辽宁省大连市高新区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.△

2.(3分)在RtZ\ABC中，/C=90°,AB=5,AC=3,则sinB的值是(

A.3B.Ac.3D.5

5543

3.(3分)点PG,-2)关于原点对称的点的坐标是()

A.(1,2)B.(-2,1)C.(-1.-2)D.(-1,2)

4.(3分)用配方法解方程7-4x=-2,下列配方正确的是()

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(%-2)2=-2D.(%-2)2=0

5.（3分）如图，A8是O。的直径，AC,8C是的弦，若乙4=20°,则N8的度数为

C.40°D.60°

6.（3分）将抛物线y=2（x-3）2+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后

所得抛物线的解析式为（）

A.y=2（x-5）2+5B.y=2r2

C.y=2（x-1）2+5D.y=2（x-1）2-1

7.（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个，这些球除颜色外都相同.小

明从袋子中摸一次，摸到黄球的概率是（）

A.2B.3C.2D..3-

55310

8.（3分）关于x的一元二次方程，-2x+Z=0有两个实数根，则实数4的取值范围是（）

A.ZW1B.心＞1C.k=}D.女21

9.（3分）如图，在AABC中，以C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、

F,再分别以E、尸为圆心，大于上E尸的长为半径画弧，两弧相交于点M连结CN交

2

AB于点。，过。作BC的平行线交AC于M,若8c=3,AC=2,则。M=（）

A.5B.AC.3D.A

6543

10.（3分）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-0.2?+3.5的一部分,

若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离/是（）

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）关于x的一元二次方程，-3x+f=0的一个根为-1,则另一个根是,

t—.

12.（3分）二次函数y=-（x-2）2+1,当*>3时，y随x的增大而.

13.（3分）从n个苹果和3个桔子中任选1个，若选中苹果的概率是2,则n的值

3

为.

14.（3分）如图，在二488中，点E在边BC上，OE交对角线AC于F,若CE=2BE,

△CEF的面积等于4,那么△AFD的面积等于

BE

AD

15.（3分）如图，在矩形A8C£＞中，AB=2贬,以点A为圆心，AZ）长为半径画弧交8c

于点E,连接AE,ZBAE=30°,则阴影部分的面积为

16.（3分）如图，在中，AB=AC=a,将△ABC绕点8逆时针旋转得到△O8E,

若点E恰好为AC的中点，则8c的长为（用含“的代数式表示）.

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17.（9分）小明用描点法画抛物线y=-f+4x-3.

（1）请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线

从而画出此抛物线;

X•・・-1012345

y=-8—0——-3-8

r+4工

-3

（2）直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标.

18.（10分）某景区检票口有4、B、C共3个检票通道.小德和小禹两人到该景区游玩,

两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.

（1）小德选择A检票通道的概率是；

（2）用画树状图或列表法求小德和小禹两人选择的检票通道恰好相同的概率.

19.（10分）如图，在△4BC中，点。在BC边上，ZADC^ABAC,CD=\,BD=3,求

AC的长.

B

20.（10分）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课，9

月份该公众号关注人数为5000人，11月份该公众号关注人数达到7200人，若从9月份

到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增

长率.

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21.（9分）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度.如图，在建筑物AB前方搭建高台CD

进行测量.高台C。到AB的距离8c为6米，在高台顶端。处测得点A的仰角为40°,

测得点3的俯角为30°.

（1）填空：ZADB=°；

（2）求建筑物A8的高度（结果保留整数）.

（参考数据：sin40°M）.64,cos40°弋0.77,tan40°=0.84,百毛1.73）

A

22.（10分）如图，O。是△ABC的外接圆，AB是OO的直径，过。作0。J_AC于点E,

延长OE至点。，连结CD,使NO=NA.

（1）求证：CO是。。的切线；

23.（10分）某公司研发了一款成本为30元的新型产品，投放市场进行销售.按照物价部

门规定，销售单价不低于成本且不高于70元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单

价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求每天的销售量了（个）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24.（11分）如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=Scm,BC=6cm.。为AC中点，

过。作。EJ_AC交48于点E.动点尸从点。出发，沿射线OE以Icm/s的速度运动.过

。作OM〃A8,过P作于点M.设点P的运动时间为r（s）.△PQM与△ABC

重叠部分图形的面积为S(cm2).

