题意图】本题考查导数的几何意义､两直线的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】易知直线l的斜率为9，设切点，而y3x6x，故30609，解得01或x,y220003或，故点到曲线C的对称中心的距离为43,0，故切点坐标为AA2(04)222，故选D.27.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】依题意，sinsin2cos122tan,1tantansin22tan222cossinsin2cos11226，则，故sincoscos213sin①，而sin②，联立①②，解得sincoscossinsin1sincos，故选A.28.【答案】C【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象､数据分析的核心素养.【解析】依题意，在上单调递增，在4,16上单调递减，在上单调递增；易知fx,4，取e，可知，取，可知„1，取1，可知fff1f1e2，故错误；当0„2时，，故2，当24时，ff1AB､…2…2f2…ff2f2，当…4，故f2…f；综上，242216，故2…2时，Df2…f2恒成立，故C正确，错误，故选C.､二多选题9.【答案】AC【命题意图】本题考查不等式的解法､集合的表示､集合的运算，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.M{∣x2x3{3x，故【解析】依题意，MN{1xRM{∣„3或xMN{3xM…N{x3x，故选AC.ð„R10.【答案】ABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.BABD,AEED，故1D，而BC∥ADC，故A错误；直线【解析】因为，故1111CD1D上，故B错误；平面ABC1D，故点E平面ABC，故C错1与直线均在平面就是平面11111BDC∥ABD，且直线EB1ABD，故直线∥1BDC平面，故D正确；故11误；因为平面平面平面11选.11.【答案】BD【命题意图】本题考查圆的方程､直线与圆的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，圆C圆心在直线x4上，设Cc，则(42)c4，故A错误；四边形面积SAC2||yx„„4的中点(44)(c2)，解得2222c0，圆C:(x4)2y224，而|22，故S4，故正确；结合图象的对称性可知，当在线段BMyx„„4的两个端点时，圆C的面积最大，时，圆C的面积最小，为2，故C错误；当M在线段为，故D正确；故选BD.12.【答案】CD【命题意图】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.ykx,ab【解析1】设直线:y，其中k0，联立x解得x，不妨设22yb2a2k2a2b2ababMb,,N,，则2a2k2b2a2k2b2a2k2b2a2k2cabcabkabA,B,，而OAOB，故，222ba2b2a2k22b2a2k22b2a2k222k2e22c21a2b221k2a2b224b4b0，整理得e1，观察可知，故选CD.k20，故42ak22a2k2122e2xcycxy2A1,1,B1,1【解析2】依题意，可得，又有OAOB，故0，即222c2142y214x22y220，x2112c2111，即圆x2y2cC与椭圆有公共点且公共点不在坐标2；又有ab122轴上，故acb，即c222，故e2,e,1，故选CD.ac2【解析3】依题意，2,2，故,B分别是线段FM,FN的中点，故∥FN,∥b,a，故FM；又有OAOB，故FNFM,0，则c；因为122bc，即a2c2c2，得e2,e,1，故选CD.2､三填空题13.【答案】0.84【命题意图】本题考查正态分布及其应用，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.0.68270.9973P„X„18P„X„XN320.84.【解析】依题意，，故214.【答案】【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】易知该圆台的上､下底面的半径分别为2，6，故圆台的高为3，则圆台的体积1V436123.32739,15.【答案】44【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.4kfx2sinx【解析】依题意，x，令Z，解得xkZ，则kk424273944„„,，解得，故实数的取值范围为.3416.【答案】5【命题意图】本题考查数列的性质，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.ni4n2n4，故a21，【解析】因为，故当n1时，2i2i1n1inin1i4n2nn12n2(n，则6n2，故2nn；而当为当…2时，2ia2i2ni13i1i12i()n1n1755，故57350奇数时，n，即2n1，而，则2n13nnn1nn21n1n212n12n1.令2n12n12n12n112fnn2n1n1n1，得2n1210n；而2n75522311511211,1,2,3,„2当时，35322222221259232n12n1，当…3时，2n12n1aa52n，所以数列的a，即奇数项中最小；而5n52最小项为5，故当取得最小值时，n5.an5､四解答题17.【命题意图】本题考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，b22ca2，而2Bac，由余弦定理，即2aa2c2b2ac,2故2acac0，故2ac，c1代入a中，得cosB，而0B，故B；B1233（2）不妨设c3，则AMBMBCABcosB，2134在BCM中，由余弦定理得，CM2B，222CMBMBMsinB23sinBCM由正弦定理得，，故，sinBsinBCMCM1312BCM12131113cos2BCM12.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图､样本的数字特征､离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】（1）依题意，10a0.350.30.10.051，解得a0.02；所求平均数为450.2550.35650.3750.1850.0559.5；（2）从日均体育活动时间在70,80中抽取8人，日均体育活动时间在80,90中抽取4人，故所求概率C38C82C144255P；C3122XB（3）依题意，，54338123216140故PX,PXC，562555625223232162396224334PXC,PXC，5555625625425164PX；625XP0123481966251662562528EX4故.5519.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系､向量法求空间角，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）连接，如图所示.因为BCD90，故BC∥，1因为BCAD，故四边形BCDE为矩形，2不妨设CD2；且点为线段的中点，SEAD，E所以SDSE225，故SBSD25；2故SE又ADBEE，故而平面ABCD，故SEAC；2BE2SB2，即SEBE；SE平面ABCD；xyz（2）以E为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，A2,0,0,B2,0,C2,0,S0,0,4则不妨设4，则2,0,SB4所以，nx,y,z，1设平面的法向量为11n2x211取2,1;n则设即2y4zn11BGt2，则GF0,0,2t,2,0，而，所以，t,2,226设直线FG与平面所成的角为,tan，26t4293sinGF,n则，9t24421t化简得11t2t40，解得t2舍去）；故.20.【命题意图】本题考查数列的基本运算､错位相减法，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）当…2时，Sn2n,Sn12n1，a2a两式相减可得；n1n而当n1时，S2aa，得；111S3247，故714，解得2，则12，a2n故；nbn102，n（2）依题意，n，n102T721422123n故nn132nn102n1，n722421234T32132322332nn102n120，两式相减可得n212nn102n120，故Tn132n126.即n3n1221.【命题意图】本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】设；Mx,y,Nx,y,Px,y,Qx,y41122334xnyl:xny1，联立得y4ny40，2（1）设直线1y24x,yy4n,yy4；Δ16n2160；则12121故S2yy16n21645，解得n2，12212l故直线的斜率为；1（2）设直线的方程为x，xmy,x消去得y240，联立直线与抛物线的方程，yy4y24x,故；1344y2y4由（1）可知，，同理可得，131sinNFsinNFQSSNQFNF1yy2y4y2116y232，32故12S141412NQF2，当且仅当…显然1，故S时等号成立.22.【命题立意】本题考