2024届上海市高考模拟测数学试卷08（考前增强信心卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市2024届高考数学模拟测试卷08（考前增强信心卷）一、填空题1．已知集合，则．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：2．为虚数单位，复数的共轭复数对应的点位于第象限.〖答案〗四〖解析〗因为，所以数的共轭复数，对应坐标为，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故〖答案〗为四.3．不等式的解集是．〖答案〗或〖解析〗由,可得，即，解得或．故〖答案〗为：或．4．已知，是两两垂直的单位向量，则．〖答案〗〖解析〗因为，是两两垂直的单位向量，所以，则.故〖答案〗为：.5．已知函数，则的值为.〖答案〗〖解析〗由函数，因为，所以.故〖答案〗为：.6．某班人参加暑期社会实践，结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在分以上的人数大约为．〖答案〗5〖解析〗由题意知，所以，所以（人），即分以上的人数大约为人．故〖答案〗为：57．已知圆的面积为，则．〖答案〗〖解析〗由已知可得，圆的半径.所以，圆的面积为，所以，，解得.故〖答案〗为：.8．二项式的展开式中的系数为．（用数字作答）〖答案〗15〖解析〗因为二项式的展开式的通项为，令得，所以展开式中的系数为.故〖答案〗为9．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式．〖答案〗〖解析〗设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去），所以.故〖答案〗为：.10．已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则.〖答案〗3〖解析〗由椭圆的定义知，又，∴，∴，∴，∴，∴.∴.故〖答案〗为：311．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为〖答案〗〖解析〗由题意，圆锥的体积为因为，可得，所以，可得，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减，所以，当处，函数取得极大值，也时最大值，所以炸药包埋在深处.故〖答案〗为：.12．已知正整数，满足，若关于的方程有实数解，则符合条件的共有对.〖答案〗〖解析〗因为，所以，同理可得，又，所以，所以，，其中，从而，即.①若，取，则即为方程的解，此时共有种；②若，设取，则即为方程的解，此时共有种；③若模余，则，从而，由①②可知此时共有种；④若模余，则，从而，模余的是，由①知可以；模余的是，由②不可以，故此时共有种；综上所述符合条件的共有对.故〖答案〗为：二、选择题13．“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗∵抛物线的标准方程为，其准线方程为∴∵双曲线的∴焦点为∵抛物线即为∴抛物线的焦点为，则∴∴“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件故选A14．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg〖答案〗D〖解析〗根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（

）A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立〖答案〗BD〖解析〗设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有，则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确；对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确.故选：BD.16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（

）．A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗如图所示，假设在长方形中必存在使得，又易知平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又，则平面，因为平面，所以，即存在使得，但若，如下图所示，不妨设，过作交直线于P，过作，易得，所以，又，则，则在延长线上，此时①不成立；易知与不垂直，，所以与不垂直，又平面，所以不垂直于平面，即②成立故选：C三、解答题17．三棱柱中，平面，且，为中点．

(1)求四面体的体积：(2)求平面与所成锐二面角的余弦值．解：(1)因为平面，又面，所以，又，，面，所以面，因为面，所以到面的距离即,又，，所以.(2)如图，建立空间直角坐标系，因为，，则，所以设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设平面的一个法向量为，则由，得到，取，则，所以，设平面与所成锐二面角为，则.