(1)当点M落在BC边上时，求，的值;

(2)当点M在AABC内部时，求S关于f的函数解析式，并直接写出自变量f的取值范

围.

25.(11分)综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在AABC中，AB=AC,点

。在8c边上，AD=AE,ZADE^^ZBAC,延长84至点F,连结EF.求证：ZDAC

2

=ZEAF.

独立思考：(1)请解答王老师提出的问题.

实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问

题，请你解答.

“如图2,连结BE交AC于G,若/AGE=/GEF,AB=AF,求证AG=Lc£>.”

2

问题解决：(3)数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，对

此题进行变式，提出新的问题，请你解答.

“如图3,在△ABC中，AB=2AC.点。在BC边上，点F在△ABC内.AD=^-AF,

22

ZDAF=ZADC,NADB=NBAC,连结8F交AO于点E,求逆的值”.

CD

图1图2图3

26.(12分)如图，抛物线y—^j?+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点3,与y轴交于

2

点C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸在第四象限的抛物线上，设△ABC的面积为Si，△P8C的面积为S2,当S2=

时，求点尸的坐标；

5

(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标.

2022-2023学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项正确）

1.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如

果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【解答】解：选项A、8、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转

180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，

所以是中心对称图形.

故选：C.

2.（3分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,则sinB的值是（）

A.3B.Ac.3D.S

5543

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值.

【解答】解：如图，,••在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,AB=5,

.,.sinB=N-=2.

AB5

故选：A.

A.（1,2）B.（-2,1）C.（-1.-2）D.（-1,2）

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点尸（x,y）关于原点。

的对称点是P'（-r,-y），进而得出答案.

【解答】解：点P(I,-2)关于原点对称的点的坐标是(-1,2).

故选：D.

4.(3分)用配方法解方程f-4x=-2,下列配方正确的是()

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(%-2)2=-2D.(x-2)2=0

【分析】根据配方法即可求出答案.

【解答】解:x2-4x+4=-2+4,

(x-2)2=2,

故选：A.

5.(3分)如图，48是。。的直径，AC,BC是。。的弦，若NA=20°,则NB的度数为

【分析】根据直径所对的圆周角为90°,即可求解.

【解答】解：是。。的直径，

AZC=90°,

♦.24=20°,

AZB=90°-ZA=70°,

故选：A.

6.(3分)将抛物线_y=2(x-3)2+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后

所得抛物线的解析式为()

A.y—2(x-5)2+5B.y=2j?

C.y=2(x-1)2+5D.y=2(x-1)2-1

【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可.

【解答】解：将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平

移后所得抛物线的解析式为y=2(x-3+2)2+2+3,

即y=2(x-1)2+5,

故选：c.

7.（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个，这些球除颜色外都相同.小

明从袋子中摸一次，摸到黄球的概率是（）

A.2B.3C..2D.A.

55310

【分析】根据概率公式即可得到结论.

【解答】解：•••一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个，

•••小明从袋子中摸一次，摸到黄球的概率=_±=2,

4+65

故选：C.

8.（3分）关于x的一元二次方程？-2x+A=0有两个实数根，则实数%的取值范围是（）

A.kWlB.k>TC.k=lD.k却

【分析】根据所给的方程找出“，b,c的值，再根据关于x的一元二次方程7-2x+&=0

有两个实数根，得出A=b2-4ac》0,从而求出％的取值范围.

【解答】解：b--2,c—k,

而方程有两个实数根，

A=?-4ac=4-440,

“W1；

故选：A.

9.（3分）如图，在AABC中，以C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、

F,再分别以E、F为圆心，大于工E尸的长为半径画弧，两弧相交于点N,连结CN交

2

A8于点。，过。作BC的平行线交AC于M,若8c=3,AC=2,则。A/=（）

【分析】由作图知道C。是角平分线，再有平行得到三角形相似，利用相似的性质求解.

【解答】解：设

由作图得：。平分NACB,

:.NACD=NBCD,

'JBC//DM,

：.ZACD^ZMDC,△AZWs/\ABC,

.,.DM=CM=x,M=DM,

ACBC

即：—=三，

23

解得：尸且，

5

故选：B.

10.（3分）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-0.2?+3.5的一部分,

若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离/是（）

【分析】如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而。8的长,

又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答.

把C点纵坐标＞=3.05代入中得:

x=±1.5（舍去负值），

即。8=1.5,

所以l=AB=2.5+\.5=4.

故选：c.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）关于x的一元二次方程,-3x+t=0的一个根为-1,则另一个根是4,t

--4.

【分析】设另一个根为根，根据根与系数的关系可得-1+m=3,-m=t,进一步求解即

可.

【解答】解：设另一个根为，小

；一元二次方程）-3x+f=0的一个根为-1,

・♦・-l+/n=3,-m=t,

解得：m=4,t=-4.

故答案为：4,-4.

12.（3分）二次函数y=-（x-2）2+1,当x>3时，v随x的增大而减小.

【分析】首先确定对称轴，然后结合其开口方向确定答案即可.

【解答】解：•••二次函数y=-（x-2）2+1的对称轴为：x=2,且开口向下，

...当x>2时，y随x的增大而减小，

...当x>3时，y随x的增大而减小，

故答案为：减小.

13.（3分）从〃个苹果和3个桔子中任选1个，若选中苹果的概率是2,则n的值为

3

6_.

【分析】根据概率公式得3_=2,然后利用比例性质求”的值.

n+33

【解答】解：根据题意得：」_=2,

n+33

3n=2（H+3）,

3n-2〃=6,

〃=6,

经检验，〃=6是方程的解.

故答案为：6.

14.（3分）如图，在中，点E在边5。上，。后交对角线AC于凡若CE=2BE,

△CE尸的面积等于4,那么△4尸。的面积等于9.

BE

AD

【分析】先证明△AQFSACEF,再根据相似三角形的性质求得结果.

【解答】解：：CE=2BE,

设BE=x,则CE=2x,BC=3x,

：四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC=3x,

：./\ADF^/XCEF,

.SAADF/AD、29

S/kCEFCE4

•••△CEF的面积等于4,

SA74DF=-^-SAACD=4=9,

4

故答案为：9.

15.（3分）如图，在矩形A8CD中，AB=2M,以点4为圆心，长为半径画弧交BC

于点E,连接AE,ZBAE=30°,则阴影部分的面积为依二

一~3—

【分析】根据矩形的性质得出ND4B=NB=90°,AB=2«,可以求出AE的长，由/

BAE=30°,可以得出ND4E的度数，再分别求出矩形ABC。、Z\A8E和扇形D4E的面

积即可.

【解答】解：•••四边形A8C。是矩形，

AZDAB=ZB=90°,

VZBA£=30°,

：.BE=^AE,

2

,:AB=2M，

：.AE1=AB1+BEr,

即4炉=（小巧）2+做比）2,

解得AE=4,

：.AD=AE=4,BE=1AE=2,

2

VZDAE^ZDAB-ZBAE=90°-30°=60°,

阴影部分的面积S=S矩形A8CZ）-SAABE-S扇形。AE

=4X2通-工X2X2代-」°兀X4、

2360

=8«-2百-当T

3

=6^3--1T.

3

故答案为：6愿一gTT.

3

16.（3分）如图，在△A8C中，AB=AC=a,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△OBE,

若点E恰好为AC的中点，则BC的长为叵（用含〃的代数式表示）.

-2—

由A8=AC=4,E为4c的中点，得AE=CE=』AC=2,

2

由旋转得BE=BC,所以CF=EF=LCE=1,再根据勾股定理得BC2-CF2=AB1-AF2

2

=BF2,即可求出BC的长.

【解答】解：如图，作8FL4c于点F,则/4FB=/CFB=90°,

'：AB=AC=a,E为4c的中点,

'.AE=CE=^-AC=^ci,

22

由旋转得BE=BC,

ACF=EF=X.CE=^a,

24

：.AF=AE+EF=3-a,

4

'：BC2-CF1=AB1-AF1=BF1,

2

故答案为：返〃

2

三、解答题(本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分)

17.(9分)小明用描点法画抛物线y=-f+4x-3.

(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线

(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标.

yA

L

「

I

r2，-4

1-

-4

-L

-—

-

I

3I心

n.-?1-i

I.42,-

J.

.*丁

.|

.4

.，

.,

.—

.f

rn.

II.-IT

LJ

-4-

—

-

-

!

.

~T

【分析】（1）将x=0,x=2,x=3分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可;

（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标.

【解答】解：（1）-7+4x-3,

.,.当x=0时，y--3；当x=2时，y=l；当x=3时，y=0；

故答案为：-3,1,0；

抛物线如右图所示；

（2）由图象可得，

该抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,1）.