18．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.(1)若，求A和外接圆半径R的值；(2)若三角形的面积，求c.解：(1)因为，则，且.由正弦定理，得，即，即，，因为，所以，因此，；(2)由得，于是.当时，由余弦定理，得.当时，由余弦定理，得.所以，或.19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数10105(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．(1)解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为．(2)解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，随机变量的可能值为，可得：，，，所以随机变量的分布为：012所以的数学期望．20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．（i）求证：点轨迹方程为；（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．(1)解：因为椭圆的离心率为，所以，解得.因为，，.在中，由余弦定理得，解得，则，故椭圆的方程为；(2)证明：（i）当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为，联立得.因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交.设，由韦达定理得，所以.因为为线段中点，所以，此时，则.要证，只需证明，而，所以点轨迹方程为；（ii）联立得，则.不妨设，所以，.不妨设，由得，即.因为，，所以.∵，所以，即，则点在定直线上.当直线斜率为0时，轴，此时,.因为，所以，，故点在定直线上；当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴，所以点在轴上，则.∵，所以，即，则点在定直线上.综上可得：点在定直线上.21．对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）解：(1)，函数定义域为，，，，当时，恒成立，在上单调递增，当时，取，则，设，，则恒成立，且，故存在唯一的满足，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，综上所述：时，在上单调递增；时，存在唯一的满足，时，函数单调递减，时，函数单调递增.(2)①，则，，，，，故，；②存在，取，，则，则，即，，数列严格减数列且为无穷数列，满足条件.上海市2024届高考数学模拟测试卷08（考前增强信心卷）一、填空题1．已知集合，则．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：2．为虚数单位，复数的共轭复数对应的点位于第象限.〖答案〗四〖解析〗因为，所以数的共轭复数，对应坐标为，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故〖答案〗为四.3．不等式的解集是．〖答案〗或〖解析〗由,可得，即，解得或．故〖答案〗为：或．4．已知，是两两垂直的单位向量，则．〖答案〗〖解析〗因为，是两两垂直的单位向量，所以，则.故〖答案〗为：.5．已知函数，则的值为.〖答案〗〖解析〗由函数，因为，所以.故〖答案〗为：.6．某班人参加暑期社会实践，结束时的综合能力测试成绩近似服从正态分布，若，则综合能力测试成绩在分以上的人数大约为．〖答案〗5〖解析〗由题意知，所以，所以（人），即分以上的人数大约为人．故〖答案〗为：57．已知圆的面积为，则．〖答案〗〖解析〗由已知可得，圆的半径.所以，圆的面积为，所以，，解得.故〖答案〗为：.8．二项式的展开式中的系数为．（用数字作答）〖答案〗15〖解析〗因为二项式的展开式的通项为，令得，所以展开式中的系数为.故〖答案〗为9．已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式．〖答案〗〖解析〗设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去），所以.故〖答案〗为：.10．已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则.〖答案〗3〖解析〗由椭圆的定义知，又，∴，∴，∴，∴，∴.∴.故〖答案〗为：311．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为〖答案〗〖解析〗由题意，圆锥的体积为因为，可得，所以，可得，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减，所以，当处，函数取得极大值，也时最大值，所以炸药包埋在深处.故〖答案〗为：.12．已知正整数，满足，若关于的方程有实数解，则符合条件的共有对.〖答案〗〖解析〗因为，所以，同理可得，又，所以，所以，，其中，从而，即.①若，取，则即为方程的解，此时共有种；②若，设取，则即为方程的解，此时共有种；③若模余，则，从而，由①②可知此时共有种；④若模余，则，从而，模余的是，由①知可以；模余的是，由②不可以，故此时共有种；综上所述符合条件的共有对.故〖答案〗为：二、选择题13．“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗∵抛物线的标准方程为，其准线方程为∴∵双曲线的∴焦点为∵抛物线即为∴抛物线的焦点为，则∴∴“抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的充分不必要条件故选A14．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg〖答案〗D〖解析〗根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（

）A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立〖答案〗BD〖解析〗设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有，则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确；对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确.故选：BD.16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（

）．A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗如图所示，假设在长方形中必存在使得，又易知平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又，则平面，因为平面，所以，即存在使得，但若，如下图所示，不妨设，过作交直线于P，过作，易得，所以，又，则，则在延长线上，此时①不成立；易知与不垂直，，所以与不垂直，又平面，所以不垂直于平面，即②成立故选：C三、解答题17．三棱柱中，平面，且，为中点．

(1)求四面体的体积：(2)求平面与所成锐二面角的余弦值．解：(1)因为平面，又面，所以，又，，面，所以面，因为面，所以到面的距离即,又，，所以.(2)如图，建立空间直角坐标系，因为，，则，所以设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设平面的一个法向量为，则由，得到，取，则，所以，设平面与所成锐二面角为，则.

18．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.(1)若，求A和外接圆半径R的值；(2)若三角形的面积，求c.解：(1)因为，则，且.由正弦定理，得，即，即，，因为，所以，因此，；(2)由得，于是.当时，由余弦定理，得.当时，由余弦定理，得.所以，或.19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数10105(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．(1)解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为．(2)解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，随机变量的可能值为，可得：，，，所以随机变量的分布为：012所以的数学期望．20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