18.（10分）某景区检票口有A、B、C共3个检票通道.小德和小禹两人到该景区游玩,

两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.

（1）小德选择A检票通道的概率是1；

一3一

（2）用画树状图或列表法求小德和小禹两人选择的检票通道恰好相同的概率.

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可;

（2）画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公

式求解.

【解答】解：（1）；检票口有4,3,C共3个检票通道，

...小德选择4检票通道的概率是」.

3

故答案为：1.

3

（2）根据题意画树状图为：

开始

共有9种等可能的情况，其中小德和小禹选择的检票通道恰好相同的有3种情况,

则小德和小禹两人选择的检票通道恰好相同的概率是旦=工.

93

19.（10分）如图，在△ABC中，点。在BC边上，ZADC=ABAC,CD=\,BD=3,求

AC的长.

【分析】由题意可得BC=BO+C£>=4,根据/AZ）C=NBAC,公共角NC=/C,即可证

明△AOCS^BAC,根据相似三角形的性质即可得到结果.

【解答】解：：C£>=1,BD=3,

：.BC=BD+CD^4,

ZADC=ZBAC,ZC=ZC,

：./\ADC^/\BAC,

•••C-D二--A-C，

ACBC

即AC2=CD'BC^4,

：.AC=2（负值舍去）.

20.（10分）疫情期间“停课不停学”，辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课，9

月份该公众号关注人数为5000人，11月份该公众号关注人数达到7200人，若从9月份

到11月份，每月该公众号关注人数的平均增长率相同，求该公众号关注人数的月平均增

长率.

【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为X,根据题意题意列出方程，解方程即

可.

【解答】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为X,

根据题意得：5000（1+x）2=7200,

解得：xi=0.2=20%,切=-2.2（舍去），

答：该公众号关注人数的月平均增长率20%.

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21.（9分）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度.如图，在建筑物AB前方搭建高台CD

进行测量.高台C。到A8的距离BC为6米，在高台顶端。处测得点A的仰角为40°,

测得点B的俯角为30°.

（1）填空：ZADB=70°；

（2）求建筑物A8的高度（结果保留整数）.

（参考数据：sin40°-0.64,cos400=0.77,tan40°-0.84,收心1.73）

【分析】（1）过点力作。垂足为E,根据题意可得：ZAD£=40°,NBDE=

30°,然后利用角的和差关系进行计算即可解答；

⑵根据题意可得：DE=BC=6米,然后分别在RtAWE和RtZXQEB中，利用锐角三

角函数的定义求出AE,BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点。作。E_LAB,垂足为E,

A

山题意得：

ZADE=40°,NBDE=30°,

:.NADB=NADE+NBDE=40°+30°=70°,

故答案为：70；

（2）由题意得：OE=BC=6米，

在RtZXAQE中，ZADE=40°,

.*.AE=£）E・tan40°^6X0.84=5.04（米），

在RtZiQEB中，ZBDE=30°,

.*.BE=DE«tan30°=6X返=2代-3.46（米），

3

：.AB=AE+EB=5.M+3.46^9（米），

二建筑物AB的高度约为9米.

22.(10分)如图，。。是△ABC的外接圆，A8是。。的直径,过。作ODLAC于点E,

延长。£至点。，连结CZ),使/。=/A.

(1)求证：CO是。。的切线；

(2)若AB=CD=2爬,求AC的长.

【分析】(1)连接OC,根据垂直的定义得到NQEC=90°,求得ND+N£>CE=90°,

根据等腰三角形的性质得到NA=NACO,推出OCLCZ),根据切线的判定定理即可得

到结论;

(2)根据勾股定理得到0。=而而曰=亚丽=5,根据三角形的面积公式得到

C£=OC<D=V5X275=2,根据垂径定理即可得到结论.

0D5

【解答】(1)证明：连接0C,

'：OD±AC,

:.NDEC=90°,

：.ZD+ZDCE=90°,

ZA=ZD,

：.ZA+ZDCE=9Q°,

'：OA=OC,

：.ZA=ZACO,

：.ZACO+ZDCE=90°,

：.OC±CD,

：oc是。。的半径，

.♦.CD是。。的切线：

(2)解：，:AB=CD=2后,

:.oc=娓,

:・0D=7CD2OC2V20+5=5，

SACOO=2。。CD=1.0D-CE,

22

.CF=QC<D=V5X2V5=2.

*'-OD5，

,JODLAC,

：.AC=2CE=4.

23.（10分）某公司研发了一款成本为30元的新型产品，投放市场进行销售.按照物价部

门规定，销售单价不低于成本且不高于70元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单

价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

（个）

60-----

40-------r—"'Ys.

!।

II

°______4060工（元）

【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；

（2）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案.

【解答】解：（1）设〉=自+。（&W0）,

将点（40,60）,（60,40）代入得：（40k+b=60,

I60k+b=40

解得『"I,

lb=100

，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式y=-x+100；

（2）设每天获得的利润为卬元，

由题意得w=G-30）（-x+100）=-/+130x-3000=-（x-65）2+1225,

•••按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于70元，

.•.30WxW70,

2<0,抛物线开口向下，

.,.当x=65时，卬有最大值，w最大值=1225,

・・・销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元.

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24.（11分）如图，在RtZSABC中，ZACB=90°,AC=Scm,BC=6cm.。为AC中点，

过。作。交4B于点E.动点P从点。出发，沿射线。E以km/s的速度运动.过

。作过P作于点设点P的运动时间为Ms）.△PDW与△ABC

重叠部分图形的面积为S（c〃P）.

（1）当点M落在BC边上时，求f的值；

（2）当点M在aABC内部时，求S关于f的函数解析式，并直接写出自变量/的取值范

围.

B

1

ADC

【分析】（1）根据题意可得AB=10cm,DM=5cm,再根据DW〃A8,可得N

PDM=NB,ZPMD=ZACB=90＜，,从而可证△尸。WS^ABC,根据相似三角形的性

质可得尸。=2耳机，以此即可求解；

3

（2）当点M在AABC内部时，在（1）的情况下，达到了最大值，①当0＜忘3时，5

=SAPDM，此时PD=t,由可得PM=A+,。例=W+,以此即可算出

551

S；②当3＜后空时，过E作EQLOW交。M于点。，S=SEDMN=SAEDQ+S

3

ENMQ，根据题意可得OE=3,四边形ENMQ为矩形，再由得OQ=a,

5

QE=H,s1x—X—=^＞根据△PENS/\EOQ得EN=&（t-3＞以此

5AEDQ255255

即可算出5.

【解答】解：（1）如图，此时点“落在BC边上，

,ABWAC2+BC2=1CP»，

•.•。为AC中点，DM//AB,

.1

*：DE.LAC,

：.ZPDC=90°,

♦：DM〃AB,

：./A=/MDC,

・.,NA+N8=90°,ZPDM+ZMDC=90°,

:・/PDM=NB,

9：PMLDM,

・・・NPMQ=NACB=90°,

△尸0Ms△ABC,

・PDDMpnPD5

ABBC106

：.PD=^.cm,

3

；，=空+(s),

当点M落在BC边上时，f的值为臣；

3

(2)由(1)可知，当点M在AABC内部时，在(1)的情况下，达到了最大值,

当点尸位于点。位置时，达到了最小值，

①当0<fW3时，S=SADM，

此时PD=t,

根据△PDWsAABC,可得旦1出13_,

ABACBC

即

1086

55x

•。13462

一△PDMW't^t^t，

②当3<rw2❷时，如图，过E作EQ_L£>M交。M于点。,

B

S=S四边形£QMN=SZ\E£)Q+S四边形ENMQ，

为AC中点，DELAC,

J.DE//BC,

DE=yBC=3'

\'EQ±DM,PM1DM,

J.EQ//PM,四边形ENMQ为矩形,

:.ADQEs^DMP,

：ADQEs^BCA,

•DE_DQ_QE,即3_DQ_QE,

**AB"BCT、元话T，

：.DQ^^-,QE=^-,

55

•1乂9x1254

一△cEDQ而*后X了书’

此时，PD=t,PE=t-3,

*：DMIIAB,

:.APENsAEDQ,

•PEEN即主2®

EDDQ39_

5

•,0=春(53)，

"S四边形EN*QE・EN《-I(t-3)=-||-(t-3)>

••S=S四边形EQMN=S/、EOQ+S四边形ENMQ=A^"+"2^1(［一3)二3。,一旦1,

25252525

2

综上，当0<fW3时，s^-Lt；当3<fW里■时，s=r36_t_§4.

2532525

25.（11分）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在△4BC中，A8=AC,点

。在BC边上，AD=AE,ZADE^^ZBAC,延长班至点尸，连结EF.求证：ZDAC

2

=NEAF.

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问

题，请你解答.

“如图2,连结8E交AC于G,若NAGE=NGEF,AB=AF,求证47=工。9.”

2

问题解决：（3）数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，对

此题进行变式，提出新的问题，请你解答.

“如图3,在△ABC中，AB=^-AC.点。在BC边上，点F在△ABC内.AD=^-AF,

22

ZDAF=AADC,ZADB=ABAC,连结8F交AO于点E,求处的值”.

CD

【分析】（1）说明/D4£=NCAF即可证明结论；

（2）首先利用SAS证明△AQC丝△AEF,得DC=EF,取BE的中点H,连接A”,可知

A”为的中位线，由NAHG=/AG”，则AG=AH=/EF，即可证明结论；

（3）延长BA至点M,使连接FM,利用两边成比例且夹角相等得△AOC

2

s[\kFM,从而说明AD//FM,得AABEs^MBF,设AB=3a,AC=2a,AM=&,

3

进而解决问题.

【解答】（1）证明：*.•AO=4E,

：.ZADE=ZAED,

A180°-2AADE,

VZAD£=1ZBAC,

AZDAE=180°-ZBAC=ZCAFf

：.ZDAC+ZCAE=ZCAE+ZEAF,

：.ZDAC=ZEAF；

(2)证明：..・AB=A凡AB=AC,

:.AF=AC9

又AD=AE,

：./\ADC^/\AEF(SAS),

：.DC=EF,

如图2,取BE的中点“，连接A”,

,

：AB=AF9

・・・A为8尸的中点,

・・・A”为的中位线，

J.AH//EF,AH=-lgp,

・•・NAHB=NGEF,

VAGEF=/AGE,

：.ZAHB=ZAGEf

：./AHG=/AGH,

(3)解：如图3,延长区4至点M,使AC=M4M,连接尸M,

2

•.•AD■AC—3>

AFAM2

VZADC+ZADB=\SO°,ZADB=ZBACf

AZADC+ZBAC=\SO0,

VZBAC+ZCAM=180°,

JZADC=ZCAM,

,/ZADC=ZDAF,

：.ZDAF=ZCAMf

：.ZDAC=ZFAM9

：.△ADCs△4/5/,

ZADC=ZAFM,

,?NADC=NDAF,

：.ZDAF=NAFM,

C.AD//FM.

：.△ABESLMBF,

.AE二四

••而f

••泡8=洗心沏，

.•.设AB=3a,AC=2a,AM=^a,

3

.'.BM=AB+AM=3a+-^-a=^-a,

33

.AE=3a=9

••而二13'I?

Va

•能=卷版

又；AADC^AAFM,

•••-D-C=-A-D-=—3,

HFAF2

：.DC=^-MF,

2

.AE宝股_&

26.(12分)如图，抛物线丫=工/+加:+£；与x轴交于点A(-1,0)和点8,与y轴交于

2

点C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在第四象限的抛物线上，设△A8C的面积为Si，△PBC的面积为8，当$2=

幺1时，求点P的坐标；

5

(3)点M在抛物线上，当/M48=2NACO时，求点”的横坐标.

【分析】(1)将A(-1,0)、C(0,-2)代入y=L2+^+c,列方程组并且解该方程

2

组求出b、C的值，即可得到抛物线的解析式为y=F-Xc-2；

(2)先求得B(4,0),则S“BC=LB，OC=5,再求得直线BC的解析式为y=L

2,2

-2,作轴于点H,交BC于点G,设P(x,Xc2--Ir-2),则G(x,Xc-2),

222

所以PG=-kr-2-(L2-Mr-2)=-可求得SAPBC=-f+dx,lilS&PBC=­S

22225

^ABC,得-/+4x=9X5,解方程求出x的值即可；

5

(3)取A8点中E,连接CE,则E(3,0),可证明△AOCs/\COB,得NACO=/

2

CBO,再证明N4CB=90°,贝UBE=CE=LB,即可证明NAEC=2NC8O=2N

2

ACO,再分两种情况讨论，一是点M在x轴的上方，则AM〃CE,可求得直线CE的解

析式为、=刍-2